Определим функцию $F(u)$ из уравнения
\[
l u F^{2}(u)=M(u)-\lambda .
\]

Очевидно, что $F(u)$ есть квадратный корень из вещественного полинома степени $\mu-1$ со свободным членом, равным единице. Если мы положим, далее,
\[
\bar{p}=F(p q) p, \quad \bar{q}=F(p q) q,
\]

то найдем, что вышеуказанный нормальный вид для $T$ еще больше упрощается и приводится к
\[
\bar{p}=\bar{p}_{0} e^{\left(\lambda+l \bar{p}_{0} \bar{q}_{0}\right) t}+\bar{\Phi}, \quad \bar{q}=\bar{q}_{0} e^{-\left(\lambda+l \bar{p}_{0} \bar{q}_{0}\right) t}+\bar{\Psi},
\]

так что все члены $M$, кроме первых двух, обращаются в нуль. После того, как мы заменим $\bar{p}, \bar{q}$ соответственными вещественными переменными $\frac{\bar{p}+\bar{q}}{2}$ и $\frac{\bar{p}-\bar{q}}{2}$, которые мы для простоты будем снова обозначать через $p, q$ и введем обозначения $\sigma$ и $s$ для вещественных констант $2 \pi \lambda / \sqrt{-1}$ и $2 \pi l / \sqrt{-1}$ соответственно, мы получим следующие формулы, определяющие преобразование $T$ :
\[
\left.\begin{array}{c}
p_{1}=p_{0} \cos \left(\sigma+s r_{0}^{2}\right)-q_{0} \sin \left(\sigma+s r_{0}^{2}\right)+P \\
q_{1}=p_{0} \sin \left(\sigma+s r_{0}^{2}\right)+q_{0} \cos \left(\sigma+s r_{0}^{2}\right)+Q
\end{array}\right\} \quad\left(r_{0}^{2}=p_{0}^{2}+q_{0}^{2}\right),
\]

где $P, Q$ суть вещественные степенные ряды относительно $p_{0}, q_{0}$ с начальными членами не ниже $(2 \mu+1)$-го порядка. Очевидно теперь, что по отношению к этим переменным $T$ будет обыкновенным вращением на угол $\sigma+s r_{0}^{2}$ с точностью до членов порядна $2 \mu+1$ относительно расстояния точки до начала. Именно эти переменные мы примем в дальнейших рассуждениях. Если $l
eq 0$, то мы можем считать $s$ положительным.

Следовательно, мы имеем в некоторой фиксированной окрестности начала и для фиксированного $K$ :
\[
|P|,|Q| \leqslant K r_{0}^{2 \mu+1} .
\]

Из вышеприведенных формул находим тотчас же
\[
r_{1}^{2}=r_{0}^{2}+R
\]

сходится для достаточно малых $r_{0}$ его частные производные представляются производными рядами подобного же вида. Формула (6) показывает, что при $r_{0}=0$ мы имеем $\vartheta=\vartheta_{0}+n \sigma$, а при $r_{0}>0$ разность $\vartheta_{n}-\vartheta_{0}-n \sigma$ может быть сделана сколь угодно большой, если мы возьмем $n$ достаточно большим, но в пределах применимости неравенств $(5)\left({ }^{5}\right)$.

С помощью формул (3) и (6) получаем:
\[
\left.\begin{array}{l}
\left|\frac{\partial \rho_{1}}{\partial \rho_{0}}-1\right| \leqslant A \rho_{0}^{\mu}, \quad\left|\frac{\partial \rho_{1}}{\partial \vartheta_{0}}\right| \leqslant A \rho_{0}^{\mu+1}, \\
\left|\frac{\partial \vartheta_{1}}{\partial \rho_{0}}-s\right| \leqslant A \rho_{0}^{\mu-1}, \quad\left|\frac{\partial \vartheta_{1}}{\partial \vartheta_{0}}-1\right| \leqslant A \rho_{0}^{\mu},
\end{array}\right\}
\]

где $\rho$ обозначает $r^{2}$, а $A$ есть надлежащая положительная константа.
Но тождества
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \rho_{n}}{\partial \rho_{0}}=\frac{\partial \rho_{n}}{\partial \rho_{n-1}} \frac{\partial \rho_{n-1}}{\partial \rho_{0}}+\frac{\partial \rho_{n}}{\partial \vartheta_{n-1}} \frac{\partial \vartheta_{n-1}}{\partial \rho_{0}} \\
\frac{\partial \vartheta_{n}}{\partial \rho_{0}}=\frac{\partial \vartheta_{n}}{\partial \rho_{n-1}} \frac{\partial \rho_{n-1}}{\partial \rho_{0}}+\frac{\partial \vartheta_{n}}{\partial \vartheta_{n-1}} \frac{\partial \vartheta_{n-1}}{\partial \rho_{0}}
\end{array}
\]

могут быть переписаны в виде
\[
\left.\begin{array}{l}
u_{n}=\left(1+\varepsilon_{1}\right) u_{n-1}+\varepsilon_{2} v_{n-1}, \\
v_{n}=\left(s+\varepsilon_{3}\right) u_{n-1}+\left(1+\varepsilon_{4}\right) v_{n-1}
\end{array}\right\}
\]

где мы обозначаем
\[
u_{n}=\frac{\partial \rho_{n}}{\partial \rho_{0}}, \quad v_{n}=\frac{\partial \vartheta_{n}}{\partial \rho_{0}}
\]

в то время как из неравенств (5) и (7) следует для $n \leqslant N \rho_{0}^{-1}$
\[
\begin{array}{ll}
\left|\varepsilon_{1}\right| \leqslant 2^{2 \mu} A \rho_{0}^{\mu}, & \left|\varepsilon_{2}\right| \leqslant 2^{2 \mu+2} A \rho_{0}^{\mu+1}, \\
\left|\varepsilon_{3}\right| \leqslant 2^{2 \mu-2} A \rho_{0}^{\mu-1}, & \left|\varepsilon_{4}\right| \leqslant 2^{2 \mu} A \rho_{o}^{\mu} .
\end{array}
\]

Эти уравнения (8) позволяют нам определить $u_{n}, v_{n}$ последовательно для $n=1,2, \ldots$ с начальными условиями $u_{0}=1, v_{0}=0$.

Пренебрежем теперь на мгновение малыми членами в этих уравнениях (8). Они тогда принимают вид
\[
u_{n}=u_{n-1}, \quad v_{n}=s u_{n-1}+v_{n-1},
\]

сходится для достаточно малых $r_{0}$ его частные производные представляются производными рядами подобного же вида. Формула (6) показывает, что при $r_{0}=0$ мы имеем $\vartheta=\vartheta_{0}+n \sigma$, а при $r_{0}>0$ разность $\vartheta_{n}-\vartheta_{0}-n \sigma$ может быть сделана сколь угодно большой, если мы возьмем $n$ достаточно большим, но в пределах применимости неравенств $(5)\left({ }^{5}\right)$.

С помощью формул (3) и (6) получаем:
\[
\left.\begin{array}{l}
\left|\frac{\partial \rho_{1}}{\partial \rho_{0}}-1\right| \leqslant A \rho_{0}^{\mu}, \quad\left|\frac{\partial \rho_{1}}{\partial \vartheta_{0}}\right| \leqslant A \rho_{0}^{\mu+1}, \\
\left|\frac{\partial \vartheta_{1}}{\partial \rho_{0}}-s\right| \leqslant A \rho_{0}^{\mu-1}, \quad\left|\frac{\partial \vartheta_{1}}{\partial \vartheta_{0}}-1\right| \leqslant A \rho_{0}^{\mu},
\end{array}\right\}
\]

где $\rho$ обозначает $r^{2}$, а $A$ есть надлежащая положительная константа.
Но тождества
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \rho_{n}}{\partial \rho_{0}}=\frac{\partial \rho_{n}}{\partial \rho_{n-1}} \frac{\partial \rho_{n-1}}{\partial \rho_{0}}+\frac{\partial \rho_{n}}{\partial \vartheta_{n-1}} \frac{\partial \vartheta_{n-1}}{\partial \rho_{0}} \\
\frac{\partial \vartheta_{n}}{\partial \rho_{0}}=\frac{\partial \vartheta_{n}}{\partial \rho_{n-1}} \frac{\partial \rho_{n-1}}{\partial \rho_{0}}+\frac{\partial \vartheta_{n}}{\partial \vartheta_{n-1}} \frac{\partial \vartheta_{n-1}}{\partial \rho_{0}}
\end{array}
\]

могут быть переписаны в виде
\[
\left.\begin{array}{l}
u_{n}=\left(1+\varepsilon_{1}\right) u_{n-1}+\varepsilon_{2} v_{n-1}, \\
v_{n}=\left(s+\varepsilon_{3}\right) u_{n-1}+\left(1+\varepsilon_{4}\right) v_{n-1}
\end{array}\right\}
\]

где мы обозначаем
\[
u_{n}=\frac{\partial \rho_{n}}{\partial \rho_{0}}, \quad v_{n}=\frac{\partial \vartheta_{n}}{\partial \rho_{0}}
\]

в то время как из неравенств (5) и (7) следует для $n \leqslant N \rho_{0}^{-1}$
\[
\begin{array}{ll}
\left|\varepsilon_{1}\right| \leqslant 2^{2 \mu} A \rho_{0}^{\mu}, & \left|\varepsilon_{2}\right| \leqslant 2^{2 \mu+2} A \rho_{0}^{\mu+1}, \\
\left|\varepsilon_{3}\right| \leqslant 2^{2 \mu-2} A \rho_{0}^{\mu-1}, & \left|\varepsilon_{4}\right| \leqslant 2^{2 \mu} A \rho_{o}^{\mu} .
\end{array}
\]

Эти уравнения (8) позволяют нам определить $u_{n}, v_{n}$ последовательно для $n=1,2, \ldots$ с начальными условиями $u_{0}=1, v_{0}=0$.

Пренебрежем теперь на мгновение малыми членами в этих уравнениях (8). Они тогда принимают вид
\[
u_{n}=u_{n-1}, \quad v_{n}=s u_{n-1}+v_{n-1},
\]

откуда, исключая $u$, получаем:
\[
\Delta^{2} v_{n}=v_{n+2}-2 v_{n+1}+v_{n}=0 .
\]

Легко убедиться в том, что в результате исключения $u$ из уравнений (8) получается подобным же образом
\[
\Delta^{2} v_{n}=\varepsilon_{5} \Delta v_{n}+\varepsilon_{6} v_{n},
\]

где для $\varepsilon_{5}, \varepsilon_{6}$ имеем неравенства:
\[
\left|\varepsilon_{5}\right|,\left|\varepsilon_{6}\right| \leqslant B \rho_{0}^{\mu-1} \quad\left(n \leqslant N \rho_{0}^{-\mu}\right)
\]

в малой окрестности начала координат. Кроме того, начальные условия могут быть записаны в виде
\[
v_{0}=0, \Delta v_{0}=s+\varepsilon_{3}^{0},
\]

где $\varepsilon_{3}^{0}$ обозначает $\varepsilon_{3}$, когда мы заменим $\rho_{n-1}, \vartheta_{n-1}$ соответственно через $\rho_{0}, \vartheta_{0}$.

Очевидно, что $v_{1}=s+\varepsilon_{3}^{0}$ положительно и, следовательно, согласно формуле (9) $v_{2}, v_{3}, \ldots$, тоже положительны для $n=1,2, \ldots$, пока $n$ не станет слишком велико, если только $\rho_{0}$ достаточно мало, причем величина $v_{n}$ приблизительно равна $n s$. Мы хотим теперь определить более точно промежутки значений $\rho_{0}$ и $n$, для которых $v_{n}$ остается положительным. В этих пределах переменный угол $\vartheta_{n}$ возрастает вместе с $\rho_{0}$, если угол $\vartheta_{0}$ фиксирован.

Но уравнение (9) есть однородное, линейное, разностное уравнение второго порядка по $v_{n}$, и мы рассматриваем частное решение его, удовлетворяющее соотношениям (11). Очевидно, что $v_{n}$ будет оставаться положительным по крайней мере до тех пор, пока $\Delta v_{n}$ положительно. Первым вопросом, таким образом, будет определение пределов значений $n$, для которых как $v_{n}$, так и $\Delta v_{n}$ обязательно будут положительными. Но линейное разностное уравнение дает
\[
\Delta^{2} v_{n} \geqslant-B \rho_{0}^{\mu-1}\left(\left|\Delta v_{n}\right|+\left|v_{n}\right|\right),
\]

так что $v_{n}$ и $\Delta v_{n}$, очевидно, уменьшаются медленнее, чем если бы
\[
\Delta^{2} v_{n}=-B \rho_{0}^{\mu-1}\left(\Delta v_{n}+v_{n}\right),
\]

пока $v_{n}$ и $\Delta v_{n}$ остаются положительными $\left({ }^{6}\right)$. Таким образом, $v_{n}$ и $\Delta v_{n}$ будут оставаться положительными при $n=1,2, \ldots$ по крайней мере

так же долго, как это имеет место для решения линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами
\[
v_{n+2}-\left(2-B \rho_{0}^{\mu-1}\right) v_{n+1}+v_{n}=0
\]

удовлетворяющего начальным условиям (11). Но этим решением будет выражение
\[
v_{n}=\left(s+\varepsilon_{3}^{0}\right) \frac{e^{\alpha_{1} n}-e^{\alpha_{2} n}}{e^{\alpha_{1}}-e^{\alpha_{2}}},
\]

где $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ определяются равенством
\[
\alpha_{i}=\log \left[1-\frac{1}{2} B \rho_{0}^{\mu-1} \pm \sqrt{-\left(B \rho_{0}^{\mu-1}-\frac{1}{4} B^{2} \rho_{0}^{2 \mu-2}\right)}\right] \quad(i=1,2) .
\]

Определенные таким образом $v_{n}$ и $\Delta v_{n}$ во всяком случае останутся положительными до тех пор, пока $d v_{n} / d n$ не обратится в нуль, т. е. пока не будет выполнено равенство
\[
e^{\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right) n}=\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}}
\]

Так как главный член $\alpha_{1}-\alpha_{2}$, очевидно, равен
\[
2 \sqrt{-B} \rho_{0}^{\frac{\mu-1}{\varepsilon}},
\]

а главный член $\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}}$ равен -1 , то это соотношение показывает, что $n$ должно быть порядка $\rho_{0}^{-(\mu-1) / 2}$.

Отсюда мы заключаем, что до тех пор пока $n \leqslant N^{*} r_{0}^{-(\mu-1)}$ [сравнить с (5)], угол $\vartheta$ будет возрастать вместе с $r_{0}$ при фиксированном $\vartheta_{0}$ в указанной окрестности $\left(^{7}\right)$.

Характер выведенных выше неравенств делает очевидным, что мы можем выбрать значение $r_{0}$ столь малым и затем $n$ столь большим, чтобы выполнялись все условия, сформулированные в лемме.