Придя к замкнутой совокупности $M_{1}\left({ }^{12}\right)$, между точками которой расстояние может быть

определено так же, как и между точками $M$, мы можем теперь определить блуждающие и неблуждающие точки относительно $M_{1}$ следующим образом. Выберем произвольную точку $P_{0}$, принадлежащую $M_{1}$, и открытое множество $\sigma$ малого диаметра, содержащее точку $P_{0}$. Оставляя в стороне случай, когда $P_{0}$ есть точка равновесия, и выбирая диаметр $\sigma$ достаточно малым, мы видим, что содержащаяся в $\sigma$ часть $M_{1}$ перестанет в некоторый момент налегать на свое первоначальное положение. Если мы можем выбрать диаметр $\sigma$ настолько малым, чтобы та часть $M_{1}$, которая содержится в $\sigma$, никогда уже более при дальнейшем движении не налегала на свое первоначальное положение, то мы будем говорить, что $P_{0}$ есть блуждающая точка совокупности $M_{1}$ (хотя она по определению $M_{1}$ будет неблуждающей относительно $M$.) Все остальные точки, в том числе точки равновесия, принадлежащие $M_{1}$, будут называться неблуждающими точками множества $M_{1}\left({ }^{13}\right)$.

Очевидно, что аналогия с $M$ полная. Неблуждающие точки относительно $M_{1}$ образуют замкнутую совокупность $M_{2}$, состоящую из кривых движения. $К$ этой совокупности стремится асимптотически любая точка $P$, принадлежащая совокупности $W_{1}$ блуждающих относительно $M_{1}$ точек, при возрастании или убывании времени $t$; мы можем так же сформулировать утверждение, аналогичное приведенному в конце предыдущего параграфа.

Тот же процесс может быть теперь повторен с совокупностью $M_{2}$, взятой в качестве основной, и таким образом мы определим $M_{3}$ и $W_{2}$. Идя далее таким же образом, мы получим последовательность замкнутых, непустых совокупностей $M, M_{1}, M_{2}, \ldots$ Мы будем говорить, что процесс обрывается на какой-нибудь совокупности $M_{i}$, если совокупность $M_{i+1}$ совпадает с $M_{i}$, в этом случае $W_{i}$ будет, разумеется, пустой совокупностью. В случае, если процесс не обрывается таким способом, мы будем иметь последовательность различных замкнутых, непустых совокупностей $M, M_{1}, M_{2}, \ldots$, каждая из которых содержится в предыдущих совокупностях и содержит последующие. Эта последовательность определяет предельную совокупность $M$ (общую часть всех совокупностей $M_{i}$ ), которая, очевидно, замкнута, непуста и состоит из кривых движения. Применяя к ней тот же процесс, мы получим совокупности $M_{w+1}, M_{w+2}$. Таким образом последовательно определяются
\begin{tabular}{llll}
$M$, & $M_{1}$, & $M_{2}$, & $\ldots$, \\
$M_{\omega}$, & $M_{\omega+1}$, & $M_{\omega+2}$, & $\ldots$, \\
$M_{2 \omega}$, & $M_{2 \omega+1}$, & $M_{2 \omega+2}$, & $\ldots$, \\
$\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ \\
$M_{\omega^{2}}$, & $M_{\omega^{2}+1}$, & $M_{\omega^{2}+2}$, & $\ldots$ \\
$\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$
\end{tabular}

согласно известной теории трансфинитных порядковых чисел, разработанной Кантором.

Но мы получили, таким образом, вполне упорядоченное множество замкнутых совокупностей, из которых каждая содержится в предыдущих и содержит последующие. Как известно, такая совокупность должна быть конечна или исчислима. Следовательно, процесс непременно оборвется на каком-нибудь $M_{r}$ ( $r$ – конечное или трансфинитное число).

Таким образом, существует обрывающаяся трансфинитная последовательность различных замкнутых совокупностей
\[
M, M_{1}, M_{2}, \ldots, M_{w}, \ldots, M_{r},
\]

где элемент $M_{p+1}$, непосредственно следующий за $M_{p}$, состоит из точек, не блуждаюших относительно $M_{p}$, тогда как элемент $M_{p}$, не имеющий непосредственно предшествующего ему, есть общая часть предшествующих. Блуждающие точки совокупности $M_{p}$ стремлтся асимптотически к $M_{p+1}$ и притом таким образом, что полное время, в течение которого какая-нибудь такая точка находится вне данной окрестности $M_{p+1}$, так же как и число раз, когда эта точка покидает эту окрестность, равномерно ограничены $\left({ }^{14}\right)$.

Последняя совокупность $M_{r}$, на которой обрывается процесс, есть совокупность «центральных движений». Она, очевидно, обладает свойством региональной рекуррентности, так как совокупность $W_{r}$ блуждающих точек совокупности $M_{r}$ пуста. Из этого свойства методом Пуанкаре (см. книгу, цитированную выше) можно вывести, что в любой окрестности какой-нибудь точки, принадлежащей $M_{r}$, имеется движение, которое возвращается в эту окрестность бесконечно много раз в будущем и в прошедшем $\left({ }^{15}\right)$.

В самом деле, если в этой окрестности проходит изолированная кривая движения, принадлежащая $M_{r}$, то эта кривая должна быть замкнута и соответствующее движение должно быть периодическим, так как движение неблуждающее. В этом случае само периодическое движение обладает требуемым свойством. Если изолированного движения не имеется, то сколь малой мы ни выбрали бы окрестность данной точки, она при своем движении будет в некоторый момент налегать на свое первоначальное положение. Таким образом, мы получим две точки $P, Q$ на одной и той же кривой движения, принадлежащей $M_{r}$, лежащие обе в маленькой частице, содержащей данную точку, но отстоящие далеко друг от друга по времени. Возьмем теперь еще меньшую частицу около $P$, такую маленькую, чтобы всякая точка $P^{\prime}$ этой частицы пришла в точку $Q^{\prime}$, лежащую в первоначальной частице и вблизи от $Q$, когда $P$ придет в $Q$. Выбирая $P^{\prime}$ подходящим образом, мы мо-

жем сделать так, чтобы на кривой движения, проходящей через $P^{\prime}$, этой точке предшествовала точка $R^{\prime}$, лежащая все в той же частице, что и $P^{\prime}, Q^{\prime}$. Таким образом, мы получаем дугу $R^{\prime} P^{\prime} Q^{\prime}$ кривой движения, принадлежащей $M_{r}$, такую, что три точки $R^{\prime}, P^{\prime}, Q^{\prime}$, отстоящие далеко друг от друга по времени, лежат в одной и той же, данной в начале частице. Далее, выбирая еще меньшую частицу около $P^{\prime}$, мы приходим к дуге $R^{\prime \prime} P^{\prime \prime} Q^{\prime \prime} S^{\prime \prime}$, а затем к $T^{\prime \prime \prime} R^{\prime \prime \prime} P^{\prime \prime \prime} Q^{\prime \prime \prime} S^{\prime \prime \prime}$ и т. д. Пределом точек $P, P^{\prime}, P^{\prime \prime}, \ldots$ будет точка $P^{*}$, принадлежащая $M_{r}$ и лежащая в данной частице. Проходящая через нее кривая движения пересекает эту частицу бесконечно много раз в прошедшем и в будущем.

Очевидно, что периодические движения в динамической проблеме должны принадлежать к совокупности центральных движений. Движения, которые мы определим ниже как «рекуррентные» (§7), тоже принадлежат к числу центральных.