1) Этот факт может быть доказан гораздо проще и строже. Легко убедиться, что предел $y$ при $t\to \mathrm{\infty }$ равен нулю.

В самом деле, обозначая через $K$ наибольшее значение абсолютной величины функции $t$ в рассматриваемом квадрате и принимая во внимание, что $\frac{dy}{dt}=f(x,y)$, имеем:
$$y(t)>\frac{1}{2}y\left(t_1\right)$$

при
$$0<t_1<t<t_1+\frac{y\left(t_1\right)}{2K}.$$

Отсюда в силу того, что $\frac{dx}{dt}=y$, следует, что
$$x\left(t_2\right)-x\left(t_1\right)>\frac{{\left[y\left(t_1\right)\right]}^2}{4K},$$

где
$$t_2=t_1+\frac{y\left(t_1\right)}{2K}.$$

Тем более мы имеем при всяком $t>0$
$$y^2<4K(\overline{x}-x),$$

так как $x$ — возрастающая функция $t$. А так как $x$ стремится к $\overline{x}$ при $t\to \mathrm{\infty }$, то отсюда и следует, что $y\to 0$.

Далее легко доказать, что $\overline{x}=0$. Допустив противное, мы имели бы в силу непрерывности функции $f(x,y)$ :
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{dy}{dt}=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x,y)=f(x,0)eq0,$$

что несовместимо со стремлением $y$ к нулю.
2) Все это вовсе не столь очевидно.
3) Такие слова обычно означают у Биркгофа привлечение геометрической интуиции.
4) В полноте этого перечня есть основания сомневаться.
5) Здесь Биркгоф упускает из виду тот случай, когда никакой самой внешней замкнутой кривой нет и в то же время существуют точки, лежащие вне всяких замкнутых кривых. Этот случай осуществляется, например, при
$$f(x,y)=x(y^2-1).$$

Кривые движения образуют здесь семейство, определяемое уравнением
$$y^2=1+c{e}^{x^2}(c⩾-1),$$

где $c$ — параметр семейства. При этом, когда $c⩾0$, равенство (1) определяет не одну, а две кривых движения, одна из которых лежит выше, другая ниже оси абсцисс. При $c=-1$ кривая вырождается в точку (начало координат). При $-1<c<0$ имеем замкнутую кривую вокруг начала координат. При $c\to 0$ эта кривая вытягивается в бесконечность в направлении оси $x$ и при $c=0$ переходит в две параллельные прямые $y=\pm 1$. Движения по ним, очевидно, двусторонне неустойчивы. Прямые эти лежат вне всех замкнутых кривых, среди которых нет никакой самой внешней.
6) Этим Биркгоф хочет лишь сказать, что на многообразии $M$ должны существовать замкнутые кривые, не сводящиеся в точку непрерывной деформацией.
7) Имеется в виду несводимость в точку посредством непрерывных деформаций, при которых деформируемый путь все время остается инвариантным относительно преобразования. — Прим. перев.
8) Имеется в виду эквивалентность относительно тех же деформаций. — Прим. перев.
9) Определение кратного периодического движения дано ниже, в §9.
10) Здесь и в дальнейшем имеет силу следующая, вовсе не очевидная теорема.

Если $f$ есть непрерывное отображение $m$-мерной гиперсферы $S^m$ в самое себя, получаемое из тождественного отображении посредством непрерывного изменения, то $f\left(S^m\right)=S^m$.

Простое доказательство читатель найдет, например, в XI главе книги Г.Зейферта и В. Трельфалля «Топология», ГОНТИ, 1938.
11) См. предыдущее примечание.
12) Несколько детализируя приведенную схему доказательства, нетрудно усмотреть, что ссылка на теорему Осгуда является совершенно излишней.

В самом деле, допустим, что при первом шаге длина замкнутой кривой убывает меньше чем на $\epsilon$. Тогда каждая из геодезических

дуг $P_i{P}_{i+1}$ короче прежней дуги $P_i{P}_{i+1}$ меньше, чем на $\epsilon$, и, следовательно, длины всех геодезических дуг различаются между собою меньше, чем на $\epsilon$. Следовательно, $Q_2$ будет отстоять от середины геодезической дуги $P_2{P}_3$ меньше, чем на $\epsilon ,Q_3$ — от середины дуги $P_3{P}_4$ меньше, чем на $2\epsilon$ и т. д. Вообще любое $Q_i$ будет отстоять от середины дуги $P_i{P}_{i+1}$ меньше, чем на $n\epsilon$. Отсюда следует, что геодезические дуги $Q_{i-1}{P}_i$ и $P_i{Q}_i$ будут иметь каждая длину, большую, чем $\frac{d}{2n}-n\epsilon$, что при достаточно малом $\epsilon$ больше, чем $\frac{d}{3n}$. Следовательно, если угол между этими дугами больше $\delta$, то их сумма превосходит длину геодезической $Q_{i-1}{Q}_i$ на величину, большую некоторой положительной постоянной, зависящей только от $d,n,\delta$ и поверхности $M$. Отсюда вытекает утверждение леммы.
13) Все это по меньшей мере неточно. В действительности из общей теории линейных преобразований (см., например, М. Бохер. Введение в высшую алгебру. ГТТИ, 1933, гл. 21) следует, что в рассматриваемом случае можно так преобразовать координаты, чтобы уравнения вариации приняли один из видов:
I. $\frac{d{y}_1}{dt}={\lambda }_1{y}_1,\frac{d{y}_2}{dt}=y_1+{\lambda }_1{y}_2,\frac{d{y}_i}{dt}={\lambda }_i{y}_i(i=3,\dots ,m)$,
$$\frac{d{z}_1}{dt}=-{\lambda }_1{z}_1,\frac{d{z}_2}{dt}=z_1-{\lambda }_1{z}_2,\frac{d{z}_i}{dt}=-{\lambda }_i{z}_i(i=3,\dots ,m).$$
II. $\frac{d{y}_i}{dt}={\lambda }_i{y}_i,\frac{d{z}_i}{dt}=-{\lambda }_i{z}_i(i=1,\dots ,m)$.
III. Для $y$ то же, что в случае I; для $z$ то же, что в случае II.
IV. Для $y$ то же, что в случае II; для $z$ то же, что в случае I.

Рассмотрим случай I, который, по-видимому, только и имеет в виду Биркгоф.

Как и в случае отсутствия кратных множителей, проблема сводится к рассмотрению определителя
$$D=\left|\begin{array}{ccc}{y}_1^1(2\pi )-1& \dots & y_1^{2m}(2\pi )\\ ⋮& & ⋮\\ y_m^1(2\pi )& \dots & y_m^{2m}(2\pi )\\ z_1^1(2\pi )& \dots & z_1^{2m}(2\pi )\\ ⋮& & ⋮\\ z_m^1(2\pi )& \dots & z_m^{2m}(2\pi )-1\end{array}\right|,$$

где
$$y_1^i,\dots ,y_m^i,z_1^i,\dots ,z_m^i$$

есть решение уравнений вариации, удовлетворяющее начальным условиям:
$$\begin{array}{l}{y}_j^i(0)={\delta }_{ij},z_j^i(0)=0\text{ при }i=1,\dots ,m;\\ y_j^i(0)=0,z_j^i(0)={\delta }_{i-m,j}\text{ при }i=m+1,\dots ,2m.\end{array}$$

В силу этих начальных условий при $i=1,2$ получаем, соответственно, решения:
$$\begin{array}{l}{y}_1^1=e^{{\lambda }_{1}t},y_2^1=t{e}^{{\lambda }_{1}t},y_3^1=\dots =z_m^1=0\\ y_1^2=0,y_2^2=e^{{\lambda }_{1}t},y_3^2=\dots =z_m^2=0.\end{array}$$

Аналогичным образом при $i=m+1,m+2$ имеем:
$$\begin{array}{c}{y}_1^{m+1}=\dots =y_m^{m+1}=0,z_1^{m+1}=e^{-{\lambda }_{1}t},z_2^{m+1}=t{e}^{-{\lambda }_{1}t},\\ z_3^{m+1}=\dots =z_m^{m+1}=0\\ y_1^{m+2}=\dots =y_m^{m+2}=0,z_1^{m+2}=0,z_2^{m+2}=e^{-{\lambda }_{1}t},\\ z_3^{m+2}=\dots =z_m^{m+2}=0.\end{array}$$

Наконец, для остальных значений $i$ имеем:
$$\begin{array}{l}{y}_j^i={\delta }_{ij}{e}^{{\lambda }_{i}t},z_j^i=0(i=3,\dots ,m)\text{; }\\ y_j^i=0,z_j^i={\delta }_{i-m,j}{e}^{-{\lambda }_{i}t}(i=m+3,\dots ,2m)\text{. }\end{array}$$

Отсюда, как и при отсутствии кратных множителей, получаем:
$$D=\prod _{j=1}^m(e^{2\pi {\lambda }_j}-1)(e^{-2\pi {\lambda }_j}-1)eq0,$$

если ни один из множителей ${\lambda }_j$ не является целым кратным $\sqrt{-1}$.
Совершенно аналогичным образом рассматриваются другие случаи.
14) В действительности так определенная функция $\phi$ может вовсе не быть аналитической на самой поверхности $S$, так как даже ее полная производная по $t$ может терпеть разрыв при пересечении этой поверхности.
15) В действительности из сделанных предположений вытекает лишь, что $\lambda >0$ при $zeq0$ и что $\lambda$ — аналитическая функция. Условие положительности $\lambda$ и при $z=0$ является независимим допущением, существенным для дальнейшего (см. следующее примечание).
16) Во всем этом можно убедиться следующим образом.

Обозначим через ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$ минимум и максимум функции $\lambda$ в ограниченной области $U⩽\mathbf{0}$. В силу условия положительности $\lambda$ (см. предыдущее примечание) имеем $0<{\lambda }_1⩽{\lambda }_2$. Предполагая, что $z$ и $z^{\prime }$ не обращаются в нуль одновременно, определим вспомогательные переменные $r_1,r_2,{\phi }_1,{\phi }_2$ соотношениями
$$\sqrt{{\lambda }_i}z=r_i\sin {\phi }_i,z^{\prime }=r_i\cos {\phi }_i,r_i>0(i=1,2).$$

В силу дифференциального уравнения
$$\frac{d^2{z}_i}{d{t}^2}+\lambda z=0$$

имеем
$$\frac{d{\phi }_i}{dt}=\sqrt{{\lambda }_i}\frac{z^{\prime 2}+\lambda z^2}{z^{\prime 2}+{\lambda }_i{z}^2},$$

откуда
$$\sqrt{{\lambda }_1}⩽\frac{d{\phi }_1}{dt},\frac{d{\phi }_2}{dt}⩽\sqrt{{\lambda }_2}.$$

Принимая во внимание, что координата $z$ обращается в нуль тогда и только тогда, когда ${\phi }_i=n\pi$, заключаем отсюда, что обращение $z$ в нуль имеет место не менее, чем однажды, в течение всякого промежутка времени, большего, чем $\frac{\pi }{\sqrt{{\lambda }_1}}$ и не более, чем однажды, в течение всякого промежутка времени, меньшего, чем $\frac{\pi }{\sqrt{{\lambda }_2}}$, если только $z$ не равно нулю тождественно.
17) Соображения, предшествующие этому утверждению, содержат лишь некоторый намек на его доказательство. Само же доказательство можно вести следующим образом.

Будем рассматривать решение наших дифференциальных уравнений в зависимости от начального положения точки на секущей поверхности. Величины $x,y,z,x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ являются в этом решении функциями от $x_0,y_0,z_0,x_0^{\prime },y_0^{\prime },z_0^{\prime }$ и $t$, причем первые пять аргументов связаны между собою уравнением энергии
$$\frac{1}{2}(x_0^{\prime 2}+y_0^{\prime 2}+z_0^{\prime 2})+U(x_0^{\prime },y_0^{\prime },0)=0,$$

из которого в силу условия $z_0^{\prime }⩾0$ величина $z_0^{\prime }$ определяется как однозначная непрерывная функция $x_0,y_0,x_0^{\prime },y_0^{\prime }$, аналитическая при $z_0^{\prime }>0$. Таким образом, имеем:
$$x=x(x_0,y_0,x_0^{\prime },y_0^{\prime },t),\dots ,z^{\prime }=z^{\prime }(x_0,y_0,x_0^{\prime },y_0^{\prime },t).$$

Определим еще функцию $\zeta (x_0,y_0,x_0^{\prime },y_0^{\prime },t)$ дифференциальным уравнением
$$\frac{d^2\zeta }{d{t}^2}+\lambda (x,y,z)\zeta =0$$
(содержащим $x_0,y_0,x_0^{\prime },y_0^{\prime }$ в качестве параметров) и начальными условиями
$${\zeta }_0=0,{\zeta }_0^{\prime }=1.$$

Так как $z$ удовлятворяет тому же дифференциальному уравнению и начальному условию $z=0$, то для внутренних точек ( $x_0,y_0,x_0^{\prime },y_0^{\prime }$ ) поверхности $S$ имеем, очевидно,
$$\zeta =\frac{z}{z_0^{\prime }}$$

Для точек границы поверхности $S$ правая часть этого равенства теряет смысл, так как и числитель, и знаменатель обращаются в нуль. Тем не менее, уравнение (1), принимающее вид
$$\frac{d^2\zeta }{d{t}^2}+\lambda (x,y,0)\zeta =0$$

совместно с начальными условиями (2) продолжает и в этом случае определять функцию $\zeta$.

Из теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров и начальных условий (см. главу I) следует, что функции $x,y,z,x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },\zeta$ непрерывно зависят от точки $(x_0,y_0,x_0^{\prime },y_0^{\prime })$ поверхности $S$ и от времени $t$, причем $\frac{\partial \zeta }{\partial t}$ есть непрерывная функция тех же аргументов. При этом в силу начальных условий (2) $\zeta$, рассматриваемая при фиксированных $x_0,y_0,x_0^{\prime },y_0^{\prime }$ как функция $t$, никогда не обращается тождественно в нуль.

Обозначим через $\tau (x_0,y_0,x_0^{\prime },y_0^{\prime })$ наименьший положительный корень уравнения
$$\zeta (x_0,y_0,x_0^{\prime },y_0^{\prime },t)=0,$$

удовлетворяющий условию $\frac{d\zeta }{dt}>0$. Так как рассуждение, проведенное в предыдущем примечании, применимо к нашему уравнению (1), то такой корень существует и не превосходит $\frac{2\pi }{\sqrt{{\lambda }_1}}$. Покажем, что $\tau$ является непрерывной функцией точки секущей поверхности.

Будем рассматривать произвольную (внутреннюю или граничную) точку $(x_0^0,y_0^0,x_0^{\prime 0},y_0^{\prime 0})$ поверхности $S$. Так как производная $\zeta$ по $t$ непрерывна в точке $(x_0^0,y_0^0,x_0^{\prime 0},y_0^{\prime 0},{\tau }^0)$, где ${\tau }^0=\tau (x_0^0,y_0^0,x_0^{\prime 0},y_0^{\prime 0})$ положительна, то согласно известной теореме о неявных функциях существуют положительные числа $\epsilon$ и $\delta$, такие, что при
$$max[|x_0^0-x_0|,|y_0^0-y_0|,|x_0^{\prime 0}-x_0^{\prime }|,\mid y_0^{\prime 0}-y_0^{\prime }]<\delta$$

уравнение (4) имеет единственное решение:
$$t={\tau }_1(x_0,y_0,x_0^{\prime },y_0^{\prime }),$$

удовлетворяющее условию
$$|t-{\tau }^0|<\epsilon ,$$

причем определяемая отсюда функция ${\tau }_1$ непрерывна. Остается показать, что в достаточно малой окрестности точки $(x_0^0,y_0^0,x_0^{\prime 0},y_0^{\prime 0})$ эта функция совпадает с функцией $\tau$, для чего достаточно убедиться, что уравнение (4) не имеет положительных корней, меньших ${\tau }_1$ и удовлетворяющих условию $\frac{d\zeta }{dt}>0$, когда точка $(x_0,y_0,x_0^{\prime },y_0^{\prime })$ принадлежит этой окрестности.

Допустим вопреки этому, что такие корни могут существовать для точек $(x_0,y_0,x_0^{\prime },y_0^{\prime })$, сколь угодно близких к $(x_0^0,y_0^0,x_0^{\prime 0},y_0^{\prime 0})$. Тогда существует бесконечная последовательность точек $(x_0^i,y_0^i,x_0^{\prime i},y_0^{\prime i}$ ) $(i=1,2,\dots$ ) поверхности $S$ и бесконечная последовательность моментов времени $t^i(i=1,2,\dots )$ такие, что
$$\begin{array}{c}\zeta (x_0^i,y_0^i,x_0^{\prime i},y_0^{\prime i},t^i)=0,\\ 0<t^i<\tau (x_0^i,y_0^i,x_0^{\prime }{}^i,y_0^{\prime }),\\ {\left(\frac{d\zeta }{dt}\right)}_{(x_0^i,\dots ,t^i)}>0,\\ \underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim}(x_0^i,y_0^i,x_0^{\prime }{}^i{y}_0^{\prime }{}^i)=(x_0,y_0,x_0^{\prime },y_0^{\prime })\end{array}$$

Так как $\tau <{\tau }_0+\epsilon$, то в силу неравенств (6) из последовательности пятерок ( $x_0^i,y_0^i,x_0^{\prime }{}_i,y_0^{\prime }{}^i,t^i$ ) может быть выбрана подпоследовательность, для которой $t^i$ сходятся к некоторому $t^0$. Изменим обозначения таким образом, чтобы эта новая последовательность пятерок была обозначена через $(x_0^i,y_0^i,x_0^{\prime i},y_0^{\prime i},t^i)(i=1,2,\dots )$. Тогда будем иметь условия (5)-(8) и, кроме того,
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{t}^i=t^0.$$

В силу непрерывности функций $\zeta$ и $\frac{d\zeta }{dt}$ отсюда следует, что
$$\begin{array}{c}\zeta (x_0^0,y_0^0,x_0^{\prime 0},y_0^{\prime 0},t^0)=0,\\ {\left(\frac{d\zeta }{dt}\right)}_{(x_0^0,\dots ,t^0)}⩾0.\end{array}\}$$

Но одновременное обращение в нуль функций $\zeta$ и $\frac{d\zeta }{dt}$ невозможно, так как иначе функция $\zeta (x_0^0,y_0^0,x_0^{\prime 0},y_0^{\prime 0},t)$ переменной $t$ обращалась бы тождественно в нуль в силу уравнения (1), что, как уже было отмечено, невозможно. Следовательно,
$${\left(\frac{d\zeta }{dt}\right)}_{(x_0^0,\dots ,t^0)}>0.$$

С другой стороны, согласно предыдущему примечанию условия (5) и (6) дают:
$$\frac{\pi }{\sqrt{{\lambda }_2}}⩽t^i⩽{\tau }_1(x_i^0,y_i^0,x_0^{\prime i},y_0^{\prime i})-\frac{\pi }{\sqrt{{\lambda }_2}},$$

откуда в силу непрерывности функции ${\tau }_1$
$$\frac{\pi }{\sqrt{{\lambda }_2}}⩽t^0⩽{\tau }_1(x_0^0,y_0^0,x_0^{\prime 0},y_0^{\prime 0})-\frac{\pi }{\sqrt{{\lambda }_2}}.$$

Но согласно определению функции ${\tau }_1$ имеем:
$${\tau }_1(x_0^0,y_0^0,x_0^{\prime 0},y_0^{\prime 0})=\tau (x_0^0,y_0^0,x_0^{\prime 0},y_0^{\prime 0}).$$

Таким образом,
$$0<t^0<\tau (x_0^0,y_0^0,x_0^{\prime 0},y_0^{\prime 0}).$$

Формулы (9), (10), (11) противоречат, однако, определению функции $\tau$. Непрерывность функции $\tau$ этим доказана.
Определим теперь преобразование $T$ поверхности $S$ равенствами:
$$\begin{array}{c}{x}_1=x[x_0,y_0,x_0^{\prime },y_0^{\prime },\tau (x_0,y_0,x_0^{\prime },y_0^{\prime })],\\ \cdots \cdots \cdots \\ y_1^{\prime }=y^{\prime }[x_0,y_0,x_0^{\prime },y_0^{\prime },\tau (x_0,y_0,x_0^{\prime },y_0^{\prime })].\end{array}$$

Так как функции $x,\dots ,y^{\prime }$ и $\tau$ непрерывны при всех рассматриваемых нами системах аргументов, то и это преобразование непрерывно внутри и на границе поверхности $S$. Кроме того, из равенства (3) и определения функции $\tau$ следует, что в любой внутренней точке

$(x_0,y_0,x_0^{\prime },y_0^{\prime })$ поверхности $S$ эта функция есть не что иное, как промежуток времени между начальным пересечением поверхности $S$ в этой точке и ближайшим следующим пересечением. Следовательно, во внутренних точках поверхности $S$ преобразование $T$ совпадает с рассматриваемым в тексте. Этим и доказано, что последнее преобразование может быть непрерывно распространено на границу поверхности $S$.

Что продолженное таким образом преобразование $T$ одно-однозначно — очевидно, так как совершенно аналогичным образом может быть определено непрерывное обратное преобразование.