Условия теоремы, формулированной в $\mathrm{\S }2$, включают условия $\delta$-теоремы, и, кроме того, мы можем считать исключенной вторую возможность $\delta$-теоремы при всяком положительном $\delta$. Итак, при всяком положительном $\delta$ существует точка $P$ кольца $R$, переходящая при преобразовании $T$ в точку $T(P)$ кольца $R_1$, лежащую на той же радиальной полупрямой и отстоящую от $P$ не более чем на $\delta$. Последовательность таких точек с $\delta$, стремящимся к нулю, очевидно, имеет по меньшей мере одну предельную точку, которая принадлежит $R$ и $R_1$, и инвариантна при $T$. Таким образом, существование хотя бы одной инвариантной точки установлено.

Перейдем теперь к вспомогательной плоскости, в которой $r$ и $\vartheta$ являются прямоугольными координатами. Пусть точка $A$ совершает полный обход в положительном направлении вокруг части полосы $R$, содержащейся между двумя параллелями к оси $r$, лежащими на расстоянии $2\pi$ друг от друга. Ясно, что $\mathrm{rot}A{A}_1$ при таком обходе равен нулю, так как на дугах кривых $C$ и $Г$ повороты равны нулю, а повороты, соответствующие двум другим частям контура, взаимно уничтожаются.

Очевидно, что этот контур содержит внутри себя каждую инвариантную точку только однажды. Поэтому полный поворот равен алгебраической сумме поворотов, соответствующих обходам вокруг каждой инвариантной точки в отдельности по маленьким контурам, окружающим эти точки ${}^1$. Но для простой инвариантной точки такой поворот по определению равен $\pm 2\pi$. Следовательно, имеются или по меньшей мере две различные инвариантные точки или же одна кратная инвариантная точка $K$ с вращением $\vartheta$.

В общем случае посредством этого рассуждения, принадлежащего Пуанкаре, из существования одной инвариантной точки следует существование второй. Доказательство же того, что всегда существует вторая инвариантная точка, отличная от первой, значительно сложнее предыдущего доказательства.

Мы допустим, что существует одна и только одна инвариантная точка $K$, и посредством небольшого обобщения нашего прежнего рассуждения покажем, что тогда получается противоречие.

Вместо того, чтобы рассматривать закрепленное положительное число $\delta$, мы будем применять $\delta (\vartheta )$, изменяющееся при переходе от одной радиальной полупрямой к другой. Выражение «направленное наружу радиальное перемещение точки $P$ на величину, меньшую, чем $\delta »$, относится теперь к значению $\delta$ для радиальной полупрямой, проходящей через $P$. При $\delta =0$ точка $P$ остается неподвижной. Очевидно, что и относительно такого переменного $\delta (\vartheta )$ могут быть определены $\delta$-цепи и минимальные $\delta$-цепи.

В нашем случае мы выберем $\delta$ малым и положительным, за исключением единственной радиальной полупрямой, проходящей через единственную инвариантную точку $K$. Далее, функцию $\delta$, очевидно, можно взять непрерывно зависящей от $\vartheta$ и меньшей расстояний от $P$ до $T(P)$ и от $T(P)$ до $K$ для всякой точки $P$, лежащей на соответствующей радиальной полупрямой, причем эти расстояния измеряются на плоскости прямолинейных координат $r$ и $\vartheta$.

Если $\delta$ выбрать таким образом, то инвариантная точка $K$ не может входить в состав какой-либо $\delta$-цепи, так как в противном случае она по-

лучилась бы из предшествующей точки $PeqK$ посредством перемещения точки $T(P)$ на расстояние, меньшее расстояния между $T(P)$ и $K$.

Лемма 1 по-прежнему имеет место для этого слегка видоизмененного типа $\delta$-цепей, с той лишь разницей, что теперь внешняя граница кольца $\mathrm{\Sigma }$ может касаться круга $C$ в точке пересечения этого круга с радиальной полупрямой, проходящей через $K$. Но при исключении второй возможности, указанной в формулировке теоремы, такой области $\mathrm{\Sigma }$ не может существовать. Следовательно, существуют конечная $\delta$-цепь и минимальная $\delta$-цепь $P_0,P_1,\dots ,P_n$, соответствующая рассматриваемой функции $\delta (\vartheta )$.

Исходя из этой минимальной цепи, мы можем построить вспомогательное преобразование $E$, обладающее свойствами, указанными в лемме 2.

Тогда при рассмотрении преобразования $TE$, как и раньше, получается последовательность колец $C{C}_1,C_1{C}_2,\dots$, с той лишь разницей, что теперь две границы какого-либо из них могут касаться друг друга в одной точке.

Точки $P_0$ и $P_1$ могут быть, как и ранее, соединены дугой, содержащейся в кольце $C_0{C}_1$, и, таким образом, как в лемме 3 , получается вспомогательная кривая
$$P_0{P}_1\dots P_{n-1}{Q}_0{P}_n{Q}_1.$$

Теперь эта кривая может, однако, иметь двойные точки, так как последовательные кривые $C,C_1,C_2,\dots$ могут иметь общие точки. В двойных точках вспомогательная кривая не пересекает самое себя. Она, разумеется, не может проходить через инвариантную точку $K$, лежащую вне последовательности колец.

Продолжая теперь, как $\mathrm{\S }7$, будем рассматривать $\mathrm{rot}A{A}_1$ вдоль кривой $P_0{Q}_0$, где $A_1$ есть образ точки $A$ при отображении $TE$. Способ выбора функции $\delta (\vartheta )$ обеспечивает, что точка $A_1$ всегда отлична от $A$. Поэтому, как и раньше, мы убеждаемся, что этот поворот положителен вдоль вспомогательной кривой, и что он остается положительным при параметрическом преобразовании $T{E}_{\lambda }$, когда $\lambda$ убывает от 1 до 0 . Tаким образом, $\mathrm{rot}A{A}_1$ положителен вдоль этой кривой, если $A_1$ означает образ точки $A$ при преобразовании $T$. Он положителен поэтому и вдоль всякой кривой, пересекающей $R$ и получаемой из $P_0{Q}_0$ посредством непрерывной деформации, такой, что деформируемая кривая никогда не проходит над $K$. Но если даже эта кривая и проходит над $K$, то на $\mathrm{rot}A{A}_1$ это не может отразиться, так как вращение вокруг $K$ равно 0 . Следовательно, $\mathrm{rot}A{A}_1$ положителен вдоль всякой кривой, пересекающей $R$.

Переходя к $T^{-1}$, мы заключаем, что $\mathrm{rot}{A}_{1}A=\mathrm{rot}A{A}_1$ отрицателен, и, таким образом, приходим к противоречию.
Этим теорема установлена.
Простое обобщение приведенного рассуждения показывает, что либо существуют две инвариантные точки, для которых $\mathrm{rot}A{A}_1$ отличен от 0 , или же существует бесконечное множество инвариантных точек.