Легко дать аналитический критерий устойчивости.
Пусть
\[
u_{1}=f(u, v), \quad v_{1}=g(u, v)
\]

будут уравнения, определяющие преобразование $T$ поверхности $S$ вблизи инвариантной точки, и пусть $r=F(\vartheta)$ будет уравнение одной из инвариантных кривых в полярных координатах. Согласно полученным выше результатам $F$ будет тогда однозначной непрерывной функцией от $\vartheta$, периодической периода $2 \pi$ и имеющей ограниченное разностное отношение.

Так как эта кривая инвариантна по отношению к преобразованию $T$, то уравнение ее может быть написано также в виде $r_{1}=F\left(\vartheta_{1}\right)$, где $r_{1}$ и $\vartheta_{1}$, должны быть заменены своими выражениями через $r, \vartheta$, полученными из приведенных выше формул преобразования. Следовательно, если мы заменим $r$ на $F(\vartheta)$, то придем к тождеству и, таким образом, получим следующий критерий.

Для того, чтобы периодическое движение общего устойчивого типа, с переменными периодами в формальных рядах, было действительно устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы некоторое связанное с ним функциональное уравнение
\[
f^{2}(F \cos \vartheta, F \sin \vartheta)+g^{2}(F \cos \vartheta, F \sin \vartheta)=F^{2}\left(\operatorname{arctg} \frac{g(F \cos \vartheta, F \sin \vartheta)}{f(F \cos \vartheta, F \sin \vartheta)}\right)
\]

допускало непрерывные решения $F(\vartheta)$, периодические с периодом $2 \pi$, $c|F|$, сколь угодно малым, но отличным от нуля.