Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1) Этот факт может быть доказан гораздо проще и строже. Легко убедиться, что предел $y$ при $t \rightarrow \infty$ равен нулю. В самом деле, обозначая через $K$ наибольшее значение абсолютной величины функции $t$ в рассматриваемом квадрате и принимая во внимание, что $\frac{d y}{d t}=f(x, y)$, имеем: при Отсюда в силу того, что $\frac{d x}{d t}=y$, следует, что где Тем более мы имеем при всяком $t>0$ так как $x$ — возрастающая функция $t$. А так как $x$ стремится к $\bar{x}$ при $t \rightarrow \infty$, то отсюда и следует, что $y \rightarrow 0$. Далее легко доказать, что $\bar{x}=0$. Допустив противное, мы имели бы в силу непрерывности функции $f(x, y)$ : что несовместимо со стремлением $y$ к нулю. Кривые движения образуют здесь семейство, определяемое уравнением где $c$ — параметр семейства. При этом, когда $c \geqslant 0$, равенство (1) определяет не одну, а две кривых движения, одна из которых лежит выше, другая ниже оси абсцисс. При $c=-1$ кривая вырождается в точку (начало координат). При $-1<c<0$ имеем замкнутую кривую вокруг начала координат. При $c \rightarrow 0$ эта кривая вытягивается в бесконечность в направлении оси $x$ и при $c=0$ переходит в две параллельные прямые $y= \pm 1$. Движения по ним, очевидно, двусторонне неустойчивы. Прямые эти лежат вне всех замкнутых кривых, среди которых нет никакой самой внешней. Если $f$ есть непрерывное отображение $m$-мерной гиперсферы $S^{m}$ в самое себя, получаемое из тождественного отображении посредством непрерывного изменения, то $f\left(S^{m}\right)=S^{m}$. Простое доказательство читатель найдет, например, в XI главе книги Г.Зейферта и В. Трельфалля «Топология», ГОНТИ, 1938. В самом деле, допустим, что при первом шаге длина замкнутой кривой убывает меньше чем на $\varepsilon$. Тогда каждая из геодезических дуг $P_{i} P_{i+1}$ короче прежней дуги $P_{i} P_{i+1}$ меньше, чем на $\varepsilon$, и, следовательно, длины всех геодезических дуг различаются между собою меньше, чем на $\varepsilon$. Следовательно, $Q_{2}$ будет отстоять от середины геодезической дуги $P_{2} P_{3}$ меньше, чем на $\varepsilon, Q_{3}$ — от середины дуги $P_{3} P_{4}$ меньше, чем на $2 \varepsilon$ и т. д. Вообще любое $Q_{i}$ будет отстоять от середины дуги $P_{i} P_{i+1}$ меньше, чем на $n \varepsilon$. Отсюда следует, что геодезические дуги $Q_{i-1} P_{i}$ и $P_{i} Q_{i}$ будут иметь каждая длину, большую, чем $\frac{d}{2 n}-n \varepsilon$, что при достаточно малом $\varepsilon$ больше, чем $\frac{d}{3 n}$. Следовательно, если угол между этими дугами больше $\delta$, то их сумма превосходит длину геодезической $Q_{i-1} Q_{i}$ на величину, большую некоторой положительной постоянной, зависящей только от $d, n, \delta$ и поверхности $M$. Отсюда вытекает утверждение леммы. Рассмотрим случай I, который, по-видимому, только и имеет в виду Биркгоф. Как и в случае отсутствия кратных множителей, проблема сводится к рассмотрению определителя где есть решение уравнений вариации, удовлетворяющее начальным условиям: В силу этих начальных условий при $i=1,2$ получаем, соответственно, решения: Аналогичным образом при $i=m+1, m+2$ имеем: Наконец, для остальных значений $i$ имеем: Отсюда, как и при отсутствии кратных множителей, получаем: если ни один из множителей $\lambda_{j}$ не является целым кратным $\sqrt{-1}$. Обозначим через $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ минимум и максимум функции $\lambda$ в ограниченной области $U \leqslant \mathbf{0}$. В силу условия положительности $\lambda$ (см. предыдущее примечание) имеем $0<\lambda_{1} \leqslant \lambda_{2}$. Предполагая, что $z$ и $z^{\prime}$ не обращаются в нуль одновременно, определим вспомогательные переменные $r_{1}, r_{2}, \varphi_{1}, \varphi_{2}$ соотношениями В силу дифференциального уравнения имеем откуда Принимая во внимание, что координата $z$ обращается в нуль тогда и только тогда, когда $\varphi_{i}=n \pi$, заключаем отсюда, что обращение $z$ в нуль имеет место не менее, чем однажды, в течение всякого промежутка времени, большего, чем $\frac{\pi}{\sqrt{\lambda_{1}}}$ и не более, чем однажды, в течение всякого промежутка времени, меньшего, чем $\frac{\pi}{\sqrt{\lambda_{2}}}$, если только $z$ не равно нулю тождественно. Будем рассматривать решение наших дифференциальных уравнений в зависимости от начального положения точки на секущей поверхности. Величины $x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ являются в этом решении функциями от $x_{0}, y_{0}, z_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}, z_{0}^{\prime}$ и $t$, причем первые пять аргументов связаны между собою уравнением энергии из которого в силу условия $z_{0}^{\prime} \geqslant 0$ величина $z_{0}^{\prime}$ определяется как однозначная непрерывная функция $x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}$, аналитическая при $z_{0}^{\prime}>0$. Таким образом, имеем: Определим еще функцию $\zeta\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}, t\right)$ дифференциальным уравнением Так как $z$ удовлятворяет тому же дифференциальному уравнению и начальному условию $z=0$, то для внутренних точек ( $x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}$ ) поверхности $S$ имеем, очевидно, Для точек границы поверхности $S$ правая часть этого равенства теряет смысл, так как и числитель, и знаменатель обращаются в нуль. Тем не менее, уравнение (1), принимающее вид совместно с начальными условиями (2) продолжает и в этом случае определять функцию $\zeta$. Из теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров и начальных условий (см. главу I) следует, что функции $x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, \zeta$ непрерывно зависят от точки $\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)$ поверхности $S$ и от времени $t$, причем $\frac{\partial \zeta}{\partial t}$ есть непрерывная функция тех же аргументов. При этом в силу начальных условий (2) $\zeta$, рассматриваемая при фиксированных $x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}$ как функция $t$, никогда не обращается тождественно в нуль. Обозначим через $\tau\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)$ наименьший положительный корень уравнения удовлетворяющий условию $\frac{d \zeta}{d t}>0$. Так как рассуждение, проведенное в предыдущем примечании, применимо к нашему уравнению (1), то такой корень существует и не превосходит $\frac{2 \pi}{\sqrt{\lambda_{1}}}$. Покажем, что $\tau$ является непрерывной функцией точки секущей поверхности. Будем рассматривать произвольную (внутреннюю или граничную) точку $\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}\right)$ поверхности $S$. Так как производная $\zeta$ по $t$ непрерывна в точке $\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}, \tau^{0}\right)$, где $\tau^{0}=\tau\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}\right)$ положительна, то согласно известной теореме о неявных функциях существуют положительные числа $\varepsilon$ и $\delta$, такие, что при уравнение (4) имеет единственное решение: удовлетворяющее условию причем определяемая отсюда функция $\tau_{1}$ непрерывна. Остается показать, что в достаточно малой окрестности точки $\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}\right)$ эта функция совпадает с функцией $\tau$, для чего достаточно убедиться, что уравнение (4) не имеет положительных корней, меньших $\tau_{1}$ и удовлетворяющих условию $\frac{d \zeta}{d t}>0$, когда точка $\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)$ принадлежит этой окрестности. Допустим вопреки этому, что такие корни могут существовать для точек $\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)$, сколь угодно близких к $\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}\right)$. Тогда существует бесконечная последовательность точек $\left(x_{0}^{i}, y_{0}^{i}, x_{0}^{\prime i}, y_{0}^{\prime i}\right.$ ) $(i=1,2, \ldots$ ) поверхности $S$ и бесконечная последовательность моментов времени $t^{i}(i=1,2, \ldots)$ такие, что Так как $\tau<\tau_{0}+\varepsilon$, то в силу неравенств (6) из последовательности пятерок ( $x_{0}^{i}, y_{0}^{i}, x_{0}^{\prime}{ }_{i}, y_{0}^{\prime}{ }^{i}, t^{i}$ ) может быть выбрана подпоследовательность, для которой $t^{i}$ сходятся к некоторому $t^{0}$. Изменим обозначения таким образом, чтобы эта новая последовательность пятерок была обозначена через $\left(x_{0}^{i}, y_{0}^{i}, x_{0}^{\prime i}, y_{0}^{\prime i}, t^{i}\right)(i=1,2, \ldots)$. Тогда будем иметь условия (5)-(8) и, кроме того, В силу непрерывности функций $\zeta$ и $\frac{d \zeta}{d t}$ отсюда следует, что Но одновременное обращение в нуль функций $\zeta$ и $\frac{d \zeta}{d t}$ невозможно, так как иначе функция $\zeta\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}, t\right)$ переменной $t$ обращалась бы тождественно в нуль в силу уравнения (1), что, как уже было отмечено, невозможно. Следовательно, С другой стороны, согласно предыдущему примечанию условия (5) и (6) дают: откуда в силу непрерывности функции $\tau_{1}$ Но согласно определению функции $\tau_{1}$ имеем: Таким образом, Формулы (9), (10), (11) противоречат, однако, определению функции $\tau$. Непрерывность функции $\tau$ этим доказана. Так как функции $x, \ldots, y^{\prime}$ и $\tau$ непрерывны при всех рассматриваемых нами системах аргументов, то и это преобразование непрерывно внутри и на границе поверхности $S$. Кроме того, из равенства (3) и определения функции $\tau$ следует, что в любой внутренней точке $\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)$ поверхности $S$ эта функция есть не что иное, как промежуток времени между начальным пересечением поверхности $S$ в этой точке и ближайшим следующим пересечением. Следовательно, во внутренних точках поверхности $S$ преобразование $T$ совпадает с рассматриваемым в тексте. Этим и доказано, что последнее преобразование может быть непрерывно распространено на границу поверхности $S$. Что продолженное таким образом преобразование $T$ одно-однозначно — очевидно, так как совершенно аналогичным образом может быть определено непрерывное обратное преобразование.
|
1 |
Оглавление
|