Для удобства обозначений мы примем, что точка равновесия системы (3) находится в начале координат. Мы будем рассматривать преобразования вида
\[
x_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j}(t) \bar{x}_{j}+\frac{1}{2} \sum_{j, k=1}^{n} a_{i j k}(t) \bar{x}_{j} \bar{x}_{k}+\ldots,
\]

где коэффициенты $a_{i j}, a_{i j k}$ суть вещественные периодические аналитические функции $t$ с периодом $\tau$, такие, что определитель $\left|a_{i j}\right|$ не обращается в нуль ни при каком значении $t$. Очевидно, что два таких последовательно совершенных преобразования могут быть соединены в одно преобразование того же типа, и что преобразование, обратное какомунибудь преобразованию типа (4), будет иметь такой же вид. Кроме того, дифференциальные уравнения (3), очевидно, сохраняют свой вид при преобразовании, принадлежащем этой группе.

Представим себе теперь, что в преобразовании (4) встречаются расходящиеся ряды. Правые части $\bar{X}_{i}$ преобразованных дифференциальных уравнений будут в этом случае представлены как определенные формальные степенные ряды относительно $\bar{x}_{1}, \ldots, \bar{x}_{n}$ с коэффициентами, являющимися периодическими аналитическими функциями от $t$ с периодом $\tau$, причем эти ряды не будут содержать свободных членов. Таким образом, наряду с формальной группой преобразований, мы получаем соответствующие формальные уравнения. Здесь необходимо особенно подчеркнуть, что обычные законы композиции преобразований и вывода соответствующих дифференциальных уравнений применимы для случая расходящихся рядов совершенно так же, как

и для сходящихся. Это непосредственно следует из того, что если мы оборвем формальные ряды на каком-нибудь члене высокой степени, то для получившихся таким образом действительных преобразований и действительных дифференциальных уравнений эти формальные законы имеют место. Когда мы будем присоединять члены все более и более высокой степени, то на члены более низкой степени в правых частях получающихся дифференциальных уравнений это не будет влиять.

Переходя к формальному предельному случаю, мы заключаем, что обычные, чисто формальные соотношения будут оставаться в силе и в случае расходящихся рядов.

Во многих случаях бывает выгодно несколько видоизменить вышеуказанную формальную группу так, чтобы некоторые пары переменных $x_{i}, x_{j}$ были связаны особым образом; так, например, бывает выгодно ввести пары сопряженных переменных
\[
\xi=x_{i}+x_{j} \sqrt{-1}, \quad \eta=x_{i}-x_{j} \sqrt{-1},
\]

причем $x_{i}$ и $x_{j}$ тогда и только тогда вещественны, когда $\xi$ и $\eta$ – сопряженные комплексные переменные. В то же время преобразование координат $x_{1}, \ldots, x_{n}$ в $\bar{x}_{1}, \ldots, \bar{x}_{n}$ может быть выражено как преобразование сопряженных пар $\xi, \eta$ в соответствующие новые пары $\bar{\xi}, \bar{\eta}$. Участвующие в этом преобразовании ряды должны тогда обладать тем свойством, что если сопряженным парам, подобным $\xi, \eta$, дать сопряженные комплексные значения, а остальным переменным дать вещественные значения, то же будет иметь место и для преобразованных переменных. Если мы возвратимся к преобразованиям прежних координат, то это условие будет означать, что новые переменные $\bar{x}_{1}, \ldots, \bar{x}_{n}$ должны быть вещественными, если $x_{1}, \ldots, x_{n}$ вещественны.

Нетрудно определить характерные свойства формальных рядов, определяющих преобразования подобных пар сопряженных переменных. Если преобразования первоначальной группы написать в виде:
\[
\begin{array}{l}
x_{i}=f_{i}\left(\bar{x}_{1}, \bar{y}_{1}, \ldots, \bar{x}_{s}, \bar{y}_{s}, \bar{x}_{2 s+1}, \ldots, \bar{x}_{n}\right), \\
y_{i}=g_{i}\left(\bar{x}_{1}, \bar{y}_{1}, \ldots, \bar{x}_{s}, \bar{y}_{s}, \bar{x}_{2 s+1}, \ldots, \bar{x}_{n}\right) \quad(i=1, \ldots, s), \\
x_{i}=h_{i}\left(\bar{x}_{1}, \bar{y}_{1}, \ldots, \bar{x}_{s}, \bar{y}_{s}, \bar{x}_{2 s+1}, \ldots, \bar{x}_{n}\right) \quad(i=2 s+1, \ldots, n),
\end{array}
\]

где $x_{1}, y_{1}, \ldots, x_{s}, y_{s}$ суть $s$ пар соотнесенных переменных, то сопряженные переменные будут выражаться формулами
\[
\xi_{i}=x_{i}+y_{i} \sqrt{-1}, \quad \eta_{i}=x_{i}-y_{i} \sqrt{-1} \quad(i=1, \ldots, s),
\]

и аналогичными формулами будут выражаться $\bar{\xi}_{i}, \bar{\eta}_{i}$ через $\bar{x}_{i}, \bar{y}_{i}$.

Отсюда получаем
\[
\begin{aligned}
\xi_{i} & =f_{i}\left(\frac{\bar{\xi}_{1}+\bar{\eta}_{1}}{2}, \frac{\bar{\xi}_{1}-\bar{\eta}_{1}}{2 \sqrt{-1}}, \ldots, \bar{x}_{2 s+1}, \ldots, \bar{x}_{n}\right)+ \\
& +g_{i}\left(\frac{\bar{\xi}_{1}+\bar{\eta}_{1}}{2}, \frac{\bar{\xi}_{1}-\bar{\eta}_{1}}{2 \sqrt{-1}}, \ldots, \bar{x}_{2 s+1}, \ldots, \bar{x}_{n}\right) \sqrt{-1}
\end{aligned}
\]

для $i=1, \ldots, s$ и подобные же формулы для $\eta_{i}(i=1, \ldots, s)$ и для $x_{i}(i=2 s+1, \ldots, n)$ в новых переменных. Очевидно, что ряды, стоящие в правой части, обладают всеми свойствами преобразований формальной группы, за исключением лишь того, что их периодические коэффициенты будут, вообще говоря, комплексными.

Рассматривая внимательнее эти ряды, мы тотчас же заметим, что они обладают следующим дополнительным характеристическим свойством. Если мы переставим в каждой паре сопряженные переменные $\bar{\xi}_{i}, \bar{\eta}_{i}$ в рядах для $\xi_{i}, \eta_{i}, x_{i}$ и одновременно заменим все коэффициенты на сопряженные, то ряды для $\xi_{i}(i=1, \ldots, s)$ перейдут в ряды для $\eta_{i}$, и наоборот, в то время как ряды для $x_{i}(i=2 s+1, \ldots, n)$ останутся без изменения.

Легко доказать, что это необходимое формальное свойство является в то же время и достаточным. Действительно, пусть $\bar{x}_{i}, \bar{y}_{i}$ будут вещественные количества, и определим $\bar{\xi}_{i}, \bar{\eta}_{i}$ как выше, так что $\bar{\xi}_{i}, \bar{\eta}_{i}$ будут сопряженными комплексными числами.
Напишем:
\[
\begin{array}{l}
\xi_{i}=\varphi_{i}\left(\bar{\xi}_{1}, \ldots, \bar{\eta}_{s}, \bar{x}_{2 s+1}, \ldots, \bar{x}_{n}, t\right) \quad(i=1, \ldots, s) \\
\eta_{i}=\psi_{i}\left(\bar{\xi}_{1}, \ldots, \bar{\eta}_{s}, \bar{x}_{2 s+1}, \ldots, \bar{x}_{n}, t\right) \quad(i=1, \ldots, s) \\
x_{i}=\chi_{i}\left(\bar{\xi}_{1}, \ldots, \bar{\eta}_{s}, \bar{x}_{2 s+1}, \ldots, \bar{x}_{n}, t\right) \quad(i=2 s+1, \ldots, n) \\
\end{array}
\]

и предположим, что ряды $\varphi_{i}, \psi_{i}, \chi_{i}$ обладают указанными формальными свойствами и для начала, что они сходятся. Тогда, если мы обозначим величину, сопряженную с какой-нибудь величиной $k$ знаком $k^{*}$, то мы можем написать, например,
\[
\begin{aligned}
\xi_{i}^{*} & =\varphi_{i}^{*}\left(\bar{\xi}_{1}^{*}, \ldots, \bar{\eta}_{s}^{*}, \bar{x}_{2 s+1}, \ldots, x_{n}, t\right)= \\
& =\varphi_{i}{ }^{*}\left(\bar{\eta}_{1}, \ldots, \bar{\xi}_{s}, \bar{x}_{2 s+1}, \ldots, x_{n}, t\right)= \\
& =\psi_{i}\left(\bar{\xi}_{1}, \ldots, \bar{\eta}_{s}, \bar{x}_{2 s+1}, \ldots, x_{n}, t\right)=\eta_{i},
\end{aligned}
\]

где $\varphi_{i}^{*}$ обозначает формальный ряд, полученный посредством замены всех коэффициентов в $\varphi_{i}$ на сопряженные им. Следовательно, $\xi_{i}$ и $\eta_{i}$ со-

пряжены. Подобное же рассуждение показывает, что $x_{i}$ будут вещественны (для $i=2 s+1, \ldots, 2 n$ ).

В случае, когда ряды первоначальной формальной группы расходятся, то ряды для сопряженных переменных могут, разумеется, тоже расходиться. Но вышеприведенное формальное свойство сохраняется и в этом случае, в чем можно легко убедиться, обрывая ряды где-нибудь на членах высоких степеней и применяя далее то же рассуждение, что и выше.

В качестве очень простого примера перехода от вещественных к сопряженным комплексным переменным рассмотрим преобразование, которое в вещественном виде производится над парой переменных $x, y$ и имеет вид:
\[
\begin{array}{l}
x=\bar{x} \cos \left(\vartheta+t-c \bar{r}^{2}\right)-\bar{y} \sin \left(\vartheta+t-c \bar{r}^{2}\right), \\
y=\bar{x} \sin \left(\vartheta+t-c \bar{r}^{2}\right)+\bar{y} \cos \left(\vartheta+t-c \bar{r}^{2}\right) \quad\left(\bar{r}^{2}=\bar{x}^{2}+\bar{y}^{2}\right) .
\end{array}
\]

Это преобразование, очевидно, принадлежит к рассматриваемой формальной группе и имеет период $\tau=2 \pi$. Переходя к соответственной паре сопряженных комплексных переменных $\xi, \eta$, легко найдем
\[
\begin{array}{l}
\xi=\bar{\xi} e^{\sqrt{-1}(\vartheta+t-c \bar{\xi} \bar{\eta})}, \\
\eta=\bar{\eta} e^{-\sqrt{-1}(\vartheta+t-c \bar{\xi} \bar{\eta})}
\end{array}
\]

и сразу убеждаемся, что правые части формул обладают требуемым характеристическим свойством.