Зададим теперь следующий вопрос: при каких условиях можно найти $m$ «множителей» $M_{i}$, зависящих от координат и скоростей, так, чтобы, умножив уравнения Лагранжа на эти множители $M_{1}, \ldots, M_{m}$ и сложив, мы получили бы в левой части полученного уравнения полную производную некоторой функции $V$, линейной относительно скоростей? Если такие множители существуют, то имеем:
\[
\sum_{j=1}^{m} M_{j}\left[\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{j}^{\prime}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{j}}\right]=\frac{d V}{d t} .
\]

Очевидно, что это будет обобщением понятия несущественной координаты, для которой имеем $M_{i}=1$ для некоторого $i$, тогда как $M_{j}=0$ при $j
eq i$.

Сравнивая коэффициенты при $q_{i}^{\prime \prime}$ в обеих частях написанного тождества, мы получаем прежде всего:
\[
\sum_{j=1}^{m} M_{j} \frac{\partial^{2} L}{\partial q_{i}^{\prime} \partial q_{j}^{\prime}}=\frac{\partial V}{\partial q_{i}^{\prime}} \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

Здесь благодаря тому, что $L$ по предположению есть квадратичная функция скоростей, коэффициенты при $M_{j}$ будут функциями только координат $q_{1}, \ldots, q_{m}$. Правая часть равенства – тоже функция только координат, так как $V$ линейна относительно скоростей. Кроме того, так как $L_{2}$ – определенная положительная форма, то определитель $\left|\partial^{2} L / \partial q_{i}^{\prime} \partial q_{j}^{\prime}\right|
eq 0$. Из всего этого следует, что функции $M_{i}$ могут содержать только координаты. Частное интегрирование относительно $q_{i}^{\prime}$ дает:
\[
V=\sum_{j=1}^{m} M_{j} \frac{\partial L}{\partial q_{j}^{\prime}}+S\left(q_{1}, \ldots, q_{m}\right) .
\]

Для каждой данной функции $V$ существует только одна система функций $M_{i}$ и $S$, для которой выполняются эти равенства, так как коэффициенты $\partial L / \partial q_{j}^{\prime}$ при $M_{j}$ суть линейно независимые относительно скоростей $q_{i}^{\prime}$ выражения. Кроме того при преобразовании координат новое соотношение, полученное из написанного выше, будет иметь тот же вид, так как интеграл, линейный относительно скоростей, остается таковым при любом преобразовании переменных. Таким образом, переходя от переменных $q_{i}$ к новым $\bar{q}_{i}$, находим
\[
V=\sum_{j, k=1}^{m} M_{j} \frac{\partial L}{\partial \bar{q}_{k}^{\prime}} \frac{\partial \bar{q}_{k}}{\partial q_{j}}+S .
\]

Новые коэффициенты $\bar{M}_{i}$ даются формулами:
\[
\bar{M}_{i}=\sum_{j=1}^{m} M_{j} \frac{\partial \bar{q}_{i}}{\partial q_{j}} .
\]

Из теории линейных уравнений в частных производных первого порядка известно, что можно определить $m$ независимых функций $\overline{q_{i}}$, таких, что выполняются соотношения
\[
\bar{M}_{1}=1, \quad \bar{M}_{2}=\ldots=\bar{M}_{m}=0 .
\]

Тогда получаем
\[
V=\frac{\partial L}{\partial \bar{q}_{1}^{\prime}}+S .
\]

Дифференцируя это равенство по $t$ и принимая во внимание, что теперь
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \bar{q}_{1}^{\prime}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \bar{q}_{1}} \equiv \frac{d V}{d t}
\]

получаем новое тождество
\[
\frac{\partial L}{\partial \bar{q}_{1}}+\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial S}{\partial \bar{q}_{j}} \bar{q}_{j}^{\prime} \equiv 0 .
\]

Таким образом, выражение $\partial L / \partial \bar{q}_{1}$ оказывается линейным относительно скоростей. Следовательно, коэффициенты при членах $L$, квадратичных относительно скоростей, не зависят от $\overline{q_{1}}$, т.е.
\[
L_{2}=\sum_{j, k=1}^{m} a_{j k}\left(\bar{q}_{2}, \ldots, \bar{q}_{m}\right) \bar{q}_{j}^{\prime} \bar{q}_{k}^{\prime} .
\]

Положим
\[
L_{1}=\sum_{j=1}^{m} b_{j}\left(\bar{q}_{1}, \ldots, \bar{q}_{m}\right) \bar{q}_{j}^{\prime} ; \quad L_{0}=e\left(\bar{q}_{1}, \ldots, \bar{q}_{m}\right),
\]

тогда вышеприведенное тождество можно записать так:
\[
\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial b_{j}}{\partial \bar{q}_{1}} \bar{q}_{j}^{\prime}+\frac{\partial e}{\partial \bar{q}_{1}}+\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial S}{\partial \bar{q}_{j}} \bar{q}_{j}^{\prime}=0 .
\]

Отсюда мы сразу видим, что $e$ не зависит от $\bar{q}_{1}$ и что, положив $S^{*}=$ $=\int S d \bar{q}_{1}$, мы можем написать для $L_{1}$ выражение
\[
L_{1}=-\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial S^{*}}{\partial \bar{q}_{j}} \bar{q}_{j}^{\prime}+\sum_{j=1}^{m} b_{j}^{*}\left(\bar{q}_{2}, \ldots, \bar{q}_{m}\right) \bar{q}_{j}^{\prime} .
\]

Таким образом, $L_{1}$ равняется сумме полной производной и линейного выражения от $\bar{q}_{1}^{\prime}, \ldots, \bar{q}_{m}^{\prime}$ с коэффициентами, зависящими только от $\bar{q}_{2}^{\prime}, \ldots, \bar{q}_{m}^{\prime}$.

Так как мы можем прибавить к функции $L$ полную производную, не изменяя этим ни вариацию, ни уравнения Лагранжа, то мы можем опустить первое слагаемое в $L$. Следовательно, мы можем считать, что $L$ не содержит координаты $q_{1}$.

Самый общий случай, в котором для уравнений Лагранжа можно подобрать множители $M_{1}\left(q_{1}, \ldots, q_{m}\right)$, с помощью которых можно составить такую комбинацию левых частей уравнений Лаграна, которая была бы полной произвоной некоторой функции $V$, линейной относительно скоростей $q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}$, может быть приведен переходом $\kappa$ новым переменным к случаю системы, содержащей несущественную координату $q_{1}$, когда все множители, кроме одного $M_{1}$, равны нулю, а $M_{1}$ равен единице.

Существование таких линейных интегралов может быть установлено чисто геометрическими способами. Заметим, что в предшествовавших рассуждениях производились преобразования только над $q_{1}, \ldots, q_{m}$, тогда как $t$ оставалось без изменения. Следовательно, квадратичная дифференциальная форма $d s^{2}=L_{2} d t^{2}$ представляет собой инвариант, который в окончательных переменных имеет коэффициенты, содержащие только $q_{2}, \ldots, q_{m}$. Но это аналитическое свойство дифференциального элемента означает, что многообразие допускает однопараметрическую непрерывную группу преобразований в себя:
\[
\bar{q}_{1}=q_{1}+c, \quad \bar{q}_{2}=q_{2}, \ldots, \bar{q}_{m}=q_{m} .
\]

Необходимое условие существования такой обобщенной несущественной координаты состоит в том, что многообразие $d s^{2}=L_{2} d t^{2}$ допускает однопараметрическую непрерывную группу преобразований в себя. Мы не будем здесь искать дальнейших необходимых условий.