Для движения вблизи точки равновесия гамильтоновой или более общей пфаффовой системы случай устойчивости естественно определяется как такой, когда множители ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$ являются чисто мнимыми количествами и между ними нет никаких линейных соотношений с целыми коэффициентами.

В этой главе мы займемся, однако, не этим вопросом, а несколько более сложным. Это — вопрос об устойчивости движения вблизи какого-нибудь периодического движения такой системы ${}^1$. Применяемый метод требует приведения к случаю обобщенного равновесия. В более общем случае систем Пфаффа это можно осуществить посредством перехода к новым координатам
$$x_i={\overline{x}}_i+{\phi }_i(t)(i=1,\dots ,2m),$$

где периодические функции ${\phi }_i(t)$ периода $\tau$ изображают координаты в данном периодическом движении. Таким образом, функции $X_1,\dots ,X_{2m},Z$ [см. формулу (12) на стр. 100] перестают быть независимыми от $t$ и становятся периодическими функциями $t$ периода $\tau$, и данное движение теперь соответствует обобщенному равновесию в начале координат в новом пространстве с координатами ${\overline{x}}_1,\dots ,{\overline{x}}_{2m}$. Таким образом, мы приходим к рассмотрению вопроса о движении вблизи подобной точки обобщенного равновесия.

С этим приведением к обобщенному равновесию связано, однако, одно затруднение, на которое для гамильтоновых систем впервые указал Пуанкаре и которое желательно вкратце здесь выяснить.

Аналогично случаю обычного равновесия естественно определить случай устойчивости как такой, когда все множители ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$ чисто мнимые количества, причем мы предполагаем, что между этими множителями и числом $2\pi \sqrt{-1}/\tau$ не существует никаких линейных соотношений с целыми коэффициентами. Если же таковые соотношения существуют, то подлежащие рассмотрению вопросы принимают более сложный характер.

Для точки обобщенного равновесия, полученной вышеизложенным способом приведения, множители не будут удовлетворять этому условию ввиду того, что такая система всегда будет иметь множитель, равный нулю $\left({}^1\right)$, который будет, разумеется, двойным. В этом легко убедиться из следующего рассуждения. Пфаффова система имеет интеграл $Z=$ const в первоначальных переменных и, следовательно, интеграл
$$Z(x_1+{\phi }_1,\dots ,x_{2m}+{\phi }_{2m})=\text{ const }$$

в новых переменных. Дифференцируя относительно $2m$ произвольных постоянных, входящих в общее решение $x_1,\dots ,x_{2m}$, мы убеждаемся в том, что линейное соотношение
$$\frac{\partial Z}{\partial x_1}{y}_1+\cdots +\frac{\partial Z}{\partial x_{2m}}{y}_{2m}=\text{ const }$$

имеет место для $2m$ линейно независимых решений $y_1,\dots ,y_{2m}$ уравнений вариации и, следовательно, для любого решения этих уравнений; в этой формуле подразумевается, что аргументами выражений $\partial Z/\partial x_1$ $(i=1,\dots ,2m)$ служат ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_{2m}$. Если теперь все $2m$ множителей $\pm {\lambda }_1,\dots ,\pm {\lambda }_m$ различны, то существует полная система $2m$ решений
$$y_i=p_{ik}{e}^{{\lambda }_{k}t}(i=1,\dots ,2m)$$

при $k=1,\dots ,2m({\lambda }_{m+i}=-{\lambda }_i)$, в которых $p_{ij}$ суть периодические функции $t$ периода $\tau$. Но так как $\partial Z/\partial x_1$ тоже периодические функции, то подстановка этих решений в линейные интегральные соотношения относительно $y_i$ приведет нас немедленно к заключению, что постоянные в правых частях должны обращаться в нуль во всяком случае, если ${\lambda }_{k}eq0\left({}^2\right)$. Но если бы эти постоянные обращались в нуль для такой полной системы решений уравнений вариации, то они должны были бы обращаться в нуль для любого решения $y_1,\dots ,y_{2m}$. Но этого не может быть, так как для какого-нибудь определенного значения $t$ мы можем величинам $y_1,\dots ,y_{2m}$ придать любые значения ${}^1$.

Следовательно, существуют два решения уравнений вариации, соответствующие множителю $0\left({}^3\right)$. Но
$$x_i={\phi }_i(t+k)-{\phi }_i(t)(i=1,\dots ,2m)$$

будет при любом $k$ решением приведенных уравнений, откуда, дифференцируя по $k$, получим одно из решений уравнений вариации
$$y_1={\phi }_1^{\prime },\dots ,y_{2m}={\phi }_{2m}^{\prime }.$$

Это решение имеет периодические (периода $\tau$ ) составляющие $y_1,\dots ,y_{2m}$ и, следовательно, принадлежит множителю $0\left({}^4\right)$. С другой стороны, периодическое движение, с которого мы начали свои рассуждения, не изолировано, но изменяется как аналитическая функция постоянной $c$ в известном интеграле (т.е. постоянной энергии в случае уравнений Гамильтона) $\left({}^5\right)$. Это приводит ко второму периодическому решению
$$y_1=\frac{\partial {\phi }_1}{\partial c},\dots ,y_{2m}=\frac{\partial {\phi }_{2m}}{\partial c},$$

принадлежащему множителю $0\left({}^6\right)$. Вообще говоря, других решений, принадлежащих множителям, равным нулю, не будет.

Это затруднение может быть обойдено следующим образом. Переменную $Z$ мы можем принять за одну из зависимых переменных $x_1,\dots ,x_{2m}$, скажем, за $x_{2m}$ в первоначальном пространстве с координатами $x_1,\dots ,x_{2m}$. Кроме того переменная $\vartheta =x_{2m-1}$ может быть выбрана как угловая переменная, возрастающая на $2\pi$, когда периодическое движение проходит один период. Остальные координаты $x_1,\dots ,x_{2m-2}$ мы можем заставить обращаться в нуль на этой кривой движения ${}^7)$.

Сосредоточим внимание на тех движениях вблизи данного периодического движения, для которых $Z=$ с имеет то же значение, что и вдоль самого периодического движения. В этом случае порядок пфаффовой системы уравнений понижается до $2m-1$ и переменными будут $x_1,\dots ,x_{2m-2},\vartheta$. Эту систему можно написать в вариационной форме
$$\delta {\int }_{t_0}^{t_1}(\sum _{j=1}^{2m-2}{X}_j{x}_j^{\prime }+X_{2m-1}{\vartheta }^{\prime })dt=0$$

причем к этим уравнениям нужно присоединить равенство $Z=c$. Но подынтегральное выражение представляет собой однородную, размерности один, функцию от $x_1^{\prime },\dots ,x_{2m-2}^{\prime },{\vartheta }^{\prime }$, так что мы можем взять $\vartheta$ вместо $t$ в качестве параметра. Вариационный принцип примет тогда вид
$$\delta {\int }_{t_0}^{t_1}[\sum _{j=1}^{2m-2}{X}_j{x}_j^{\prime }+X_{2m-1}]d\vartheta =0.$$

Таким образом, мы получаем пфаффову систему четного порядка $2m-2$, коэффициенты которой будут периодическими функциями переменной $\vartheta$ периода $2\pi$, причем известному периодическому движению соответствует начало координат в пространстве с координатами $x_1,\dots ,x_{2m-2}$.

При этом последнем методе приведения к проблеме обобщенного равновесия мы обходим трудности, указанные в начале этого параграфа.

По этим причинам в приложениях теории мы можем ограничиться рассмотрением случая обобщенного равновесия устойчивого типа, определенного выше.