В рассматриваемом нами случае очевидно, что всякое движение может быть продолжено до двойного соударения. Мы хотим здесь рассмотреть вкратце случай двойного соударения для того, чтобы сделать физически правдоподобной возможность продолжения движения за двойное соударение некоторым определенным образом. Аналитические методы, достаточно мощные, чтобы справиться с особенностью двойного соударения, были впервые разработаны Сундманом (цитировано выше). После этого Леви-Чивита ${ }^{1}$ нашел другой подход к вопросу, не выходящий из области уравнений обычного динамического типа. Здесь мы не станем приводить все рассуждения с требуемой строгостью, а аналитические детали рассуждений читатель может найти в упомянутых работах Сундмана и Леви-Чивита.

Предположим, что сталкиваются, например, тела $P_{0}$ и $P_{1}$, тогда как $P_{2}$ находится от них на некотором расстоянии. Движение тел $P_{0}$ и $P_{1}$ близ точки соударения будет, очевидно, существенно таково же, как в проблеме двух тел. Мы и хотим здесь пренебречь возмущающими силами, вызываемыми телом $P_{2}$ в течение того времени, когда тела $P_{0}$ и $P_{1}$ близки к соударению, т. е. заменить функцию $U$ одним ее слагаемым $m_{0} m_{1} / r_{2}$ и считать очевидным, что положение вещей будет при этом допущении существенно тем же, что и в рассматриваемом нами случае.

Но если бы движение тел $P_{0}$ и $P_{1}$ было совершенно таким же, как в проблеме двух тел, то их центр тяжести двигался бы по прямой линии с постоянной скоростью, а сами тела $P_{0}$ и $P_{1}$ двигались бы относительно центра тяжести по неподвижной прямой вплоть до момента соударения. Мы можем уточнить это утверждение, сказав, что $P_{0}$ и $P_{1}$ в каждый момент находились бы на расстояниях от этого общего центра тяжести, обратно пропорциональных их массам, а квадрат их относительной скорости был бы равен выражению $2\left(m_{0}+m_{1}\right) / r_{2}$, увеличенному на некоторую постоянную, значение которой зависит от полной энергии системы относительно центра тяжести. Движение относительно центра

тяжести после соударения можно представить себе, как просто переменившее свое направление на обратное. В первоначальной координатной системе тела $P_{0}$ и $P_{1}$ опишут две кривые с точкой возврата каждая, и соударение произойдет в их общей точке возврата; касательные к обеим кривым в точке возврата будут, разумеется, иметь противоположные направления, и нетрудно было бы определить точно движение тел в этом случае, написав явно формулы движения.

Очевидно, такое движение с соударением в проблеме двух тел характеризуется следующими величинами: во-первых, тремя координатами точки соударения в пространстве; во-вторых, тремя составляющими скорости центра тяжести системы; в-третьих, двумя угловыми координатами $\vartheta, \psi$, определяющими направление в пространстве касательной к кривой движения точки $P_{1}$ в точке столкновения, которое совпадает с направлением линии движения $P_{1}$ относительно центра тяжести системы тел $P_{0}$ и $P_{1}$ и, в-четвертых, постоянной энергии. Таким образом, всего для того, чтобы однозначно характеризовать состояние системы в момент соударения в задаче двух тел, нужны девять координат. Но для того, чтобы определить состояние движения системы до или после соударения, необходимо еще указать время $\tau$ вблизи момента столкновения.

Далее, всякое движение, при котором оба тела почти сталкиваются, может быть характеризовано подобным же образом. Здесь предполагается, что начальные условия несколько изменены в какой-то момент, предшествующий соударению. Легко обобщить на случай такого измененного движения вышеприведенные координаты следующим образом: во-первых, вместо координат точки соударения мы можем взять координаты центра тяжести в момент, когда тела подходят ближе всего друг к другу; во-вторых, соответствующие составляющие скорости центра тяжести могут быть взяты по-прежнему; в-третьих, угловые координаты $\vartheta, \psi$ могут относиться к направлению общей оси конических сечений, описанных телами относительно центра тяжести, и, в-четвертых, постоянная полной энергии может быть взята по-прежнему. Если мы незначительно изменим движение этим способом, то эти девять координат тоже изменятся незначительно.

К этим девяти координатам мы должны присоединить еще одну угловую координату $\psi$, определяющую направление плоскости относительного движения тел и длину перигелия $p$. Всего, таким образом, мы получаем одиннадцать координат, достаточных для определения кривой движения двух тел в общем положении. Для того, чтобы определить какое-нибудь специальное состояние движения, нужно к этим одиннадцати координатам прибавить еще время $\tau$, прошедшее с момента наибольшего сближения двух тел.

Координата $p$ теряет смысл в частном случае кругового движения тел относительно центра тяжести, но этот случай не может иметь места в рассматриваемых движениях, когда тела почти сталкиваются.

Следовательно, мы получаем всего двенадцать координат, определяющих состояние движения, что, разумеется, соответствует тому факту, что в проблеме двух тел мы имеем систему дифференциальных уравнений двенадцатого порядка.

Рассмотрим несколько внимательнее эти координаты в проблеме двух тел. Шесть координат, определяющих положение центра тяжести в момент наибольшего сближения тел, не подчинены никаким ограничениям. Этим мы хотим сказать, что системы этих шести координат находятся в одно-однозначном соответствии с окрестностью точки в шестимерном пространстве. Подобно этому две координаты, определяющие направление оси соударения, будут произвольными в том же смысле, т. е. будут в одно-однозначном соответствии с окрестностью точки в $(\vartheta, \psi)$-сфере, и, разумеется, полная энергия и время $\tau$ тоже могут принимать любые значения. С другой стороны, длина перигелия $p$ будет всегда положительной, и когда $p$ стремится к нулю, наше движение приближается к исходному движению, при котором имеет место соударение, независимо от значения координаты $\psi$, определяющей положение плоскости движения. Введем теперь вместо $p$ и $\psi$ новые координаты $\alpha$ и $\beta$ следующим образом:
\[
\alpha=p \cos \psi, \quad \beta=p \sin \psi .
\]

Соударение в этих новых координатах определяется равенствами
\[
\alpha=\beta=0 .
\]

Новые координаты $\alpha, \beta$ будут уже совершенно произвольными.
Следовательно, в проблеме двух тел состояния движения вблизи какого-нибудь состояния соударения находятся в одно-однозначном непрерывном соответствии с окрестностью точки в двенадцатимерном пространстве. При таком представлении состояния движения при соударении составляют девятимерную поверхность, проходящую через данную точку.

Очевидно, что в известном смысле особенность соударения исчезает при применении указанных координат ${ }^{1}$.

Вернемся теперь к проблеме трех тел в рассматриваемом случае, т. е. когда два из трех тел, например, $P_{0}$ и $P_{1}$ сталкиваются. Движение,

при котором это происходит, характеризуется определенным положением точки соударения, определенным вектором скорости их центра тяжести в момент соударения, направлением касательной к движению в точке соударения и, наконец, предельной полной энергией системы соударяющихся тел. Для определения состояния движения в некоторый момент времени после соударения необходимо, кроме того, знать промежуток времени $\tau$, прошедший с момента столкновения.

Для движений, близких к тому, при котором происходит соударение, эти координаты допускают простое обобщение. Например, момент прохождения «перигелия» может быть определен, как такой, когда расстояние $P_{0} P_{1}$ достигает своего минимума, и, таким образом, положение и составляющие скорости центра тяжести, координаты оси, длина перигелия могут быть определены немедленно, так же как постоянная энергии. За угловую координату $\psi$ можно взять угол, определяемый плоскостью, делящей пополам малый двугранный угол, образуемый плоскостями, проходящими через $P_{0} P_{1}$, и соответственно векторы скоростей тел $P_{0}, P_{1}$ относительно их центра тяжести. Время $\tau$ определяется, как прежде. Координаты $p, \psi$ могут быть, разумеется, заменены на $\alpha, \beta$, как выше.

Таким образом, из физических рассуждений становится очевидным, что двойное столкновение представляет собою особенность устранимого типа и что состояния движения при двойном соударении образуют три пятнадцатимерных (аналитических) подмногообразия в восемнадцатимерном многообразии $M_{18}$, соответствующих соударению $P_{0}$ с $P_{1}$, $P_{1}$ c $P_{2}$ и $P_{0}$ с $P_{2}$.

Если мы к многообразию состояний движения присоединим части его границы, соответствующие двойному соударению, то, очевидно, возможно аналитически продолжать движение сколь угодно далеко, если только при приближении $t$ к некоторому значению $\bar{t}$ (причем, например, $t<\bar{t}$ ) не имеет места бесконечное множество двойных соударений. Мы сейчас покажем, что этот случай невозможен, если только $f>0$, как мы до сих пор предполагали.

Bо-первых, заметим, что не только $R$, но и $R^{\prime}$ должно оставаться непрерывным при двойном соударении. B самом деле, дифференциальные уравнения показывают, что $d^{2} \xi / d t^{2}, d^{2} \eta / d t^{2}, d^{2} \zeta / d t^{2}$ все непрерывны в момент соударения, так что $\rho^{\prime}$, так же как и $\rho$, должно быть непрерывно. С другой стороны, $r^{\prime}$ не будет непрерывным; но так как
\[
r^{2} r^{\prime 2}=\left(x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}\right)^{2} \leqslant\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\right) \leqslant \frac{2 r^{2}}{m}(U+|K|),
\]

благодаря интегралу энергии (12), то очевидно, что $r r^{\prime}$ непрерывно и обращается в нуль в момент соударения. Следовательно, $R^{\prime}$ остается непрерывным при соударении и принимает значение $\mu \rho \rho^{\prime} / R$, что следует из (13).

Во-вторых, когда $t$ приближается к $\bar{t}$, наименьшее из расстояний $r_{i}$ должно стремиться к нулю. В противном случае мы имели бы $r_{i}>d>0(i=0,1,2)$ сколь угодно близко к $t$. Мы видели уже, что благодаря интегралу энергии из этого следовало бы, что все величины $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, \xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}$ ограничены, так что было бы возможно продолжение движения без соударения в течение определенного промежутка времени, зависящего только от $d$. Но это невозможно.

В-третьих, $R$ должно стремиться к определенному пределу, когда $t$ приближается к $\bar{t}$; это следует из равенства Лагранжа (15) совершенно так же, как в случае приближения к двойному соударению, поскольку обе величины $R^{\prime}$ и $R$ остаются непрерывными при двойном соударении. Исходя из неравенства Сундмана (20) и рассуждая так же, как прежде, мы покажем, что $R$ не может стремиться к нулю, когда $t$ приближается к $\bar{t}$.

Отсюда мы заключаем, что, когда $t$ приближается к $\bar{t}$, тело $P_{2}$ стремится к некоторому определенному предельному положению, отличному от соответствующего общего (тоже определенного) предельного положения тел $P_{0}$ и $P_{1}$. Но физически очевидно и легко может быть показано аналитически, что в этом случае может быть только конечное число соударений при $t<\bar{t}$. Таким образом, мы приходим к противоречию.

В многообразии $M_{18}$ состояний движения, к которым мы присоединили состояния при двойном соударении, возможно бесконечное продолжение в обоих направлениях времени каждого движения, для которого $f>0$. В случае $f=0$ продолжение может стать невозможным только в случае тройного соударения.

До сих пор мы имели дело только с восемнадцатимерным многообразием $M_{18}$. Легко видеть, какие изменения нужно внести в формулировку вышеприведенных результатов для того, чтобы применить их к многообразию $M_{12}$, которое получается, если мы рассматриваем только те движения, для которых центр тяжести системы тел $P_{0}, P_{1}, P_{2}$ лежит в начале координат. В этом случае шесть координат, дающих положение и скорость центра тяжести тел $P_{0}$ и $P_{1}$, определяют подобные же координаты для $P_{2}$.

Совериенно аналогичные результаты получаются для двенадцатимерного многообразия $M_{12}$ тех состояний движения, для которых центр тяжести системы всех трех тел лежит в начале координат.

Как было указано выше, все эти результаты могут быть получены прямым применением метода регуляризации уравнений, предложенного Сундманом и Леви-Чивита. Рассмотрение соответственных формул приводит нас к следующему дополнительному заключению. В расширенном многообразии $M_{18}$ не только состояния движения при соударе-

нии оказываются образующими три пятнадцатимерных многообразия, но и кривые движения должны рассматриваться каю аналитические и как изменяюшиеся аналитически с изменением начальной точки и интервала, при условии, что этот интервал измеряется таким параметром, как и, где
\[
t=\int r_{0} r_{1} r_{2} d u .
\]