Существует и другая известная вариационная форма уравнений Лагранжа, называемая «принципом наименьшего действия». Мы выясним сейчас отношение этого принципа к только что высказанному принципу Гамильтона. Мы предположим, что $L=L_2+L_1+L_0$ — квадратичная функция скоростей. Напомним, что уравнения Лагранжа имеют следующий интеграл энергии:
$$W\equiv \sum _{j=1}^m\left(q_j^{\prime }\frac{\partial L}{\partial q_j^{\prime }}\right)-L=L_2-L_0=c.$$

На этом именно обстоятельстве основаны наши дальнейшие рассуждения.

Остановим наше внимание на случае, когда постоянная энергии $c$ имеет какое-нибудь определенное значение, скажем $c=0$. (Всякий случай можно привести к этому, заменив $L$ на $L+c$.) Тогда мы имеем $L_2=L_0$ вдоль рассматриваемого движения $q_i=q_i^0(t)(i=1,\dots ,m)$.
Определим теперь интеграл $I^{\ast }$ следующей формулой:
$$I^{\ast }=I-{\int }_{t_0}^{t_1}{(\sqrt{L_2}-\sqrt{L_0})}^{2}dt={\int }_{t_0}^{t_1}(2\sqrt{L_0{L}_2}+L_1)dt.$$

Тогда
$$\delta I^{\ast }=\delta I-2{\int }_{t_0}^{t_1}(\sqrt{L_2}-\sqrt{L_0})(\delta \sqrt{L_2}-\delta \sqrt{L_0})dt.$$

Следовательно, принимая во внимание, что для $q_i^0(t)$, удовлетворено условие $L_0=L_2$, имеем
$$\delta I^{\ast }=\delta I$$

для всех вариаций величин $q_i$. Значит, если функции $q_i^0$ кроме того удовлетворяют уравнениям Лагранжа, так что $\delta I=0$, то мы будем иметь также $\delta I^{\ast }=0$.

Выражение $2\sqrt{L_0{L}_2}+L_1$, стоящее под знаком интеграла в $I^{\ast }$, является однородной функцией размерности 1 от производных $q_i^{\prime }$. Следовательно, численная величина интеграла $I^{\ast }$ не зависит от выбора параметра $t$ на пути интегрирования, а зависит только от самого пути интегрирования в $m$-мерном пространстве с координатами $q_1,\dots ,q_m{}^1$; для вариаций, удовлетворяющих условиям, поставленным нами в начале предыдущего параграфа, начальная и конечная точки пути фиксированы. Таким образом, мы можем считать, что интеграл энергии просто определяет параметр $t$, потому что, если мы положим
$$\overline{t}={\int }^t\frac{\sqrt{L_2}}{\sqrt{L_0}}dt,$$

то требование $W=0$ будет выполнено при новом параметре $\overline{t}$.
Следовательно, если мы имеем $\delta I^{\ast }=0$ при $q_i=q_i^0(t)$ и если новый параметр $t$ определен из только что приведенной формулы, то имеем также $\delta I=0$ при $q_i=q_i^0(t)$.

Другой вариационной формой уравнений движения лагранжевой системы с функцией $L$, квадатичной относительно скоростей, является $\delta I^{\ast }=0$, или, подробнее:
$$\delta {\int }_{t_0}^{t_1}(2\sqrt{L_0{L}_2}+L_1)ds=0,$$

при условии, что $L$ выбрана таким образом, что постоянная энергии обращается в нуль и что параметр $t$ определен вышеприведенной формулой.

Уравнение $\delta I^{\ast }=0$, которое обычно дается для того случая, когда член $L$, линейный относительно скоростей, отсутствует, выражает собою «принцип наименьшего действия» для этой задачи.

При помощи этого принципа мы можем легко произвести преобразование не только переменных $q_i$, но также и переменной $t$. В самом

деле, условие $\delta I^{\ast }=0$, разумеется, сохраняет свою форму при переходе от зависимых переменных $q_i$, к новым ${\overline{q}}_i$, вдоль преобразованной кривой будет исполнено то же вариационное условие, причем функцию $L$, конечно, нужно заменить ее выражением через новые переменные, тогда как $t$ сохраняет свое прежнее значение. Следовательно, для того, чтобы преобразовать эти переменные, достаточно произвести преобразование непосредственно над $L$. Соответствующие новые дифференциальные уравнения получатся, таким образом, из нового выражения для функции $L$.

Над независимой переменной $t$ мы можем произвести преобразование следующего вида
$$dt=\mu (q_1,\dots ,q_m)d\overline{t}.$$

Иначе говоря, дифференциальный элемент времени делится на выражение $\mu$, зависящее от координат. Мы можем определить характер преобразования, которое испытывают уравнения в результате этой подстановки новой переменной следующим образом. Заметим, что интеграл $I^{\ast }$ может быть написан под видом
$$I^{\ast }={\int }_{{\overline{t}}_0}^{{\overline{t}}_1}(2\sqrt{\mu L_0\cdot \mu L_2}+\mu L_1)d\overline{t}.$$

Новый интеграл получает тот же вид, что и прежний, если положить
$$\overline{L}=\mu L.$$

Кроме того, $\delta I^{\ast }$ обращается в нуль вдоль кривой, независимо от того, будем ли мы рассматривать за параметр $t$ или $\overline{t}$. При этом преобразовании $t$ уравнения Лагранжа переходят в новые уравнения того же типа, но в которых функция $L$ заменена на $\mu L$.

Дифференциальная форма $Ldt$ остается инвариантной при обоих описанных типах преобразований. Отсюда вытекает следующее положение.
При преобразовании
$$\begin{array}{rl}{q}_i& =f_i({\overline{q}}_1,\dots ,{\overline{q}}_m)(i=1,\dots ,m),\\ dt& =\mu ({\overline{q}}_1,\dots ,{\overline{q}}_m)d\overline{t}\end{array}$$

уравнения Лагранжа с постоянной энергии, равной нулю, переходят в подобную же систему уравнений с постоянной энергии, равной нулю, в которой $L$ получается из формуль
$$Ldt=\overline{L}d\overline{t}.$$

В обратимом случае имеем $L_1=0$ и, следовательно,
$$I^{\ast }={\int }_{t_0}^{t_1}2\sqrt{L_0{L}_2}dt=2{\int }_{t_0}^{t_1}ds,$$

где $d{s}^2=L_0{L}_{2}d{t}^2$ есть квадрат элемента дуги на надлежащем многообразии с координатами $q_1,\dots ,q_m$.

Таким образом, в обратимом случае с фиксированной постоянной энергии кривые движения могут быть интерпретированы как геодезические линии на т-мерном многообразии с квадратом элемента дуги
$$d{s}^2=L_0{L}_{2}d{t}^2.$$

Этот результат показывает, насколько общий характер имеет проблема геодезических линий $m$-мерного многообразия.