Мы переходим теперь к двум теоремам о непрерывности, которые тесно связаны с только что доказанными теоремами.

Первая теорема о непрерывности. Если функции $X_i$ в уравнениях (1) удовлетворяют условию Липшица в $R$, то единственное решение $x(t)$, обращающееся в $x^0$ при $t=t_0$, представляет собою систему непрерывных функций от п параметров $x_i^0$ и от $t-t_0$.

Заметим прежде всего, что если мы заменим независимую переменную $t$ на $t^{\prime }=t-t_0$, то новые дифференциальные уравнения будут отличаться от уравнений (1) только тем, что вместо $t$ будет стоять $t^{\prime }$, а в начальных условиях $t_0$ будет заменено нулем. Следовательно, в выражениях для $x_i$ величины $t$ и $t_0$ встречаются только в комбинации $t-t_0$,

так что достаточно показать непрерывность $x_i$ относительно $x_i^0$ и $t$ в случае, когда $t_0=0$.

Эта теорема может быть доказана обобщением метода, примененного выше при доказательстве теоремы единственности. Если $x_i$ и $y_i$ два решения уравнений (1), обращающиеся при $t=0$ соответственно в $x_i^0$ и $y_i^0$, то, вычитая соответственные интегральные уравнения, получим, очевидно,
$$x_i-y_i=x_i^0-y_i^0+{\int }_0^t[X_i(x_1,\dots ,x_n)-X_i(y_1,\dots ,y_n)]dt$$

при условии, что $t$ лежит в интервале, в котором определены как $x_i(t)$, так и $y_i(t)$.

Предположим, что $x^0$ лежит в $R$ на расстоянии не менее $D$ от его границы, и пусть, далее, расстояние $y^0$ и $x^0$ будет не более $D/2$. Это последнее условие будет удовлетворено, если наибольшая из разностей $|x_i^0-y_i^0|$ не будет превосходить $D/2\sqrt{n}$. Кроме того ограничим временно $t$ интервалом $|t|⩽\frac{1}{2nL}$.

Если при этих условиях обозначить через $Q^0$ наибольшую из разностей $|x_i^0-y_i^0|$, а через $Q$ максимум разности $|x_i-y_i|$ для всех $i$ и для $t$, лежащего в рассматриваемом интервале, то из написанного выше равенства следует
$$Q⩽Q^0+nLQ\left|t^{\ast }\right|⩽Q^0+\frac{Q}{2}$$

для произвольного значения $t^{\ast }$ величины $t$.
Таким образом, в указанном интервале всегда имеем $Q⩽2Q_0$, т. е. разность $x_i-y_i$ не может по абсолютной величине превзойти наибольшую из удвоенных начальных разностей $|x_j^0-y_j^0|$. Следовательно, если $y^0$ стремится к $x^0$, то $y$ стремится к $x$ равномерно в указанном интервале. Так как во всей области $R\left|d{x}_i/dt\right|⩽M$, то функции $x_i$ непрерывны относительно $x_i^0$ и $t$ в указанном интервале для $t$.
Остается лишь снять ограничение с интервала для $t$.
В любом замкнутом интервале $0⩽t⩽T$, в котором $x(t)$ определено, точка $x$ все время находится на расстоянии, превышающем некоторое положительное число $D$, от границы области $R$. Следовательно, в интервале для $t$, имеющем постоянную длину $\frac{1}{nL}$ с центром в любой точке $t^{\prime }$ интервала $0⩽t⩽T$, каждая функция $x_i(t)$ есть непрерывная

функция от $x_i\left(t^{\prime }\right)$ и от $t-t^{\prime }$. Мы можем выбрать точки
$$t_0=0,t_1,\dots ,t_k=T$$

так, что $0<t_1-t_0<\frac{1}{2nL},0<t_2-t_1<\frac{1}{2nL}$ и т. д. Тогда, если мы положим $|x_i^0-y_i^0|⩽q$, то получим последовательно
$$|x_i\left(t_1\right)-y_i\left(t_1\right)|⩽2q,\dots ,|x_i\left(t_k\right)-y_i\left(t_k\right)|⩽2^{k}q.$$

Отсюда очевидна справедливость доказываемой теоремы в любом интервале для $t$.

Вторая теорема о непрерывности.
Если функиии $X_i$ имеют в $R$ непрерывные и ограниченные первые частные производные и эти частные производные сами удовлетворяют условию Липшица, то составляющие $x_i(t)$ единственного решения $x(t)$ уравнений (1), обращающегося в $x^0$ при $t=t_0$, имеют непрерывные первые частные производные по всем $x_i^0$ и по $t-t_0$.

Для доказательства этой теоремы мы возвращаемся к рассмотрению равенства, написанного в начале доказательства предыдущей теоремы. Мы будем предполагать совершенно так же, как в предыдущей теореме, что $y$ достаточно близко к $x$ в интервале $|t-t_0|⩽T$, но кроме того потребуем, чтобы отрезок, соединяющий точки $x(t)$ и $y(t)$, целиком лежал в $R$ для любого $t$ в тех же пределах, для чего достаточно, чтобы $y(t)$ лежало от $x(t)$ на расстоянии, меньшем $D$. Предыдущая теорема показывает, что эти условия будут выполнены, если разности $|y_i^0-x_i^0|$ достаточно малы.
Теорема о среднем значении дает
$$X_i(y_1,\dots ,y_n)-X_i(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{j=1}^n\frac{\partial X_i}{\partial x_j}(y_j-x_j),$$

где аргументы выражений $\frac{\partial X_i}{\partial x_j}$ суть $z_{i1},\dots ,z_{in}$, причем
$$z_{ij}=x_j+{\theta }_i(y_j-x_j)(0<{\theta }_i<1),$$

так что $z_i$ лежит в $R$. Таким образом, наше равенство принимает вид:
$$y_i-x_i=y_i^0-x_i^0+{\int }_{t_0}^t\sum _{j=1}^n\frac{\partial X_i}{\partial x_j}(y_j-x_j)dt.$$

Пусть $y_2^0,\dots ,y_n^0$ взяты соответственно равными $x_2^0,\dots ,x_n^0$ и $y_1^0$ стремится к $x_1^0$. Если мы введем обозначения
$$\frac{y_1-x_1}{y_1^0-x_1^0}=\frac{\mathrm{\Delta }{x}_1}{\mathrm{\Delta }{x}_1^0},\dots ,\frac{y_n-x_n}{y_1^0-x_1^0}=\frac{\mathrm{\Delta }{x}_n}{\mathrm{\Delta }{x}_1^0},$$

то $n$ написанных выше уравнений примут вид
$$\begin{array}{l}\frac{\mathrm{\Delta }{x}_1}{\mathrm{\Delta }{x}_1^0}=1+{\int }_{t_0}^t\sum _{j=1}^n\frac{\partial X_1}{\partial x_j}\frac{\mathrm{\Delta }{x}_j}{\mathrm{\Delta }{x}_1^0}dt,\\ \frac{\mathrm{\Delta }{x}_2}{\mathrm{\Delta }{x}_1^0}=0+{\int }_{t_0}^t\sum _{j=1}^n\frac{\partial X_2}{\partial x_j}\frac{\mathrm{\Delta }{x}_j}{\mathrm{\Delta }{x}_1^0}dt,\\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots {\int }_{t_0}^t\sum _{j=1}^n\frac{\partial X_n}{\partial x_j}\frac{\mathrm{\Delta }{x}_j}{\mathrm{\Delta }{x}_1^0}dt.\\ \frac{\mathrm{\Delta }{x}_n}{\mathrm{\Delta }{x}_1^0}=0\dots \dots \end{array}$$

Для $|t-t_0|$ достаточно малого, в частности, для
$$|t-t_0|⩽\frac{1}{2n{L}^{\prime }},$$

где $L^{\prime }$ есть верхняя граница $\left|\partial X_i/\partial x_j\right|$ в $R$, как легко видеть, ни один из интегралов, стоящих в правых частях предыдущих равенств, не превосходит $Q^{\prime }/2$, где $Q^{\prime }$ есть максимум $\left|\mathrm{\Delta }{x}_j/\mathrm{\Delta }{x}_1^0\right|$ для всех $j$ в этом интервале $t$. Подставляя в предыдущие равенства значения $t$ и $i$, дающие максимум выражения $\mathrm{\Delta }{x}_j/\mathrm{\Delta }{x}_1^0$, подобно тому, как мы это делали в предыдущем параграфе, получим, что $Q^{\prime }$ не может быть больше 2. Далее, дифференцируя эти равенства и принимая во внимание, что $Q^{\prime }⩽2$, убедимся, что производные отношений $\mathrm{\Delta }{x}_i/\mathrm{\Delta }{x}_1^0$ по $x$ не превосходят $2n{L}^{\prime }$.

Из этого следует, что мы можем применить теорему Асколи и заставить $\mathrm{\Delta }{x}_1^0$ стремиться к нулю таким образом, чтобы каждое из отношений $\mathrm{\Delta }{x}_i/\mathrm{\Delta }{x}_1^0$ стремилось к пределу, который мы обозначим через $y_i$. Легко видеть, что эти пределы будут удовлетворять интеграль-

ным уравнениям:
$$\begin{array}{c}{y}_1=1+{\int }_{t_0}^t\sum _{j=1}^n\frac{\partial X_1}{\partial x_j}{y}_{j}dt\\ y_2=0+{\int }_{t_0}^t\sum _{j=1}^n\frac{\partial X_2}{\partial x_j}{y}_{j}dt,\\ \dots \dots \dots \dots \\ y_n=0+{\int }_{t_0}^t\sum _{j=1}^n\frac{\partial X_n}{\partial x_j}{y}_{j}dt.\end{array}$$

Эти условия, очевидно, эквивалентны следующим $n$ уравнениям вариации
$$\frac{d{y}_i}{dt}=\sum _{j=1}^n\frac{\partial X_i}{\partial x_j}{y}_j$$

и совокупности начальных условий
$$y_1\left(t_0\right)=1,y_2\left(t_0\right)=0,\dots ,y_n\left(t_0\right)=0.$$

Но эти $n$ уравнений и начальные условия, присоединенные к уравнениям (1) и начальным условиям $x_i\left(t_0\right)=x_i^0$, дают систему $2n$ уравнений и $2n$ начальных условий для $x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n$, по отношению к которым имеют место теорема существования и теорема единственности (напомним, что $\partial X_i/\partial x_j$ так же, как $X_i$, удовлетворяют условию Липшица). Поскольку функции $y_i$ определяются однозначно, то, следовательно, $\mathrm{\Delta }{x}_i/\mathrm{\Delta }{x}_1^0$ стремится к $y_i$, каким бы образом мы ни устремляли $\mathrm{\Delta }{x}_i^0$ к нулю ${}^1$.

Отсюда видно, что для всех $i$ и $j$ частные производные $y_i=\partial x_i/\partial x_j^0$ существуют и удовлетворяют уравнениям вариации и начальным условиям:
$$y_1\left(t_0\right)=0,\dots ,y_{j-1}\left(t_0\right)=0,y_j\left(t_0\right)=1,y_{j+1}\left(t_0\right)=0,\dots ,y_n\left(t_0\right)=0.$$

Применяя первую теорему о непрерывности, получим, что эти функции $\partial x_i/\partial x_j^0$ не только существуют, но и непрерывны по $x_i^0$ и по $t-t_0$.