Мы переходим теперь к двум теоремам о непрерывности, которые тесно связаны с только что доказанными теоремами.

Первая теорема о непрерывности. Если функции $X_{i}$ в уравнениях (1) удовлетворяют условию Липшица в $R$, то единственное решение $x(t)$, обращающееся в $x^{0}$ при $t=t_{0}$, представляет собою систему непрерывных функций от п параметров $x_{i}^{0}$ и от $t-t_{0}$.

Заметим прежде всего, что если мы заменим независимую переменную $t$ на $t^{\prime}=t-t_{0}$, то новые дифференциальные уравнения будут отличаться от уравнений (1) только тем, что вместо $t$ будет стоять $t^{\prime}$, а в начальных условиях $t_{0}$ будет заменено нулем. Следовательно, в выражениях для $x_{i}$ величины $t$ и $t_{0}$ встречаются только в комбинации $t-t_{0}$,

так что достаточно показать непрерывность $x_{i}$ относительно $x_{i}^{0}$ и $t$ в случае, когда $t_{0}=0$.

Эта теорема может быть доказана обобщением метода, примененного выше при доказательстве теоремы единственности. Если $x_{i}$ и $y_{i}$ два решения уравнений (1), обращающиеся при $t=0$ соответственно в $x_{i}^{0}$ и $y_{i}^{0}$, то, вычитая соответственные интегральные уравнения, получим, очевидно,
\[
x_{i}-y_{i}=x_{i}^{0}-y_{i}^{0}+\int_{0}^{t}\left[X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)-X_{i}\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right] d t
\]

при условии, что $t$ лежит в интервале, в котором определены как $x_{i}(t)$, так и $y_{i}(t)$.

Предположим, что $x^{0}$ лежит в $R$ на расстоянии не менее $D$ от его границы, и пусть, далее, расстояние $y^{0}$ и $x^{0}$ будет не более $D / 2$. Это последнее условие будет удовлетворено, если наибольшая из разностей $\left|x_{i}^{0}-y_{i}^{0}\right|$ не будет превосходить $D / 2 \sqrt{n}$. Кроме того ограничим временно $t$ интервалом $|t| \leqslant \frac{1}{2 n L}$.

Если при этих условиях обозначить через $Q^{0}$ наибольшую из разностей $\left|x_{i}^{0}-y_{i}^{0}\right|$, а через $Q$ максимум разности $\left|x_{i}-y_{i}\right|$ для всех $i$ и для $t$, лежащего в рассматриваемом интервале, то из написанного выше равенства следует
\[
Q \leqslant Q^{0}+n L Q\left|t^{*}\right| \leqslant Q^{0}+\frac{Q}{2}
\]

для произвольного значения $t^{*}$ величины $t$.
Таким образом, в указанном интервале всегда имеем $Q \leqslant 2 Q_{0}$, т. е. разность $x_{i}-y_{i}$ не может по абсолютной величине превзойти наибольшую из удвоенных начальных разностей $\left|x_{j}^{0}-y_{j}^{0}\right|$. Следовательно, если $y^{0}$ стремится к $x^{0}$, то $y$ стремится к $x$ равномерно в указанном интервале. Так как во всей области $R\left|d x_{i} / d t\right| \leqslant M$, то функции $x_{i}$ непрерывны относительно $x_{i}^{0}$ и $t$ в указанном интервале для $t$.
Остается лишь снять ограничение с интервала для $t$.
В любом замкнутом интервале $0 \leqslant t \leqslant T$, в котором $x(t)$ определено, точка $x$ все время находится на расстоянии, превышающем некоторое положительное число $D$, от границы области $R$. Следовательно, в интервале для $t$, имеющем постоянную длину $\frac{1}{n L}$ с центром в любой точке $t^{\prime}$ интервала $0 \leqslant t \leqslant T$, каждая функция $x_{i}(t)$ есть непрерывная

функция от $x_{i}\left(t^{\prime}\right)$ и от $t-t^{\prime}$. Мы можем выбрать точки
\[
t_{0}=0, t_{1}, \ldots, t_{k}=T
\]

так, что $0<t_{1}-t_{0}<\frac{1}{2 n L}, 0<t_{2}-t_{1}<\frac{1}{2 n L}$ и т. д. Тогда, если мы положим $\left|x_{i}^{0}-y_{i}^{0}\right| \leqslant q$, то получим последовательно
\[
\left|x_{i}\left(t_{1}\right)-y_{i}\left(t_{1}\right)\right| \leqslant 2 q, \ldots,\left|x_{i}\left(t_{k}\right)-y_{i}\left(t_{k}\right)\right| \leqslant 2^{k} q .
\]

Отсюда очевидна справедливость доказываемой теоремы в любом интервале для $t$.

Вторая теорема о непрерывности.
Если функиии $X_{i}$ имеют в $R$ непрерывные и ограниченные первые частные производные и эти частные производные сами удовлетворяют условию Липшица, то составляющие $x_{i}(t)$ единственного решения $x(t)$ уравнений (1), обращающегося в $x^{0}$ при $t=t_{0}$, имеют непрерывные первые частные производные по всем $x_{i}^{0}$ и по $t-t_{0}$.

Для доказательства этой теоремы мы возвращаемся к рассмотрению равенства, написанного в начале доказательства предыдущей теоремы. Мы будем предполагать совершенно так же, как в предыдущей теореме, что $y$ достаточно близко к $x$ в интервале $\left|t-t_{0}\right| \leqslant T$, но кроме того потребуем, чтобы отрезок, соединяющий точки $x(t)$ и $y(t)$, целиком лежал в $R$ для любого $t$ в тех же пределах, для чего достаточно, чтобы $y(t)$ лежало от $x(t)$ на расстоянии, меньшем $D$. Предыдущая теорема показывает, что эти условия будут выполнены, если разности $\left|y_{i}^{0}-x_{i}^{0}\right|$ достаточно малы.
Теорема о среднем значении дает
\[
X_{i}\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)-X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}}\left(y_{j}-x_{j}\right),
\]

где аргументы выражений $\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}}$ суть $z_{i 1}, \ldots, z_{i n}$, причем
\[
z_{i j}=x_{j}+\theta_{i}\left(y_{j}-x_{j}\right) \quad\left(0<\theta_{i}<1\right),
\]

так что $z_{i}$ лежит в $R$. Таким образом, наше равенство принимает вид:
\[
y_{i}-x_{i}=y_{i}^{0}-x_{i}^{0}+\int_{t_{0}}^{t} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}}\left(y_{j}-x_{j}\right) d t .
\]

Пусть $y_{2}^{0}, \ldots, y_{n}^{0}$ взяты соответственно равными $x_{2}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}$ и $y_{1}^{0}$ стремится к $x_{1}^{0}$. Если мы введем обозначения
\[
\frac{y_{1}-x_{1}}{y_{1}^{0}-x_{1}^{0}}=\frac{\Delta x_{1}}{\Delta x_{1}^{0}}, \ldots, \frac{y_{n}-x_{n}}{y_{1}^{0}-x_{1}^{0}}=\frac{\Delta x_{n}}{\Delta x_{1}^{0}},
\]

то $n$ написанных выше уравнений примут вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\Delta x_{1}}{\Delta x_{1}^{0}}=1+\int_{t_{0}}^{t} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{j}} \frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{1}^{0}} d t, \\
\frac{\Delta x_{2}}{\Delta x_{1}^{0}}=0+\int_{t_{0}}^{t} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{j}} \frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{1}^{0}} d t, \\
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \int_{t_{0}}^{t} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial X_{n}}{\partial x_{j}} \frac{\Delta x_{j}}{\Delta x_{1}^{0}} d t . \\
\frac{\Delta x_{n}}{\Delta x_{1}^{0}}=0 \ldots \ldots
\end{array}
\]

Для $\left|t-t_{0}\right|$ достаточно малого, в частности, для
\[
\left|t-t_{0}\right| \leqslant \frac{1}{2 n L^{\prime}},
\]

где $L^{\prime}$ есть верхняя граница $\left|\partial X_{i} / \partial x_{j}\right|$ в $R$, как легко видеть, ни один из интегралов, стоящих в правых частях предыдущих равенств, не превосходит $Q^{\prime} / 2$, где $Q^{\prime}$ есть максимум $\left|\Delta x_{j} / \Delta x_{1}^{0}\right|$ для всех $j$ в этом интервале $t$. Подставляя в предыдущие равенства значения $t$ и $i$, дающие максимум выражения $\Delta x_{j} / \Delta x_{1}^{0}$, подобно тому, как мы это делали в предыдущем параграфе, получим, что $Q^{\prime}$ не может быть больше 2. Далее, дифференцируя эти равенства и принимая во внимание, что $Q^{\prime} \leqslant 2$, убедимся, что производные отношений $\Delta x_{i} / \Delta x_{1}^{0}$ по $x$ не превосходят $2 n L^{\prime}$.

Из этого следует, что мы можем применить теорему Асколи и заставить $\Delta x_{1}^{0}$ стремиться к нулю таким образом, чтобы каждое из отношений $\Delta x_{i} / \Delta x_{1}^{0}$ стремилось к пределу, который мы обозначим через $y_{i}$. Легко видеть, что эти пределы будут удовлетворять интеграль-

ным уравнениям:
\[
\begin{array}{c}
y_{1}=1+\int_{t_{0}}^{t} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{j}} y_{j} d t \\
y_{2}=0+\int_{t_{0}}^{t} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{j}} y_{j} d t, \\
\ldots \ldots \ldots \ldots \\
y_{n}=0+\int_{t_{0}}^{t} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial X_{n}}{\partial x_{j}} y_{j} d t .
\end{array}
\]

Эти условия, очевидно, эквивалентны следующим $n$ уравнениям вариации
\[
\frac{d y_{i}}{d t}=\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}} y_{j}
\]

и совокупности начальных условий
\[
y_{1}\left(t_{0}\right)=1, \quad y_{2}\left(t_{0}\right)=0, \ldots, \quad y_{n}\left(t_{0}\right)=0 .
\]

Но эти $n$ уравнений и начальные условия, присоединенные к уравнениям (1) и начальным условиям $x_{i}\left(t_{0}\right)=x_{i}^{0}$, дают систему $2 n$ уравнений и $2 n$ начальных условий для $x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n}$, по отношению к которым имеют место теорема существования и теорема единственности (напомним, что $\partial X_{i} / \partial x_{j}$ так же, как $X_{i}$, удовлетворяют условию Липшица). Поскольку функции $y_{i}$ определяются однозначно, то, следовательно, $\Delta x_{i} / \Delta x_{1}^{0}$ стремится к $y_{i}$, каким бы образом мы ни устремляли $\Delta x_{i}^{0}$ к нулю ${ }^{1}$.

Отсюда видно, что для всех $i$ и $j$ частные производные $y_{i}=\partial x_{i} / \partial x_{j}^{0}$ существуют и удовлетворяют уравнениям вариации и начальным условиям:
\[
y_{1}\left(t_{0}\right)=0, \ldots, y_{j-1}\left(t_{0}\right)=0, y_{j}\left(t_{0}\right)=1, y_{j+1}\left(t_{0}\right)=0, \ldots, y_{n}\left(t_{0}\right)=0 .
\]

Применяя первую теорему о непрерывности, получим, что эти функции $\partial x_{i} / \partial x_{j}^{0}$ не только существуют, но и непрерывны по $x_{i}^{0}$ и по $t-t_{0}$.