1) Напомним, что в проблеме обобщенного равновесия множители $\lambda$ определены с точностью до целых кратных $2 \pi \sqrt{-1} / \tau$ (т.е. в данном случае до целых, кратных $\sqrt{-1}$ ). Так как мы имеем теперь только два множителя $\lambda,-\lambda$, и так как $\lambda^{*}$ тоже будет множителем, то $\lambda^{*}$ должно
отличаться на целое, кратное $\sqrt{-1}$, либо от $-\lambda$, либо от $\lambda$. Первый случай приводит нас к движению устойчивого типа, во втором же мнимая часть $\lambda$ будет кратной $\sqrt{-1} / 2$, и, следовательно, мы можем считать ее равной либо нулю, либо $\sqrt{-1} / 2$.
2) В цитированном на стр. 215 мемуаре автор показывает, что формальные вещественные разложения инвариантных кривых, получаемые из уравнения $\Omega=0$, всегда определяют некоторые инвариантные кривые на плоскости ( $u, v$ ); эти кривые имеют аналитический характер в окрестности точки $(0,0)$, которая вообще является для них существенной особой точкой. Случай, отмеченный в скобках, имеет место тогда, когда инвариантная кривая есть геометрическое место инвариантных точек.
3) Автор имеет в виду тот случай, когда преобразование $T$ формальным преобразованием приводится к виду:
\[
u_{1}=u_{0} \cos \sigma-v_{0} \sin \sigma, \quad v_{1}=u_{0} \sin \sigma+v_{0} \cos \sigma .
\]
4) Дальнейшие результаты в этом направлении получены в мемуаpe G.D. Birkhoff and D. C. Lewis «On the Periodic Motions Near a Given Periodic Motion of a Dynamical System», «Annali di Mat.» (4), т. 12 (1933), стр. 117-133.
5) Имеются в виду случаи формул (3) с заменой $u_{1}$ и $v_{1}$ на $u_{n}$ и $v_{n}$ при положительном или отрицательном $\mu$.
6) Существованию зон неустойчивости посвящена статья Биркгофа «О существовании областей неустойчивости в динамике» (перевод включен в эту книгу).
7) «Предельное замкнутое множество» в тексте следует заменить точным понятием верхнего топологического предела замкнутых областей $\sigma_{n}$, содержащихся в $S$, когда $\sigma$ неограниченно уменьшается по диаметру (следовательно, $n$ неограниченно возрастает). Верхний топологический предел множеств $F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}, \ldots$ есть совокупность точек, любая окрестность которых содержит точки бесконечного числа множеств $F_{1}, F_{2}, \ldots$
8) Автор имеет в виду следующее: если в какой-нибудь точке кривой ее касательная направлена по радиусу, то при дальнейшем движении вдоль дуги касательная может уклониться от радиального направления только в направлении против часовой стрелки.
9) Последний абзац заимствован из мемуара G.D.Birkhoff «Nouvelles recherches sur les systèmes dynamiques», «Mém. Pont. Acad. Scient. Novi Lincaei», cep. III, т. I, стр. 119. Автор дает новое
доказательство, которым редакция заменяет прежнее, недостаточное доказательство, приведенное в тексте «Dynamical System».
10) Если две дуги $O a$ и $O b$ инвариантных кривых, из которых первая соответствует положительно асимптотическим точкам, а вторая – отрицательно асимптотическим, пересекаются в точке $M$, то точка $M_{1}=T(M)$ должна лежать, во-первых, на дуге $O a M$, а вовторых, на продолженной за $M$ дуге $O b M$; таким образом вторая инвариантная кривая необходимо пересекает первую, кроме точки $M$, еще в точке $M_{1}$. Повторяя преобразование $T$, мы получим бесчисленное множество точек пересечения обеих кривых на дуге $O a M$; аналогично, применение преобразования $T^{-1}$ покажет нам бесконечное множество точек пересечения на дуге $O b M$. Из свойства непрерывности преобразования $T$ легко усмотреть, что в точке $M_{1}$ вторая инвариантная кривая при удалении по ней от точки $O$ пересекает первую, переходя с той же ее стороны, как в точке $M$. Этот факт не осуществим на плоскости; но заметим, что автор заранее ввел условие, что род поверхности $S$ равен единице.
11) Редакции неясно, какую теорему Браувера имеет в виду автор. Известные нам теоремы Браувера о существовании неподвижных точек при преобразовании симплекса непосредственно неприменимы к множеству $\Sigma$.
12) Это надо понимать в том смысле, что множество точек, лежащих на дугах $A B, B^{\prime} C, \ldots$ всюду плотно во множестве $\omega$-предельных точек.
13) Для аналогичного примера этот факт доказан Хеддуидом [Proc. Nat. Acad. Soc. U.S.A., т. 19 (1933), стр. 345-348].