В предыдущей главе было указано, что система обыкновенных дифференциальных уравнений
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \quad(i=1, \ldots, n)
\]
не имеет инвариантов по отношению к группе всех одно-однозначных аналитических преобразований
\[
x_{i}=\varphi_{i}\left(\bar{x}_{1}, \ldots, \bar{x}_{n}\right) \quad(i=1, \ldots, n)
\]
при условии, что мы ограничимся рассмотрением окрестности какойнибудь точки $x_{i}^{0}$. Это было показано в предположении, что $X_{i}$ суть аналитические функции и что они не обращаются в нуль одновременно в точке $x_{i}^{0}$.
Простейший случай, в котором можно ожидать появления инвариантов, это – случай, когда $x_{i}^{0}$ суть точка равновесия системы, для чего требуется, чтобы все $X_{i}^{0}=\mathbf{0}(i=1, \ldots, n)$.
Другой важный случай, который можно рассматривать как обобщение первого, представится, если мы будем рассматривать наши уравнения в окрестностях некоторого периодического решения с периодом $\tau$ :
\[
x_{i}=f_{i}(t) \quad(i=1, \ldots, n) .
\]
Если мы теперь напишем
\[
x_{i}=f_{i}(t)+\bar{x}_{i} \quad(i=1, \ldots, n),
\]
то уравнения (1) примут более общую форму:
\[
\frac{d \bar{x}_{i}}{d t}=\bar{X}_{i}\left(\bar{x}_{1}, \ldots, \bar{x}_{n}, t\right) \quad(i=1, \ldots, n),
\]
или, опуская для простоты черточки над $x_{i}$ и $X_{i}$ :
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right) \quad(i=1, \ldots, n),
\]
где $X_{i}$ суть аналитические функции от $x_{1}, \ldots, x_{n}$ и $t$ – периодические относительно $t$, с периодом $\tau$, совпадающим с периодом рассматриваемого движения, и обращающиеся в нуль в точке $\bar{x}_{1}=\ldots=\bar{x}_{n}=0$ для всех значений $t$. Мы рассмотрим вопрос об инвариантных характеристиках для «обобщенной проблемы равновесия», определенной системой уравнений этого последнего вида (3).
В настоящей главе мы сосредоточим внимание главным образом на тех чисто формальных соображениях, в которых не принимаются во внимание вопросы, касающиеся сходимости рассматриваемых рядов, и в которых мы будем считать известной точку равновесия или периодическое движение. Таким путем мы будем иметь возможность развить в значительной мере формальную сторону теории применяемых в динамике уравнений типов Лагранжа, Гамильтона и Пфаффа. С этой целью мы, прежде всего, будем исследовать свойства того, что можно назвать общим случаем проблемы равновесия, а затем перейдем к упомянутым частным типам, так что можно будет сравнивать обе задачи.
