Пусть теперь мы имеем лагранжеву динамическую проблему:
$$\delta I=\delta {\int }_{t_0}^{t_1}Ldt=0,$$

где $L$ есть функция пространственных координат $q_1,\dots ,q_m$ и скоростей $q_1^{\prime },\dots ,q_m^{\prime }$, квадратичная относительно этих последних переменных.

Выраженная этой вариационной формулой система дифференциальных уравнений имеет интеграл энергии, а именно:
$$L_2-L_0=\text{ const. }$$

Прибавляя к $L_0$ надлежащее постоянное слагаемое, мы можем обратить для данного движения произвольную постоянную в написанной формуле в нуль. Мы попробуем упростить поставленную задачу, пользуясь интегралом энергии, который можем написать теперь в виде
$$L_2-L_0=0.$$

Как мы уже видели, задаче можно дать иную вариационную формулировку, а именно:
$$\delta {\int }_{t_0}^{t_1}(2\sqrt{L_0{L}_2}+L_1)dt=0$$
(см. главу II, §3), где подынтегральное выражение представляет собой однородную функцию от $q_1^{\prime },\dots ,q_m^{\prime }$ размерности один и где, следовательно, значение интеграла не зависит от параметра $t$ вдоль пути интегрирования, а только от самого пути в пространстве $(q_1,\dots ,q_m)$.

Далее, координатами являются $q_1,\dots ,q_m$. Но выбор той или иной системы координат не существен, потому что любое однозначное аналитическое преобразование переменных не влияет на вариационный принцип. Необходимо, однако, потребовать, чтобы система значений координат $q_1,\dots ,q_m$ образовала некоторое аналитическое многообразие $M$ известной связности. Соответственно этому мы принимаем, что коэффициенты в $L$ суть аналитические функции от $q_1,\dots ,q_m$ на многообразии $M$, если $q_1,\dots ,q_m$ выбраны подходящим образом. Предположим, кроме того, что выражение $4L_0{L}_2-L_1^2$, которое является однородной квадратичной формой относительно скоростей, будет положительной определенной формой. Мы можем рассматривать выражение $d{s}^2=L_0{L}_{2}d{t}^2$ как квадрат элемента дуги на «характеристической поверхности» $M$.

Обозначим через $l$ любую замкнутую кривую в $M$, которую нельзя непрерывно деформировать в точку. Многообразие $M$ здесь считается многосвязным в смысле линейной связности $\left({}^6\right)$.

Предположим далее, что при такой непрерывной деформации кривой $l$ интеграл $I$ вдоль этой кривой безгранично возрастает, если $l$ не остается целиком в конечной части многообразия $\mathrm{M}$, а также, что $I$ превосходит некоторую положительную константу $I_0$ при любом выбоpe $l$. В этом случае, следовательно, будет существовать положительная точная нижняя граница для значений интеграла $I$ вдоль этих кривых.

Интуитивно очевидно, что эта граница будет достигнута на некоторой замкнутой кривой, которая будет соответствовать какому-то периодическому движению. Здесь мы не будем входить в детали доказательств, а ограничимся тем, что выскажем результат ${}^1$.

Если нам дана лагранжева динамическая проблема этого рода с функцией
$$L=L_0+L_1+L_2$$

и на характеристической поверхности $M$ дан какой-нибудь замкнутый путь $l$, не сводимый в точку, то для любого заданного значения с постоянной энергии, т.е.для
$$L_2-L_0=c,$$

существует периодическое движение того же типа (в смысле непрерывных преобразований), что и $l$, для которого
$$l={\int }_l(2\sqrt{L_0{L}_2}+L_1)dt$$

имеет абсолютный минимум.
Если $L_1=0$, так что динамическая система обратима, то интеграл превращается в длину дуги в на характеристической поверхности и периодическое движение соответствует замкнутой геодезической линии данного типа.

В случае двух степеней свободы ( $m=2$ ) этот метод минимума дает только те периодические движения неустойчивого типа, для которых оба не равные нулю множителя вещественны ${}^1$. Аналогичные результаты, несомненно, справедливы для любого числа степеней свободы и могут быть получены при помощи классических методов вариационного исчисления.

Если мы будем изменять постоянную энергии $c$, то почти очевидно, что периодическое движение будет изменяться аналитически. Мы имеем здесь, таким образом, пример аналитического продолжения периодического движения с изменением параметра (см. $\mathrm{\S }9$ этой главы).