Пусть теперь $P_{0}, P_{1}, \ldots, P_{n}$ будут точки какой-либо $\delta$-цепи. Из только что установленного свойства непосредственно следует, что если $P_{i}, P_{j}, P_{k}, \ldots$ $(i \geqslant 1, j \geqslant 1, k \geqslant 1, \ldots)$ суть точки этой цепи, лежащие на данной радиальной полупрямой, то $T\left(P_{i-1}\right), T\left(P_{j-1}\right), T\left(P_{k-1}\right), \ldots$ лежат в том же радиальном порядке.

Теперь представим себе точку $Q$, движущуюся наружу от $r=a$ по этой радиальной полупрямой. Почти очевидно, что одновременно

можно двигать вторую точку $\bar{Q}$ по той же самой полупрямой таким образом, чтобы радиальная координата $\bar{Q}$ все время была не меньше радиальной координаты $Q$, но никогда не превосходила бы последнюю на величину, большую или равную $\delta$, и чтобы при совпадении точки $Q$ с $T\left(P_{i-1}\right), T\left(P_{j-1}\right), T\left(P_{k-1}\right), \ldots$ точка $\bar{Q}$ совпадала бы соответственно с $P_{i}, P_{j}, P_{k}, \ldots$
Рис. 11
Графически это обстоятельство можно следующим образом сделать более очевидным. Пусть $r_{1}, r_{2}, \ldots$ – радиальные координаты точек $T\left(P_{i-1}\right), T\left(P_{j-1}\right), \ldots$, расположенные в возрастающем порядке; $s_{1}, s_{2}, \ldots$ – соответственные координаты точек $P_{i}, P_{j}, \ldots$ Имеют место неравенства:
\[
\begin{array}{c}
r_{1}<r_{2}<r_{3}<\ldots \\
s_{1}<s_{2}<s_{3}<\ldots \\
0 \leqslant s_{1}-r_{1}<\delta, \\
0 \leqslant s_{2}-r_{2}<\delta, \ldots \\
\ldots \ldots \ldots
\end{array}
\]

Рассматривая $\left(r_{1}, s_{1}\right),\left(r_{2}, s_{2}\right), \ldots$ как пары декартовых координат точек плоскости, соединим эти точки последовательно прямолинейными отрезками (см. рис. 11) и продолжим таким образом полученную ломаную линию вправо и влево от ее концов прямолинейными отрезками, образующими угол $45^{\circ}$ с положительной осью $r$. Эта ломаная линия даст график функции $s=f(r)$. Если рассматривать $r$ как радиальную координату точки $Q$, а $s$ как радиальную координату точки $\bar{Q}$, то определяемое этим соответствие между $Q$ и $\bar{Q}$ обладает желаемыми свойствами.
$Q$ может совпадать с $Q$ при $r=a$, причем, однако, в этом слу-

чае $Q$ не является точкой $T\left(P_{i-1}\right)$; иначе точка $Q$ совпадала бы с $T\left(P_{0}\right)$, а $\bar{Q}-$ с точкой $P_{1}$, отличной от $Q$. Заменяя в этом случае прямолинейную часть графика для $r \leqslant r_{1}$ другим, менее наклонным отрезком, мы получим измененное соответствие, при котором $Q$ не будет совпадать с $\bar{Q}$ при $r=a$. В дальнейшем удобно предполагать, что соответствие удовлетворяет этому условию.

Таким образом, на каждой радиальной полупрямой, содержащей точки $P_{i}, P_{j}, \ldots$, минимальной $\delta$-цепи определяется непрерывное однооднозначное, направленное наружу радиальное перемещение на расстояние, меньшее $\delta$, переводящее каждую точку $T\left(P_{i-1}\right), T\left(P_{j-1}\right), \ldots$ в соответственную точку $P_{i}, P_{j}, \ldots$

Все эти линейные радиальные перемещения могут быть выполнены посредством одного, определенного при $r \geqslant a$, непрерывного однооднозначного, направленного наружу радиального перемещения плоскости на расстояние, меньшее $\delta$. В самом деле, представим себе, что перпендикулярно к плоскости чертежа (рис. 11) восстановлена третья координатная ось $\vartheta$ и что все графики расположены в соответствующих плоскостях $\vartheta=$ const. Эти ломаные линии все поднимаются в направлении возрастающих $r$, а в вертикальном направлении лежат над плоскостью $s=r$ на расстоянии, меньшем, чем $\delta$. Соединим прямолинейными отрезками пары точек соседних графиков с одинаковыми координатами $r$. Этим, очевидно, определяется функция $s=f(r, \vartheta)$, порождающая радиальное перемещение $E$ желаемого характера.

Результаты двух последних параграфов могут быть объединены в следующей лемме.

Лемма 2. Если существует конечная $\delta$-цепь, то существуют минимальные $\delta$-цепи, и для всякой минимальной $\delta$-цепи $P_{0}, P_{1}, \ldots, P_{n}$ существует одно-однозначное непрерывное, направленное наружу радиальное перемещение $E$, определенное при $r \geqslant a$, перемещающее точки на расстояние, меньшее $\delta$, а кривую $C$ наружу, и переводящее
\[
T\left(P_{0}\right), T\left(P_{1}\right), \ldots, T\left(P_{n-1}\right)
\]

соответственно в
\[
P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n} .
\]