Главная > ДИНАMИЧЕCKИE CИCTEMЫ (Д.Биркгоф)
<< Предыдущий параграф
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

1) Этот факт может быть доказан гораздо проще и строже. Легко убедиться, что предел $y$ при $t \rightarrow \infty$ равен нулю.

В самом деле, обозначая через $K$ наибольшее значение абсолютной величины функции $t$ в рассматриваемом квадрате и принимая во внимание, что $\frac{d y}{d t}=f(x, y)$, имеем:
\[
y(t)>\frac{1}{2} y\left(t_{1}\right)
\]

при
\[
0<t_{1}<t<t_{1}+\frac{y\left(t_{1}\right)}{2 K} .
\]

Отсюда в силу того, что $\frac{d x}{d t}=y$, следует, что
\[
x\left(t_{2}\right)-x\left(t_{1}\right)>\frac{\left[y\left(t_{1}\right)\right]^{2}}{4 K},
\]

где
\[
t_{2}=t_{1}+\frac{y\left(t_{1}\right)}{2 K} .
\]

Тем более мы имеем при всяком $t>0$
\[
y^{2}<4 K(\bar{x}-x),
\]

так как $x$ – возрастающая функция $t$. А так как $x$ стремится к $\bar{x}$ при $t \rightarrow \infty$, то отсюда и следует, что $y \rightarrow 0$.

Далее легко доказать, что $\bar{x}=0$. Допустив противное, мы имели бы в силу непрерывности функции $f(x, y)$ :
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{d y}{d t}=\lim _{t \rightarrow \infty} f(x, y)=f(x, 0)
eq 0,
\]

что несовместимо со стремлением $y$ к нулю.
2) Все это вовсе не столь очевидно.
3) Такие слова обычно означают у Биркгофа привлечение геометрической интуиции.
4) В полноте этого перечня есть основания сомневаться.
5) Здесь Биркгоф упускает из виду тот случай, когда никакой самой внешней замкнутой кривой нет и в то же время существуют точки, лежащие вне всяких замкнутых кривых. Этот случай осуществляется, например, при
\[
f(x, y)=x\left(y^{2}-1\right) .
\]

Кривые движения образуют здесь семейство, определяемое уравнением
\[
y^{2}=1+c e^{x^{2}} \quad(c \geqslant-1),
\]

где $c$ – параметр семейства. При этом, когда $c \geqslant 0$, равенство (1) определяет не одну, а две кривых движения, одна из которых лежит выше, другая ниже оси абсцисс. При $c=-1$ кривая вырождается в точку (начало координат). При $-1<c<0$ имеем замкнутую кривую вокруг начала координат. При $c \rightarrow 0$ эта кривая вытягивается в бесконечность в направлении оси $x$ и при $c=0$ переходит в две параллельные прямые $y= \pm 1$. Движения по ним, очевидно, двусторонне неустойчивы. Прямые эти лежат вне всех замкнутых кривых, среди которых нет никакой самой внешней.
6) Этим Биркгоф хочет лишь сказать, что на многообразии $M$ должны существовать замкнутые кривые, не сводящиеся в точку непрерывной деформацией.
7) Имеется в виду несводимость в точку посредством непрерывных деформаций, при которых деформируемый путь все время остается инвариантным относительно преобразования. – Прим. перев.
8) Имеется в виду эквивалентность относительно тех же деформаций. – Прим. перев.
9) Определение кратного периодического движения дано ниже, в §9.
10) Здесь и в дальнейшем имеет силу следующая, вовсе не очевидная теорема.

Если $f$ есть непрерывное отображение $m$-мерной гиперсферы $S^{m}$ в самое себя, получаемое из тождественного отображении посредством непрерывного изменения, то $f\left(S^{m}\right)=S^{m}$.

Простое доказательство читатель найдет, например, в XI главе книги Г.Зейферта и В. Трельфалля «Топология», ГОНТИ, 1938.
11) См. предыдущее примечание.
12) Несколько детализируя приведенную схему доказательства, нетрудно усмотреть, что ссылка на теорему Осгуда является совершенно излишней.

В самом деле, допустим, что при первом шаге длина замкнутой кривой убывает меньше чем на $\varepsilon$. Тогда каждая из геодезических

дуг $P_{i} P_{i+1}$ короче прежней дуги $P_{i} P_{i+1}$ меньше, чем на $\varepsilon$, и, следовательно, длины всех геодезических дуг различаются между собою меньше, чем на $\varepsilon$. Следовательно, $Q_{2}$ будет отстоять от середины геодезической дуги $P_{2} P_{3}$ меньше, чем на $\varepsilon, Q_{3}$ – от середины дуги $P_{3} P_{4}$ меньше, чем на $2 \varepsilon$ и т. д. Вообще любое $Q_{i}$ будет отстоять от середины дуги $P_{i} P_{i+1}$ меньше, чем на $n \varepsilon$. Отсюда следует, что геодезические дуги $Q_{i-1} P_{i}$ и $P_{i} Q_{i}$ будут иметь каждая длину, большую, чем $\frac{d}{2 n}-n \varepsilon$, что при достаточно малом $\varepsilon$ больше, чем $\frac{d}{3 n}$. Следовательно, если угол между этими дугами больше $\delta$, то их сумма превосходит длину геодезической $Q_{i-1} Q_{i}$ на величину, большую некоторой положительной постоянной, зависящей только от $d, n, \delta$ и поверхности $M$. Отсюда вытекает утверждение леммы.
13) Все это по меньшей мере неточно. В действительности из общей теории линейных преобразований (см., например, М. Бохер. Введение в высшую алгебру. ГТТИ, 1933, гл. 21) следует, что в рассматриваемом случае можно так преобразовать координаты, чтобы уравнения вариации приняли один из видов:
I. $\frac{d y_{1}}{d t}=\lambda_{1} y_{1}, \frac{d y_{2}}{d t}=y_{1}+\lambda_{1} y_{2}, \frac{d y_{i}}{d t}=\lambda_{i} y_{i} \quad(i=3, \ldots, m)$,
\[
\frac{d z_{1}}{d t}=-\lambda_{1} z_{1}, \frac{d z_{2}}{d t}=z_{1}-\lambda_{1} z_{2}, \frac{d z_{i}}{d t}=-\lambda_{i} z_{i}(i=3, \ldots, m) .
\]
II. $\frac{d y_{i}}{d t}=\lambda_{i} y_{i}, \frac{d z_{i}}{d t}=-\lambda_{i} z_{i}(i=1, \ldots, m)$.
III. Для $y$ то же, что в случае I; для $z$ то же, что в случае II.
IV. Для $y$ то же, что в случае II; для $z$ то же, что в случае I.

Рассмотрим случай I, который, по-видимому, только и имеет в виду Биркгоф.

Как и в случае отсутствия кратных множителей, проблема сводится к рассмотрению определителя
\[
D=\left|\begin{array}{ccc}
y_{1}^{1}(2 \pi)-1 & \ldots & y_{1}^{2 m}(2 \pi) \\
\vdots & & \vdots \\
y_{m}^{1}(2 \pi) & \ldots & y_{m}^{2 m}(2 \pi) \\
z_{1}^{1}(2 \pi) & \ldots & z_{1}^{2 m}(2 \pi) \\
\vdots & & \vdots \\
z_{m}^{1}(2 \pi) & \ldots & z_{m}^{2 m}(2 \pi)-1
\end{array}\right|,
\]

где
\[
y_{1}^{i}, \ldots, y_{m}^{i}, z_{1}^{i}, \ldots, z_{m}^{i}
\]

есть решение уравнений вариации, удовлетворяющее начальным условиям:
\[
\begin{array}{l}
y_{j}^{i}(0)=\delta_{i j}, z_{j}^{i}(0)=0 \quad \text { при } i=1, \ldots, m ; \\
y_{j}^{i}(0)=0, \quad z_{j}^{i}(0)=\delta_{i-m, j} \text { при } i=m+1, \ldots, 2 m . \\
\end{array}
\]

В силу этих начальных условий при $i=1,2$ получаем, соответственно, решения:
\[
\begin{array}{l}
y_{1}^{1}=e^{\lambda_{1} t}, y_{2}^{1}=t e^{\lambda_{1} t}, y_{3}^{1}=\ldots=z_{m}^{1}=0 \\
y_{1}^{2}=0, \quad y_{2}^{2}=e^{\lambda_{1} t}, \quad y_{3}^{2}=\ldots=z_{m}^{2}=0 .
\end{array}
\]

Аналогичным образом при $i=m+1, m+2$ имеем:
\[
\begin{array}{c}
y_{1}^{m+1}=\ldots=y_{m}^{m+1}=0, z_{1}^{m+1}=e^{-\lambda_{1} t}, z_{2}^{m+1}=t e^{-\lambda_{1} t}, \\
z_{3}^{m+1}=\ldots=z_{m}^{m+1}=0 \\
y_{1}^{m+2}=\ldots=y_{m}^{m+2}=0, z_{1}^{m+2}=0, \quad z_{2}^{m+2}=e^{-\lambda_{1} t}, \\
z_{3}^{m+2}=\ldots=z_{m}^{m+2}=0 .
\end{array}
\]

Наконец, для остальных значений $i$ имеем:
\[
\begin{array}{l}
y_{j}^{i}=\delta_{i j} e^{\lambda_{i} t}, z_{j}^{i}=0 \quad(i=3, \ldots, m) \text {; } \\
y_{j}^{i}=0, \quad z_{j}^{i}=\delta_{i-m, j} e^{-\lambda_{i} t} \quad(i=m+3, \ldots, 2 m) \text {. } \\
\end{array}
\]

Отсюда, как и при отсутствии кратных множителей, получаем:
\[
D=\prod_{j=1}^{m}\left(e^{2 \pi \lambda_{j}}-1\right)\left(e^{-2 \pi \lambda_{j}}-1\right)
eq 0,
\]

если ни один из множителей $\lambda_{j}$ не является целым кратным $\sqrt{-1}$.
Совершенно аналогичным образом рассматриваются другие случаи.
14) В действительности так определенная функция $\varphi$ может вовсе не быть аналитической на самой поверхности $S$, так как даже ее полная производная по $t$ может терпеть разрыв при пересечении этой поверхности.
15) В действительности из сделанных предположений вытекает лишь, что $\lambda>0$ при $z
eq 0$ и что $\lambda$ – аналитическая функция. Условие положительности $\lambda$ и при $z=0$ является независимим допущением, существенным для дальнейшего (см. следующее примечание).
16) Во всем этом можно убедиться следующим образом.

Обозначим через $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ минимум и максимум функции $\lambda$ в ограниченной области $U \leqslant \mathbf{0}$. В силу условия положительности $\lambda$ (см. предыдущее примечание) имеем $0<\lambda_{1} \leqslant \lambda_{2}$. Предполагая, что $z$ и $z^{\prime}$ не обращаются в нуль одновременно, определим вспомогательные переменные $r_{1}, r_{2}, \varphi_{1}, \varphi_{2}$ соотношениями
\[
\sqrt{\lambda_{i}} z=r_{i} \sin \varphi_{i}, z^{\prime}=r_{i} \cos \varphi_{i}, r_{i}>0 \quad(i=1,2) .
\]

В силу дифференциального уравнения
\[
\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}+\lambda z=0
\]

имеем
\[
\frac{d \varphi_{i}}{d t}=\sqrt{\lambda_{i}} \frac{z^{\prime 2}+\lambda z^{2}}{z^{\prime 2}+\lambda_{i} z^{2}},
\]

откуда
\[
\sqrt{\lambda_{1}} \leqslant \frac{d \varphi_{1}}{d t}, \quad \frac{d \varphi_{2}}{d t} \leqslant \sqrt{\lambda_{2}} .
\]

Принимая во внимание, что координата $z$ обращается в нуль тогда и только тогда, когда $\varphi_{i}=n \pi$, заключаем отсюда, что обращение $z$ в нуль имеет место не менее, чем однажды, в течение всякого промежутка времени, большего, чем $\frac{\pi}{\sqrt{\lambda_{1}}}$ и не более, чем однажды, в течение всякого промежутка времени, меньшего, чем $\frac{\pi}{\sqrt{\lambda_{2}}}$, если только $z$ не равно нулю тождественно.
17) Соображения, предшествующие этому утверждению, содержат лишь некоторый намек на его доказательство. Само же доказательство можно вести следующим образом.

Будем рассматривать решение наших дифференциальных уравнений в зависимости от начального положения точки на секущей поверхности. Величины $x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ являются в этом решении функциями от $x_{0}, y_{0}, z_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}, z_{0}^{\prime}$ и $t$, причем первые пять аргументов связаны между собою уравнением энергии
\[
\frac{1}{2}\left(x_{0}^{\prime 2}+y_{0}^{\prime 2}+z_{0}^{\prime 2}\right)+U\left(x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}, 0\right)=0,
\]

из которого в силу условия $z_{0}^{\prime} \geqslant 0$ величина $z_{0}^{\prime}$ определяется как однозначная непрерывная функция $x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}$, аналитическая при $z_{0}^{\prime}>0$. Таким образом, имеем:
\[
x=x\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}, t\right), \ldots, \quad z^{\prime}=z^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}, t\right) .
\]

Определим еще функцию $\zeta\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}, t\right)$ дифференциальным уравнением
\[
\frac{d^{2} \zeta}{d t^{2}}+\lambda(x, y, z) \zeta=0
\]
(содержащим $x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}$ в качестве параметров) и начальными условиями
\[
\zeta_{0}=0, \zeta_{0}^{\prime}=1 .
\]

Так как $z$ удовлятворяет тому же дифференциальному уравнению и начальному условию $z=0$, то для внутренних точек ( $x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}$ ) поверхности $S$ имеем, очевидно,
\[
\zeta=\frac{z}{z_{0}^{\prime}}
\]

Для точек границы поверхности $S$ правая часть этого равенства теряет смысл, так как и числитель, и знаменатель обращаются в нуль. Тем не менее, уравнение (1), принимающее вид
\[
\frac{d^{2} \zeta}{d t^{2}}+\lambda(x, y, 0) \zeta=0
\]

совместно с начальными условиями (2) продолжает и в этом случае определять функцию $\zeta$.

Из теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров и начальных условий (см. главу I) следует, что функции $x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, \zeta$ непрерывно зависят от точки $\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)$ поверхности $S$ и от времени $t$, причем $\frac{\partial \zeta}{\partial t}$ есть непрерывная функция тех же аргументов. При этом в силу начальных условий (2) $\zeta$, рассматриваемая при фиксированных $x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}$ как функция $t$, никогда не обращается тождественно в нуль.

Обозначим через $\tau\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)$ наименьший положительный корень уравнения
\[
\zeta\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}, t\right)=0,
\]

удовлетворяющий условию $\frac{d \zeta}{d t}>0$. Так как рассуждение, проведенное в предыдущем примечании, применимо к нашему уравнению (1), то такой корень существует и не превосходит $\frac{2 \pi}{\sqrt{\lambda_{1}}}$. Покажем, что $\tau$ является непрерывной функцией точки секущей поверхности.

Будем рассматривать произвольную (внутреннюю или граничную) точку $\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}\right)$ поверхности $S$. Так как производная $\zeta$ по $t$ непрерывна в точке $\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}, \tau^{0}\right)$, где $\tau^{0}=\tau\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}\right)$ положительна, то согласно известной теореме о неявных функциях существуют положительные числа $\varepsilon$ и $\delta$, такие, что при
\[
\max \left[\left|x_{0}^{0}-x_{0}\right|,\left|y_{0}^{0}-y_{0}\right|,\left|x_{0}^{\prime 0}-x_{0}^{\prime}\right|, \mid y_{0}^{\prime 0}-y_{0}^{\prime}\right]<\delta
\]

уравнение (4) имеет единственное решение:
\[
t=\tau_{1}\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right),
\]

удовлетворяющее условию
\[
\left|t-\tau^{0}\right|<\varepsilon,
\]

причем определяемая отсюда функция $\tau_{1}$ непрерывна. Остается показать, что в достаточно малой окрестности точки $\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}\right)$ эта функция совпадает с функцией $\tau$, для чего достаточно убедиться, что уравнение (4) не имеет положительных корней, меньших $\tau_{1}$ и удовлетворяющих условию $\frac{d \zeta}{d t}>0$, когда точка $\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)$ принадлежит этой окрестности.

Допустим вопреки этому, что такие корни могут существовать для точек $\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)$, сколь угодно близких к $\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}\right)$. Тогда существует бесконечная последовательность точек $\left(x_{0}^{i}, y_{0}^{i}, x_{0}^{\prime i}, y_{0}^{\prime i}\right.$ ) $(i=1,2, \ldots$ ) поверхности $S$ и бесконечная последовательность моментов времени $t^{i}(i=1,2, \ldots)$ такие, что
\[
\begin{array}{c}
\zeta\left(x_{0}^{i}, y_{0}^{i}, x_{0}^{\prime i}, y_{0}^{\prime i}, t^{i}\right)=0, \\
0<t^{i}<\tau\left(x_{0}^{i}, y_{0}^{i}, x_{0}^{\prime}{ }^{i}, y_{0}^{\prime}\right), \\
\left(\frac{d \zeta}{d t}\right)_{\left(x_{0}^{i}, \ldots, t^{i}\right)}>0, \\
\lim _{i \rightarrow \infty}\left(x_{0}^{i}, y_{0}^{i}, x_{0}^{\prime}{ }^{i} y_{0}^{\prime}{ }^{i}\right)=\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)
\end{array}
\]

Так как $\tau<\tau_{0}+\varepsilon$, то в силу неравенств (6) из последовательности пятерок ( $x_{0}^{i}, y_{0}^{i}, x_{0}^{\prime}{ }_{i}, y_{0}^{\prime}{ }^{i}, t^{i}$ ) может быть выбрана подпоследовательность, для которой $t^{i}$ сходятся к некоторому $t^{0}$. Изменим обозначения таким образом, чтобы эта новая последовательность пятерок была обозначена через $\left(x_{0}^{i}, y_{0}^{i}, x_{0}^{\prime i}, y_{0}^{\prime i}, t^{i}\right)(i=1,2, \ldots)$. Тогда будем иметь условия (5)-(8) и, кроме того,
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} t^{i}=t^{0} .
\]

В силу непрерывности функций $\zeta$ и $\frac{d \zeta}{d t}$ отсюда следует, что
\[
\left.\begin{array}{c}
\zeta\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}, t^{0}\right)=0, \\
\left(\frac{d \zeta}{d t}\right)_{\left(x_{0}^{0}, \ldots, t^{0}\right)} \geqslant 0 .
\end{array}\right\}
\]

Но одновременное обращение в нуль функций $\zeta$ и $\frac{d \zeta}{d t}$ невозможно, так как иначе функция $\zeta\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}, t\right)$ переменной $t$ обращалась бы тождественно в нуль в силу уравнения (1), что, как уже было отмечено, невозможно. Следовательно,
\[
\left(\frac{d \zeta}{d t}\right)_{\left(x_{0}^{0}, \ldots, t^{0}\right)}>0 .
\]

С другой стороны, согласно предыдущему примечанию условия (5) и (6) дают:
\[
\frac{\pi}{\sqrt{\lambda_{2}}} \leqslant t^{i} \leqslant \tau_{1}\left(x_{i}^{0}, y_{i}^{0}, x_{0}^{\prime i}, y_{0}^{\prime i}\right)-\frac{\pi}{\sqrt{\lambda_{2}}},
\]

откуда в силу непрерывности функции $\tau_{1}$
\[
\frac{\pi}{\sqrt{\lambda_{2}}} \leqslant t^{0} \leqslant \tau_{1}\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}\right)-\frac{\pi}{\sqrt{\lambda_{2}}} .
\]

Но согласно определению функции $\tau_{1}$ имеем:
\[
\tau_{1}\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}\right)=\tau\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}\right) .
\]

Таким образом,
\[
0<t^{0}<\tau\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}\right) .
\]

Формулы (9), (10), (11) противоречат, однако, определению функции $\tau$. Непрерывность функции $\tau$ этим доказана.
Определим теперь преобразование $T$ поверхности $S$ равенствами:
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=x\left[x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}, \tau\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)\right], \\
\cdots \cdots \cdots \\
y_{1}^{\prime}=y^{\prime}\left[x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}, \tau\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)\right] .
\end{array}
\]

Так как функции $x, \ldots, y^{\prime}$ и $\tau$ непрерывны при всех рассматриваемых нами системах аргументов, то и это преобразование непрерывно внутри и на границе поверхности $S$. Кроме того, из равенства (3) и определения функции $\tau$ следует, что в любой внутренней точке

$\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)$ поверхности $S$ эта функция есть не что иное, как промежуток времени между начальным пересечением поверхности $S$ в этой точке и ближайшим следующим пересечением. Следовательно, во внутренних точках поверхности $S$ преобразование $T$ совпадает с рассматриваемым в тексте. Этим и доказано, что последнее преобразование может быть непрерывно распространено на границу поверхности $S$.

Что продолженное таким образом преобразование $T$ одно-однозначно – очевидно, так как совершенно аналогичным образом может быть определено непрерывное обратное преобразование.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru