Пуанкаре показал, что существование бесконечного множества периодических орбит в ограниченной проблеме трех тел и других динамических задачах тотчас следует из некоторой геометрической теоремы, с которой лемма $\mathrm{\S }1$ тесно связана.
Для удобства мы прежде всего сформулируем эту теорему.

Геометрическая теорема Пуанкаре.

Пусть нам дано кольцо $0<a⩽$ $⩽r⩽b$ в плоскости, определяемой полярными координатами $r,\vartheta$ и некоторое одно-однозначное непрерывное, сохраняющее площадь преобразование $T$ этого кольца в себя и при этом такое, что точки окружности $r=$ а передвигаются при этом преобразовании вперед (т.е. в направлении возрастающих $\vartheta$ ), а точки окружности $r=b$ передвигаются назад (в направлении убывающих $\vartheta$ ). Тогда в кольце будут существовать по меньшей мере две точки, инвариантные при преобразовании $T$.
Мы наметим вкратце доказательство этой теоремы.
Будем считать $x=\vartheta$ и $y=r^2$ прямоугольными координатами точки на плоскости $(x,y)$. Наше кольцо будет на этой плоскости представлено полоской $a^2⩽y⩽b^2$. Преобразование $T$ этой полоски в себя передвигает точки границы $y=a^2$ вправо, а точки границы $y=b^2$ — влево. Кроме того, преобразование $T$ сохраняет площади в плоскости $(x,y)$, так как $2rdrd\vartheta =dxdy$, и перемещает одинаковым образом любые две точки, имеющие одинаковую ординату и абсциссы, различающиеся на число, кратное $2\pi$.

Присоединим к $T$ новое преобразование $T_{\epsilon }$, совершающее перенос всех точек плоскости $(x,y)$ на расстояние $\epsilon >0$ в направлении возрастающих $y$. Композиция преобразований $T$ и $T_{\epsilon }$, (в порядке сначала $T$, потом $T_{\epsilon }$,) дает сохраняющее площадь преобразование $T{T}_{\epsilon }$ которое переводит данную полоску $a^2⩽y⩽b^2$ в полоску $a^2+\epsilon ⩽y⩽b^2+\epsilon$.

Предположим, что преобразование $T$ не имеет инвариантных точек, тогда существует такое положительное количество $d$, что все точки перемещаются на расстояние, не меньшее $d$ при преобразовании $T\left({}^8\right)$. Выберем за $\epsilon$ число, меньшее $d$.

Рассмотрим теперь узкую полоску $a^2⩽y⩽a^2+\epsilon$. При преобразовании $T{T}_{\epsilon }$, нижний край $y=a^2$ этой полоски переходит в верхний, а вся полоска превращается в новую полоску, лежащую целиком над прежней, за исключением их общего края. Повторяя преобразование $T{T}_{\epsilon }$, переводим вторую полоску в третью и т. д.

Продолжая этот процесс, мы получим ряд полос, образующих последовательные слои. Каждый из этих слоев совмещается с самим собой при передвижении на $2\pi$ направо. Это следует из того, что оба преобразования $T$ и $T_{\epsilon }$ однозначны в кольце.
Рис. 2
В кольце эти слои будут изображаться системой замкнутых кольцевых слоев, которые, разумеется, все имеют одинаковую площадь, потому что преобразование $T{T}_{\epsilon }$, сохраняет площадь относительно $r,\vartheta$ так же, как в плоскости $(x,y)$. Следовательно, какой-нибудь из этих слоев на бесконечной полоске, скажем $k$-й слой, должен перейти гденибудь через верхнюю границу $y=b^2$ нашей полоски. Пусть теперь в плоскости $(x,y)Q$ будет точка верхнего края $k$-й полоски, для которой $y$ достигает наибольшей величины (рис. 2). Обозначим через $P$ точку прямой $y=a^2$, которая $k$-кратным повторением преобразования $T{T}_{\epsilon }$ переводится в $Q$, и пусть $P^{\prime },P^{\prime \prime },\dots ,P^{(k)}=Q$ обозначают образы точки $P$ при последовательной итерации преобразования $T{T}_{\epsilon }$. Проведем прямолинейный отрезок $P{P}^{\prime }$, который будет, разумеется, лежать целиком в первом слое. Последовательные образы этого отрезка $P^{\prime }{P}^{\prime \prime }\dots P^{(k-1)}{P}^{(k)}$ будут все находиться в соответственных слоях и не будут иметь между собой общих точек, если не считать того, что две последовательные дуги $P^{(i-1)}{P}^{(i)}$ и $P^{(i)}{P}^{(i+1)}$ имеют общий конец $P^{(i)}$. Таким образом, соединяя эти дуги вместе, получим одну дугу $PQ$ без двойных точек.

Рассмотрим теперь вектор $L{L}^{\prime }$, идущий от какой-нибудь точки $L$ к ее образу $L^{\prime }$ при преобразовании $T{T}_{\epsilon }$, и будем двигать начало $L$ вектора от $P$ к $P^{(k-1)}$ вдоль линии $PQ$. Угол, образуемый этим вектором с

положительным направлением оси абсцисс, мы можем считать в начале пути (при $L=P$ ) положительным острым углом, так как образ $P^{\prime }$ точки $P$ лежит справа и сверху от самой точки $P$. Когда точка $L$ перешла в конечное положение $P^{(k-1)}$ своего пути, этот угол будет лежать во втором квадранте, потому что, по условиям теоремы и определению $Q=P^{(k)},P^{(k)}$ лежит слева и сверху от $P^{(k-1)}\left({}^9\right)$.

Из способа построения последовательных дуг $P{P}^{\prime },P^{\prime }{P}^{\prime \prime },\dots$ совершенно очевидно, что когда $L$ движетея по кривой $PQ$ от $P$ к $P^{(k-1)}{L}^{\prime }$ движется вдоль той же кривой от $P^{\prime }$ к $Q$. Поэтому легко видеть на pис. 2, что вектор $L{L}^{\prime }$ при переходе из начального положения $P{P}^{\prime }$ к конечному $P^{(k-1)}P(k)$ делает поворот на наименьший положительный угол $\left({}^{10}\right)$. Если теперь двигать $L^{\prime }$ дальше от $Q$ по вертикальному направлению до встречи с прямой $y=b^2+\epsilon$, то утверждение о вращении вектора на наименьший положительный угол останется справедливым при условии, что $\epsilon$ достаточно мало, так как $Q$ лежит самое большее на $\epsilon$ над прямой $y=b^2\left({}^{11}\right)$.

Предположим теперь, что $L$ движется любым способом от какойнибудь точки прямой $y=a^2$ до какой-нибудь точки прямой $y=b^2$, оставаясь, конечно, все время на нашей полоске $a^2⩽y⩽b^2$. Преобразование $T{T}_{\epsilon }$ не имеет инвариантных точек, и, следовательно, точка $L$, никогда не будет совпадать со своим образом $L^{\prime }$. В начальном положении угол, образуемый $L{L}^{\prime }$, лежит в первой четверти; в конечном же положении этот угол лежит во второй четверти. Но полное изменение угла при движении $L$ от $y=a^2$ до $y=b^2$ оказалось в одном частном случае равным наименьшему возможному положительному углу $\left({}^{12}\right)$. Следовательно, так как любой путь точки $L$ от $y=a^2$ до $y=b^2$ может быть непрерывно преобразован в любой другой, это изменение будет всегда равно наименьшему положительному углу.

Пусть теперь $\epsilon$ стремится к нулю. При уменьшении $\epsilon$ вектор $L{L}^{\prime }$, где $L$ — любая точка нашей полоски, все время имеет определенное направление, так как преобразование $T{T}_{\epsilon }$ не имеет инвариантных точек. Посредством предельного перехода мы получаем, что для преобразования $T$ угловое изменение направления вектора $L{L}^{\prime }$ будет равно наименьшему возможному положительному углу $\left({}^{13}\right)$. Этот наименьший положительный угол, разумеется, равен $\pi$, потому что начальное направление $L{L}^{\prime }$ при $L$, лежащем на прямой $y=a^2$, будет совпадать с положительным направлением оси абсцисс, а конечное направление $L{L}^{\prime }$ при $y=b^2$ будет совпадать с отрицательным направлением оси абсцисс.

Рассмотрим теперь обратное преобразование $T^{-1}$, которое принадлежит к тому же типу, что и $T$, с той только разницей, что оно передвигает точки прямой $y=a^2$ налево, а точки прямой $y=b^2$ — направо. Рассуждением, совершенно подобным тому, которое было приведено

выше, мы докажем, что если начальная точка $L$ вектора $L{L}^{(-1)}$, конец которого есть $L^{(-1)}=T^{-1}L$, движется от какой-нибудь точки прямой $y=a^2$ до точки прямой $y=b^2$, то полное изменение угла вектора с осью абсцисс будет равно наименьшему отрицательному углу, т. е. $-\pi$.

Но полный поворот вектора $L{L}^{(-1)}$ в точности равен полному повороту обратно направленного вектора $L^{(-1)}L$, соединяющего точку $L^{(-1)}$ на $y=a^2$ с ее образом $L$ при преобразовании $T$.

Следовательно, по предыдущему полное изменение направления вектора $L{L}^{(-1)}$, при движении $L$ (или $L^{(-1)}$ ) от прямой $y=a^2$ до прямой $y=b^2$, должно быть равно $\pi$, между тем как мы только что получили, что оно должно быть равно — . Мы пришли, таким образом, к противоречию, из которого следует, что преобразование $T$ должно иметь по крайней мере одну инвариантную точку.

Для того, чтобы доказать, что таких точек должно быть не менее чем две, мы можем применить способ, примененный Пуанкаре.
Пусть точка $L$ описывает основной прямоугольник
$$0⩽x⩽2\pi ,a^2⩽y⩽b^2$$

в плоскости $(x,y)$ в положительном направлении. Очевидно, что при этом полный поворот вектора $L{L}^{\prime }$ будет равен нулю, потому что вектор $L{L}^{\prime }$ не изменяет направления вдоль стороны $y=a^2$ и вдоль стороны $y=b^2$, а повороты вектора вдоль сторон $x=0$ и $x=2\pi$ дают в сумме нуль. Но если $L$ описывает замкнутый путь вокруг простой инвариантной точки, то поворот вектора $L{L}^{\prime }$ будет равен $\pm 2\pi$. Следовательно, мы видим, что либо имеются по крайней мере две простые инвариантные точки, такие, что повороты вектора $L{L}^{\prime }$ вокруг них равны $+2\pi$ и $-2\pi$ соответственно, либо по крайней мере одна кратная инвариантная точка. В действительности будут всегда существовать по крайней мере две геометрически различные инвариантные точки ${}^1$.