Для того, чтобы дать пример, иллюстрирующий применение теоремы Пуанкаре и ее обобщений, мы рассмотрим прежде всего специальную, но весьма типическую задачу этого рода, а именно задачу о движении бильярдного шара на ограниченном выпуклой кривой бильярдном столе. Эта система представляет очень большой интерес по следующим основаниям. Всякая лагранжева система с двумя степенями свободы изоморфна с движением материальной частицы на гладкой поверхности, равномерно вращающейся около постоянной оси и носящей на себе консервативное поле
сил $^{1}$. В частности, если поверхность не вращается и если поле сил отсутствует, то частица будет двигаться по геодезическим линиям. Если мы теперь сплющим поверхность, сделав ее плоской областью, ограниченной выпуклой кривой $C$, то получим «проблему бильярдного шара». Но в этой проблеме формальная сторона, обычно столь устрашающая в динамике, не играет почти никакой роли, и только интересные качественные вопросы требуют рассмотрения. Если кривая $C$ – эллипс, то получается интегрируемый случай, а именно предельный случай эллипсоида, рассмотренного Якоби.
В проблеме бильярдного шара можно прийти к некоторым периодическим движениям прямым применением методов максимума минимума. Так как это представляет интерес само по себе, я укажу здесь, как это можно сделать. Результаты, полученные Морсом (см. главу $\mathrm{V}, \S 8$ ), показывают, что область применения этих методов, уже развитая до известной степени Пуанкаре, Адамаром, Уиттекером и мною, может быть еще расширена. Таким образом, легко может оказаться, что значение метода минимума-максимума в проблеме бильярдного шара типично для общего случая.
Длиннейшая хорда границы $C$ бильярдного стола, пройденная в обоих направлениях, очевидно, дает одно из простейших периодических движений. Бильярдный шар, движущийся по этой хорде, ударяется об ограничивающую стол кривую под прямым углом и откатывается обратно по этой хорде. Если мы будем непрерывно изменять эту хорду, уменьшая длину ее настолько мало, насколько это возможно, так, чтобы в конце этого преобразования ее оба конца поменялись местами, мы будем иметь промежуточное положение наименьшей длины, которое будет хордой, пересекающей $C$ в месте наименьшей его ширины. Эта хорда дает второе периодическое движение. Детальное изучение небольших возмущений обоих этих периодических движений показывает, что первое движение неустойчиво, в то время как второе может быть устойчивым или неустойчивым.
Далее, мы ищем треугольник наибольшего периметра, вписанный в $C$. Очевидно, что по крайней мере один такой треугольник существует и не имеет вырождающихся сторон длины нуль. Касательная к линии $C$, проведенная в любой вершине этого треугольника, будет, paзумеется, образовывать равные углы с обеими сторонами, сходящимися в этой вершине.
Таким путем мы получаем «гармонический треугольник», которо-
му будут отвечать два различных периодических движения, соответствующих двум возможным направлениям обхода.
Кроме того, если мы будем непрерывно изменять этот треугольник, не переменяя порядок его вершин и стараясь насколько возможно меньше уменьшать его периметр так, чтобы в конце этого преобразования получить тот же треугольник, но с циклически перестановленными вершинами, то мы пройдем через треугольник наименьшего периметpa, который тоже будет гармоническим и тоже будет соответствовать двум периодическим движениям.
Таким путем может быть установлено существование двух гармонических $n$-угольников, обходящих $k \leqslant n / 2$ раз кривую $C$ ( $k$ – число взаимно простое с $n$ ).
Два периодических движения, соответствующих $n$-угольнику типа максимума, будут неустойчивы, в то время как два периодических движения, соответствующих $n$-угольнику типа минимакса, могут быть устойчивыми или неустойчивыми.