Для многих динамических систем геометрическая конфигурация задается $m$ координатами $q_{1}, \ldots, q_{m}$ пространственного характера, а состояние системы определяется этими координатами и скоростями $q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}$, где $q_{i}^{\prime}=d q_{i} / d t$. Про такую систему говорят, что она обладает $m$ степенями свободы. Этим координатам могут быть соотнесены обобщенные внешние силы $Q_{i}$, причем работа $W$ этих сил определяется формулой:
\[
d W=\sum_{j=1}^{m} Q_{j} d q_{j},
\]

где символ дифференцирования имеет свое обычное значение.
Величины $Q_{i}$ мы будем предполагать вещественными, однозначными аналитическими функциями координат, скоростей и ускорений;

таким образом, существует одна и только одна система внешних сил, вызывающая данную систему ускорений при заданной системе значений координат и скоростей. В этом случае переменными, определяющими состояние системы, очевидно, являются $2 m$ координат и скоростей.

Конкретной моделью подобной динамической системы может служить скрытый в стене механизм, управляемый системой $m$ стержней, выступающих над поверхностью стены. Если стержни выступают на длины $q_{1}, \ldots, q_{m}$, то $Q$ будут обыкновенные силы, приложенные к этим стержням в направлении изнутри.

Основная гипотеза, выражающая принцип сохранения энергии, состоит в том, что если при каком-нибудь приложении этих внешних сил динамическая система проходит замкнутый цикл, так что конечные значения $2 m$ величин $q_{i}$ и $q_{i}^{\prime}$ равны начальным значениям, то полная работа, совершенная внешними силами на протяжении всего цикла, равна нулю. Всякую систему, удовлетворяющую этому условию, мы будем называть консервативной.

Консервативные динамические системы являются лишь идеальным случаем по отношению к системам, действительно встречающимся в природе, тем не менее значение их чрезвычайно велико.

Рассмотрим теперь свойства подобной консервативной системы. Если она проходит цикл $A B C A$ и измененный цикл $A B^{\prime} C A$ (которые могут быть изображены графически замкнутыми кривыми в $2 m$-мерном пространстве с координатами $q_{i}$ и $q_{i}^{\prime}$ ), то работа, совершенная силами на отрезках $A B C$ и $A B^{\prime} C$ обоих циклов, одинакова, а именно, равна работе, совершенной на общей части $C A$, взятой с обратным знаком. Таким образом, работа, совершенная на пути от $A$ до $C$, не зависит от самого пути, а только от значений $q_{1}, \ldots, q_{m}, q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}$ в точке $C$.
\[
\int_{A}^{C} \sum_{j=1}^{m} Q_{j} d q_{j}=\left.W\left(q_{1}, \ldots, q_{m}, q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}\right)\right|_{A} ^{C} .
\]

Дифференцируя это равенство по $t$, получим следующее фундаментальное тождество, выраженное в $3 m$ переменных $q_{i}, q_{i}^{\prime}, q_{i}^{\prime \prime}$ :
\[
\sum_{j=1}^{m} Q_{j} q_{j}^{\prime} \equiv \sum_{j=1}^{m}\left(\frac{\partial W}{\partial q_{j}} q_{j}^{\prime}+\frac{\partial W}{\partial q_{j}^{\prime}} q_{j}^{\prime \prime}\right) .
\]

Это соотношение должно иметь место, если мы хотим, чтобы соблюдался принцип сохранения энергии, и, наоборот, легко видеть, что из соотношения (4) следует принцип сохранения энергии.

Этому тождеству можно придать интересную явную форму. Для этой цели будем искать такую функцию $L$ от $2 m$ переменных $q_{i}, q_{i}^{\prime}$, чтобы для нее было справедливо тождество:
\[
\sum_{j=1}^{m}\left[\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{j}^{\prime}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{j}}\right] q_{j}^{\prime} \equiv \sum_{j=1}^{m}\left(\frac{\partial W}{\partial q_{j}} q_{j}^{\prime}+\frac{\partial W}{\partial q_{j}^{\prime}} q_{j}^{\prime \prime}\right) .
\]

Сравнивая коэффициенты при $q_{i}^{\prime \prime}$ обеих частей, получим $m$ условий:
\[
\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial^{2} L}{\partial q_{i}^{\prime} \partial q_{j}^{\prime}} q_{j}^{\prime} \equiv \frac{\partial W}{\partial q_{i}^{\prime}},
\]

которые все будут удовлетворены, если
\[
\sum_{j=1}^{m} q_{j}^{\prime} \frac{\partial L}{\partial q_{j}^{\prime}}-L \equiv W
\]

в чем можно убедиться, дифференцируя по $q_{i}^{\prime}$. Сравнивая в обеих частях остающиеся члены, независимые от $q_{i}^{\prime \prime}$, получаем новое условие:
\[
\sum_{i, j=1}^{m} \frac{\partial^{2} L}{\partial q_{i} \partial q_{j}^{\prime}} q_{i}^{\prime} q_{j}^{\prime}-\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial L}{\partial q_{j}} q_{j}^{\prime} \equiv \sum_{j=1}^{m} \frac{\partial W}{\partial q_{j}} q_{j}^{\prime},
\]

которое, очевидно, будет удовлетворено, если $L$ удовлетворяет условию (5).

Всегда можно найти функцию $L$, удовлетворяющую условию (5). Для этой цели заметим, прежде всего, что если $Q_{1}, \ldots, Q_{m}$ можно разложить в ряд по возрастающим степеням $q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}$, то соответствующее разложение $W$ не будет содержать членов первой степени. Иначе говоря, мы имеем
\[
W=W_{0}+^{*}+W_{2}+W_{3}+\ldots,
\]

где $W_{n}$ обозначает сумму членов $n$-ой степени относительно скоростей $q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}$ в разложении $W$. Действительно, если бы в этом разложении присутствовало $W_{1}$, то в правой части фундаментального тождества (4) имелись бы члены, не содержащие скоростей $q_{i}^{\prime}$, в то время как левая часть этих членов не имеет. Если мы теперь подставим в уравнение в частных производных (5) написанное выше разложение $W$ и соответствующее разложение $L$ :
\[
L=L_{0}+L_{1}+L_{2}+\ldots,
\]

и примем во внимание, что согласно теореме Эйлера об однородных функциях
\[
\sum_{j=1}^{m} q_{j}^{\prime} \frac{\partial L_{n}}{\partial q_{j}^{\prime}}=n L_{n}
\]

то, сравнивая члены одинакового порядка относительно скоростей, получим
\[
L_{0}=-W_{0}, \quad L_{2}=W_{2}, \ldots, \quad L_{n}=\frac{W_{n}}{n-1}, \ldots
\]

в то время как $L_{1}$ остается произвольной.
Всякую такую функцию $L$ можно назвать «главной функцией», связанной с данной произвольной консервативной системой. Если в разложении функции $L$ в ряд по степеням скоростей отсутствуют члены первой степени, то такая функция $L$ обладает некоторыми важными свойствами.
Определяя функции $R_{i}$ посредством уравнений
\[
Q_{i}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}^{\prime}}\right)-\frac{d L}{\partial q_{i}}+R_{i}
\]

мы замечаем, что согласно определению функции $L$
\[
\sum_{j=1}^{m} R_{j} q_{j}^{\prime} \equiv 0 .
\]

Обратно, если $Q_{1}, \ldots, Q_{m}$ могут быть выражены в форме (6) так, чтобы имело место равенство (7), то для такой системы справедлив закон сохранения энергии.

Если $W$ есть функция работы консервативной динамической системы и если $L$ – соответствующая главная функция, то обобценные внешние силы $Q_{i}$ могут быть выражены в форме (6) и (7).

Это последнее утверждение может быть сформулировано в несколько ином виде. Как это обычно делается, назовем динамическую систему, для которой $R_{i} \equiv 0(i=1, \ldots, m)$, «лагранжевой системой». Систему же, для которой $W \equiv 0$ назовем «системой, лишенной энергии». Это последнее название оправдывается тем, что любые внешние силы, приложенные к такой системе, не произведут никакой работы. В этом случае мы можем также положить $L \equiv 0$. Тогда только что приведенное утверждение может быть высказано в такой форме:

Всякая консервативнал динамическая система имеет внешние силы, которые могут быть представлены в виде суммы внешних сил «лагранжевой системы» и внешних сил «системы, лииенной энергии».

Перед тем, как перейти к дальнейшим вопросам, заметим, что для свободного движения системы по определению должно быть $Q_{1}=\ldots=$ $=Q_{n}=0$ и, следовательно, уравнения движения принимают вид:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}^{\prime}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=-R_{i} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где величины $R_{i}$ удовлетворяют соотношению (7). Из этих уравнений непосредственно следует:

Движение свободной консервативной динамической системы совпадает с движением лагранжевой системы, к которой приложена система сил, не производящая работы.

Свободная консервативная динамическая система, очевидно, имеет интеграл работы $W=$ const, который в силу соотношения (5) может быть написан в другой форме, а именно:
\[
\sum_{j=1}^{m} q_{j}^{\prime} \frac{\partial L}{\partial q_{j}^{\prime}}-L=\text { const. }
\]

Лагранжевы и лишенные энергии системы были определены через условия, накладываемые на внешние силы. Эти определения не исключают друг друга. В самом деле, поставим себе вопрос: при каких условиях динамическая система будет лагранжевой и одновременно лишенной энергии? Так как она лишена энергии, то, очевидно,
\[
W=W_{0}+W_{2}+\ldots=0,
\]

откуда мы находим, что для нее самая общая функция $L$ будет иметь вид:
\[
L=L_{1}=\sum_{j=1}^{m} \alpha_{j} q_{j}^{\prime} .
\]

Но поскольку наша система является лагранжевой, то можно положить
\[
R_{i}=0
\]

при всех $i$ и, таким образом, найти
\[
Q_{i}=\sum_{j=1}^{m}\left(\frac{\partial \alpha_{i}}{\partial q_{j}}-\frac{\partial \alpha_{j}}{\partial q_{i}}\right) q_{j}^{\prime} \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

Итак, для того чтобы система была одновременно обоих типов, обобщенные внешние силы должны иметь указанный частный вид.

Интересно отметить, что в случае, когда $m=1$, из уравнения (7) следует, что $R_{1}=0$, так что всякая консервативная динамическая система с одной степенью свободы будет лагранжевой системой. Подобным же образом, если $m=2$, то внешние силы могут быть представлены в виде
\[
Q_{1}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{1}^{\prime}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{1}}+\lambda q_{2}^{\prime} ; \quad Q_{2}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{2}^{\prime}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{2}}-\lambda q_{1}^{\prime},
\]

где $\lambda$ – произвольная функция координат, скоростей и ускорений.