Первоначально координатами $q_{i}$ консервативной системы могут быть фактические расстояния, а силами $Q_{i}$ – силы, действующие в направлении этих координат. Но в физике в большинстве случаев бывает невыгодно ограничиваться одной системой координат.

Определим измененные внешние силы $\bar{Q}_{i}$, соответствующие новым координатам $\bar{q}_{i}$, посредством уравнений
\[
\bar{Q}_{i}=\sum_{j=1}^{m} Q_{j} \frac{\partial q_{j}}{\partial \bar{q}_{i}} \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

Принимая это определение и переходя еще раз к новым переменным $\overline{\bar{q}}_{i}$, мы можем выразить новые силы $\overline{\bar{Q}}_{i}$ через $\bar{Q}_{i}$ подобными же формулами. Полученные таким образом выражения для $i$ будут совпадать с теми, которые мы получили бы, непосредственно переходя от $Q_{i}$ к $\bar{Q}_{i}$. Это свойство непосредственно вытекает из вышеприведенных определений.

Таким образом, $Q_{i}$ оказываются однозначно определенными для любой системы координат.

Заметим, что в случае перехода от одной системы прямоугольных координат к другой вышеприведенные формулы, выражающие силы $\bar{Q}_{i}$ через $Q_{i}$, совпадают с формулами, полученными применением обычных законов сложения сил. В общем же случае мы можем сказать, что эти формулы определяют в известном смысле обобщенные составляющие силы.
Далее, из равенства
\[
d W=\sum_{j=1}^{m} Q_{j} d q_{j}=\sum_{j=1}^{m} \bar{Q}_{j} d \bar{q}_{j}
\]

следует, что динамическая система, консервативная в первоначальной системе координат, останется по нашему определению консервативной

в новых координатах. Кроме того новая функция работы будет совпадать с прежней (с точностью до постоянного слагаемого); и далее, так как формулы преобразования скоростей
\[
q_{i}^{\prime}=\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial q_{i}}{\partial \bar{q}_{j}} \bar{q}_{j}^{\prime} \quad(i=1, \ldots, m)
\]

линейны и однородны в скоростях, то, следовательно, различные компоненты $W_{0}, W_{2}, \ldots$ функции $W$ остаются неизменными.

Если мы условимся для определенности всегда выбирать функцию $L$ одинаковым образом, а именно так, чтобы она не содержала $j$ членов, линейных относительно скоростей, то главная функция тоже не будет зависеть от выбора системы координат.
Определим теперь $\bar{R}_{i}$ из формулы
\[
\bar{Q}_{i}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \bar{q}_{i}^{\prime}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \bar{q}_{i}}+\bar{R}_{i},
\]

где $L$ есть главная функция, выраженная через новые переменные $\bar{q}_{i}, \bar{q}_{i}^{\prime}$.
Легко доказать формальное равенство
\[
\sum_{j=1}^{m}\left[\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial q_{j}^{\prime}}\right)-\frac{\partial \varphi}{\partial q_{j}}\right] \frac{\partial q_{j}}{\partial \bar{q}_{i}}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial \bar{q}_{i}^{\prime}}\right)-\frac{\partial \varphi}{\partial \bar{q}_{i}} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где $\varphi$ в левой части есть произвольная функция от $q_{i}, q_{i}^{\prime}$.
Для доказательства этой формулы заметим, что из написанных выше линейных соотношений между $q_{i}^{\prime}$ и $\bar{q}_{i}^{\prime}$ следует
\[
\frac{\partial q_{i}^{\prime}}{\partial \bar{q}_{j}^{\prime}}=\frac{\partial q_{i}}{\partial \bar{q}_{j}} ; \frac{\partial q_{i}^{\prime}}{\partial \bar{q}_{j}}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial \bar{q}_{j}}\right) \quad(i, j=1, \ldots, m),
\]

откуда для любого $i$ имеем
\[
\begin{array}{c}
\sum_{i=1}^{m}\left[\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial q_{j}^{\prime}}\right)\right] \frac{\partial q_{j}}{\partial \bar{q}_{i}}=\sum_{j=1}^{m}\left[\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial q_{j}^{\prime}} \cdot \frac{\partial q_{j}}{\partial \bar{q}_{i}}\right)-\frac{\partial \varphi}{\partial q_{j}^{\prime}} \cdot \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial q_{j}}{\partial \bar{q}_{i}}\right)\right]= \\
=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial \bar{q}_{i}^{\prime}}\right)-\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{j}^{\prime}} \cdot \frac{\partial q_{j}^{\prime}}{\partial \bar{q}_{i}}
\end{array}
\]

Кроме того имеем также для любого $i$
\[
\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{j}} \cdot \frac{\partial q_{j}}{\partial \overline{q_{i}}}=\frac{\partial \varphi}{\partial \overline{q_{i}}}-\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{j}^{\prime}} \cdot \frac{\partial q_{j}^{\prime}}{\partial \bar{q}_{i}}
\]

Вычитая последнее равенство из предыдущего, получаем требуемую формулу.

Подставив в эту последнюю $L$ вместо $\varphi$, убеждаемся, что $\bar{R}_{i}$ получаются из $R_{i}$, совершенно так же, как $\bar{Q}_{i}$ из $Q_{i}$. Таким образом, мы можем формулировать следующий общий результат.

Если от переменных $q_{1}, \ldots, q_{m}$ консервативной динамической системы перейти к новой системе переменных $\bar{q}_{1}, \ldots, \bar{q}_{m}$, то динамическая система остается консервативной с прежними значениями функций $L, W$ в то времл как величины $Q_{i}$ и $R_{i}$ преобразуются в нобые выражения посредством формул (8). В частности, если система была лагранжевой или лишенной энергии в первоначальных переменных, то она остается такой же в новых переменных.