Книга Дж. Биркгофа «Динамические системы» наряду со знаменитым сочинением Пуанкаре «Новые методы небесной механики» оказала решающее влияние на современное развитие теории дифференциальных уравнений и аналитической динамики. Изданная на русском языке в 1941 (!) году, она давным давно стала библиографической редкостью. Поэтому мы решили переиздать книгу Биркгофа, добавив две его работы, содержащие доказательство эргодической теоремы. По словам $H$. Винера (кстати сказать, не любившего Биркгофа по причинам, которые он сам объяснил в своих воспоминаниях) эти работы – поразительное свидетельство «пробивной» силы Биркгофа. «Он занялся эргодической теоремой без всякой предварительной подготовки, не обладая никакими специальными знаниями в области интеграла Лебега и даже не особенно им интересуясь. Несмотря на это, руководствуясь только своей математической интуицией, он сумел получить одну из важнейших теорем, вплоть до настоящего времени занимающую центральное положение в теории интеграла Лебега.»

Надо признать, что текст книги Биркгофа не лишен недостатков: не все доказательства приведены аккуратно, имеются неточности и даже ошибки, но, как заметил однажды Безикович, репутация математика основывается на числе плохих доказательств, которые он придумал (поскольку работы первооткрывателей неуклюжи).
А. А. Марков, В. В. Немыцкий и В. В. Степанов провели очень значительную и содержательную работу по редактированию текста русского издания. Однако, по их признанию, наверное не все погрешности обнаружены, не все недостатки исправлены. Приведу поучительный пример.
В главах III и IV Биркгоф строит теорию «пфаффовых систем»
\[
\sum_{j=1}^{2 m}\left(\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial X_{j}}{\partial x_{i}}\right) \frac{d x_{j}}{d t}-\frac{\partial Z}{\partial x_{i}}=0,
\]

параллельную теории гамильтоновых систем; здесь $X_{i}$ и $Z$ – известные функции от $x_{1}, \ldots, x_{2 m}$, причем кососимметрический определитель
\[
\left|\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial X_{j}}{\partial x_{i}}\right|
\]

отличен от нуля. При этом Биркгоф не заметил, что (по теореме Дарбу) уравнение Пфаффа – это уравнение Гамильтона, записанное не в канонических переменных.

Задумывая переиздание книги Биркгофа, мы намеревались заново прокомментировать текст с учетом развития идей Биркгофа. Однако скоро нам стала очевидной невыполнимость такого проекта. Читатель может попробовать самостоятельно продвинуться в этом направлении, вооружившись девятитомником обзоров, объединенных под тем же названием «Динамические системы» и изданных ВИНИТИ АН СССР в 1985-1991 годах.

Переиздавая книгу Биркгофа, мы ориентировались прежде всего на молодых исследователей. Мы хотели дать им возможность познакомиться с оригинальным изложением идей выдающегося математика Джорджа Дэвида Биркгофа, которые никогда не потеряют своей значимости и актуальности.

В. В. Козлов