Рассмотрим последовательность тригонометрических сумм $\psi(t)$, удовлетворяющих всем условиям доказываемой леммы. Для таких сумм имеет место символическое равенство
\[
\left[D\left(D^{2}+l_{1}^{2}\right)\left(D^{2}+l_{2}^{2}\right) \ldots\left(D^{2}+l_{n}^{2}\right)\right] \psi=0,
\]

где в символическом дифференциальном операторе слева знак $D$ обозначает обычное дифференцирование по $t$. Интегрируя $2 N+1$ раз, получаем:
\[
\psi+\sum_{j=1}^{N} l_{j}^{2} \int_{0}^{t} \int_{0}^{t} \psi(t) d t^{2}+\cdots+\left(\prod_{j=1}^{N} l_{j}^{2}\right) \int_{0}^{t} \cdots \int_{0}^{t} \psi(t) d t^{2 N}=P(t),
\]

где $P(t)$ – полином не выше чем $2 N$-й степени.
Далее, все $l_{i}(i=1, \ldots, N)$ превосходят по абсолютной величине $l$, так как по условию имеем:
\[
\left|l_{i}-l_{0}\right|=\left|l_{i}\right| \geqslant l \quad(i=1, \ldots, N) .
\]

Очевидно теперь, что мы можем выбрать такую подпоследовательность тригонометрических сумм $\psi(t)$, что для нее вес $m_{i}=\frac{1}{l_{i}}$, которые все численно меньше, чем $\frac{1}{l}$, будут стремиться к пределам $m_{i}^{*}$,

причем $\left|m_{i}^{*}\right| \leqslant 1 / l$. Любые два таких числа $m_{i}^{*}, m_{j}^{*}$, разумеется, могут быть равны, только если оба равны нулю. Разделим теперь обе части предыдущего интегрального уравнения на произведение $l_{1}^{2}, \ldots, l_{N}^{2}$ и перейдем к пределу. Так как $\psi$ стремится к $\varphi$ равномерно, то мы тотчас же получим:
\[
\left(\prod_{j=1}^{N} m_{j}^{* 2}\right) \varphi+\cdots+\int_{0}^{t} \cdots \int_{0}^{t} \varphi(t) d t^{2 N}=Q(t),
\]

где $Q(t)$ как предел равномерно сходящейся последовательности полиномов порядка не выше $2 N$, является само таким полиномом $\left({ }^{20}\right)$. Отсюда мы можем сделать немедленное заключение, что $\varphi$ удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами
\[
\left[D\left(m_{1}^{* 2} D^{2}+1\right) \ldots\left(m_{N}^{* 2} D^{2}+1\right)\right] \varphi=0,
\]

общим решением которого является тригонометрическая сумма
\[
C_{0}+\sum_{j=1}^{N}\left[C_{j} \cos \frac{t}{m_{j}^{*}}+D_{j} \sin \frac{t}{m_{j}^{*}}\right],
\]

где знак суммы распространяется только на те значения $j$, для которых $m_{j}^{*}$ не равно нулю. Следовательно, $\varphi$ будет такой тригонометрической суммой.