До сих пор мы имели дело с лагранжевыми динамическими проблемами, характеристические поверхности которых не имели никаких границ, за

исключением границ на бесконечности. Очень просто, однако, распространить полученные результаты на случаи, когда $M$ ограничено одной или несколькими аналитическими ( $m-1$ )-мерными поверхностями, при условии, что единственная малая геодезическая дуга, соединяющая какую-нибудь упорядоченную пару близких точек, лежащих в М, тоже лежит в $M$. Границу, которая обладает этим свойством, будем называть «выпуклой».

В самом деле, кривая в $M$, дающая минимум, будет в этом случае либо замкнутая экстремальная кривая, в каком случае она, очевидно, не касается ни одной из границ и, следовательно, лежит целиком в $M$, либо она состоит из конечного или бесконечного числа экстремальных дуг, вершины которых, разумеется, должны лежать на границах $M$. Но по определению выпуклой границы дающая минимум кривая не может содержать вершин на границах $M$. В самом деле, если бы такая вершина $V$ существовала, то малая дуга $A V B$, содержащая $V$, могла бы быть заменена более короткой экстремальной дугой $A B$, лежащей целиком внутри $M$. Таким образом, мы пришли к противоречию.

Поверхность $M$, определеннал в предыдущем параграфе, может иметь любое число конечных выпуклых границ, помимо границ в бесконечности, и для такой поверхности справедливы полученные в предыдущем параграфе теоремы существования периодического движения.

Первоначальный критерий Уиттекера относился к обратимому случаю систем с двумя степенями свободы, причем $M$ было кольцом. Полученный результат гласил, что имеется периодическое движение минимального типа, совершающее в кольце один оборот ${ }^{1}$.