Нетрудно распространить вышеприведенный метод на проблему обобщенного равновесия, в которой мы исходим из уравнений вида (3). В этом случае уравнения вариации образуют систему, состоящую из $n$ обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
\[
\frac{d y_{i}}{d t}=\left.\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}}\right|_{x=0} y_{j} \quad(i=1, \ldots, n),
\]

коэффициенты которых $\partial X_{i} /\left.\partial x_{j}\right|_{x=0}$ суть аналитические периодические функции $t$ с периодом $\tau$. Пусть $y_{1 k}, \ldots, y_{n k}(k=1, \ldots, n)$ представляют собою для каждого $k$ решения этой системы, причем все эти $n$ решений линейно независимы. Тогда общее решение будет линейной комбинацией этих частных решений. При замене $t$ на $t+\tau$ уравнения вариации не изменяют. Отсюда следует, что
\[
y_{i k}(t+\tau)=\sum_{l=1}^{n} y_{i l}(t) c_{l k} \quad(i, k=1, \ldots, n),
\]

где $c_{l k}$ – постоянные коэффициенты. Если мы теперь определим опять $m_{1}, \ldots, m_{n}$, как корни характеристического уравнения таблицы $\left\|c_{i j}\right\|$, то мы можем, рассуждая совершенно так же, как выше, выбрать другую систему $n$ линейно независимых решений таких, что предыдущие соотношения примут для них нормальную форму:
\[
y_{i k}(t+\tau)=m_{k} y_{i k} \quad(i, k=1, \ldots, n) .
\]

Мы ограничиваемся, как и выше, рассмотрением общего случая, когда между числами $\mu_{k}=\lg m_{k} / \tau(k=1, \ldots, n)\left(^{1}\right)$ и $2 \pi \sqrt{-1} / \tau$ не имеется никаких соотношений вида:
\[
i_{1} \mu_{1}+\ldots+i_{n} \mu_{n}+i_{n+1} \frac{2 \pi \sqrt{-1}}{\tau}=0,
\]

где $i_{1}, \ldots, i_{n+1}$ – целые числа, не равные одновременно нулю. В этом случае $m_{1}, \ldots, m_{n}$ все различны между собою.

Напишем теперь функции $y_{i k}$, дающие решения уравнений вариации в виде
\[
y_{i k}=e^{\mu_{k} t} p_{i k}(t) \quad(i, k=1, \ldots, n),
\]

тогда очевидно, что функции $p_{i k}$ будут периодическими с периодом $\tau$. Далее, из известной теоремы $\left({ }^{2}\right)$ мы знаем, что определитель
\[
\left|y_{i j}\right|=\left|p_{i j}\right| e^{\left(\mu_{1}+\ldots+\mu_{n}\right) t}
\]

никогда не обращается в нуль. Следовательно, линейная замена переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$ на $z_{1}, \ldots, z_{n}$ по формуле
\[
x_{i}=\sum_{j=1}^{n} p_{i j} z_{j} \quad(i=1, \ldots, n)
\]

принадлежит к группе допустимых преобразований. Уравнения вариации будут иметь решение:
\[
y_{i}=\delta_{i k} e^{\mu_{k} t} \quad(i=1, \ldots, n)
\]

при $k=1, \ldots, n$. Следовательно, новые уравнения должны иметь вид:
\[
\frac{d z_{i}}{d t}=\mu_{i} z_{i}+\ldots \quad(i=1, \ldots, n) .
\]

Из всего этого мы заключаем, что можно без ограничения общности писать наши уравнения в подготовленном виде:
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=\mu_{i} x_{i}+F_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right) \quad(i=1, \ldots, n),
\]

где $F_{i}$ есть, разумеется, периодическая функция $t$ с периодом $\tau$. Очевидно, что если некоторые пары чисел $m_{i}$, суть пары сопряженных комплексных чисел, то мы можем считать, что сделанное нами преобразование переменных принадлежит к типу, который мы рассматривали.

Будем теперь продолжать так же, как в обыкновенной проблеме равновесия, и попробуем с этой целью произвести преобразование переменных, подобное тому, которое мы делали выше, с тем различием, что коэффициенты в рядах $\varphi_{i}$, не должны быть непременно постоянными числами, а могут быть периодическими аналитическими функциями $t$ с периодом $\tau$. Если мы будем выбирать систему этих «функций» $\varphi_{i}\left({ }^{3}\right)$

так, чтобы привести дифференциальные уравнения к нормальному виду, как мы это делали в случае обыкновенного равновесия, то получим аналогичные уравнения, а именно:
\[
\begin{array}{l}
F_{i 2}+\frac{\partial \varphi_{i 2}}{\partial t}+\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial \varphi_{i 2}}{\partial x_{j}} \mu_{j} x_{j}=\mu_{i} \varphi_{i 2} \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
F_{i k}+\frac{\partial \varphi_{i k}}{\partial t}+\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial \varphi_{i k}}{\partial x_{j}} \mu_{j} x_{j}+\sum_{p+q=k+1} \frac{\partial \varphi_{i p}}{\partial x_{j}} F_{j q}\right)=\mu_{i} \varphi_{i k}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Рассматривая типический член $\varphi_{i 2}$
\[
c_{i}(t) x_{1}^{l_{1}} \ldots x_{n}^{l_{n}} \quad\left(l_{1}+\ldots+l_{n}=2\right)
\]

мы находим, что требуемые условия будут
\[
d_{i}(t)+\frac{d c_{i}(t)}{d t}+\left[l_{1} \mu_{1}+\ldots+\left(l_{i}-1\right) \mu_{i}+\ldots+l_{n} \mu_{n}\right] c_{i}=0(i=1, \ldots, n),
\]

где $d_{i}$ – коэффициент подобного члена $F_{i 2}$. Коэффициент $\lambda$ при $c_{i}$ в этом уравнении не равен нулю, и уравнение можно сразу решить относительно $c_{i}$ :
\[
c_{i}(t)=k_{i} e^{-\lambda t}-e^{-\lambda t} \int_{0}^{t} d_{i}(t) e^{\lambda t} d t .
\]

Решение будет периодическим относительно $t$ с периодом $\tau$ в том и только в том случае, если
\[
k_{i}\left(1-e^{\lambda \tau}\right)=\int_{0}^{\tau} d_{i}(t) e^{\lambda t} d t .
\]

Это уравнение относительно $k_{i}$ можно, разумеется, решить одним и только одним способом, если только $\lambda$ не является целым кратным $2 \pi \sqrt{-1} / \tau$. Но это последнее соотношение противоречило бы нашему предположению о том, что между множителями $\mu_{1}, \ldots, \mu_{n}$ и $2 \pi \sqrt{-1} / \tau$ не существует никакого линейного соотношения с целыми коэффициентами.

Отсюда мы видим, что, как и выше, при последовательном определении $\varphi_{i 2}, \varphi_{i 3}$ и т. д. нам не встретится никаких затруднений, и, таким образом, мы можем привести наши уравнения к требуемой нормальной форме.
Посредством формального преобразования
\[
x_{i}=f_{i}\left(z_{1}, \ldots, z_{n}, t\right)=\sum_{j=1}^{n} l_{i j}(t) z_{j}+\frac{1}{2} \sum_{j, k=1}^{n} l_{i j k}(t) z_{j} z_{k}+\ldots(i=1, \ldots, n),
\]

где $l_{i j}$ – аналитические и периодические функции $t$ с периодом $\tau$, причем $\left|l_{i j}(t)\right|
eq 0$, дифференциальные уравнения (3), имеющие в начале координат точку обобщенного равновесия общего вида, могут быть приведены к нормальному виду
\[
\frac{d z_{i}}{d t}=\mu_{i} z_{i} \quad(i=1, \ldots, n) .
\]

Соответствующее формальное решение уравнений (3) будет в таком случае, очевидно,
\[
y_{i}=f_{i}\left(c_{1} e^{\mu_{1} t}, \ldots, c_{n} e^{\mu_{n} t}, t\right) \quad(i=1, \ldots, n) .
\]