Интеграл Лебега (1901), основанный на борелевской мере, в течение этого столетия был основным инструментом в замечательных достижениях анализа. По-видимому, эргодической теореме суждено занять центральное место в этом развитии. Действительно, в недавней статье Уинер и Уинтнер ${ }^{2}$ отзываются о ней как о «единственном результате, установленным для решений динамических систем».

Чтобы понять теорему и природу ее применения, необходимо прежде всего упомянуть меру (Бореля-Лебега), то есть «вероятность» в смысле схематически описанном Пуанкаре в третьем томе его «Новых методов в небесной механике». Ограничимся случаем отрезка прямой единичной длины с координатой $x, 0 \leqslant x \leqslant 1$. Предположим, что имеется конечное множество непересекающихся интервалов общей длины $l<1$. Вероятность (в определенном интуитивном смысле) того, что точка, взятая наугад, лежит на одном из этих интервалов, равняется $l$, а вероятность того, что она лежит в дополнении этого множества, очевидно, $1-l$.

Предположим теперь, что имеется точечное множество $M$ содержащее бесконечное количество точек, которое может быть заключено внутри бесконечного множества непересекающихся интервалов с длинами $l_{1}, l_{2}, \ldots$ общей длины
\[
l_{1}+l_{2}+l_{3}+\ldots=l<1 .
\]

Тогда ясно, что вероятность того, что точка, взятая наугад, лежит в $M$, не может превосходить $l$; а вероятность того, что она лежит в дополнительном множестве, по крайней мере, не меньше $1-l$. Если сейчас $M$ такой природы, что оно может быть заключено в бесконечном множестве интервалов общей длины, не превышающей произвольно малое

значение $\varepsilon$, очевидно, что вероятность попадания случайной точки в $M$ не превышает $\varepsilon$, то есть вероятность равна нулю. Такое множество $M$ называется множеством меры 0 .

Например, множество рациональных точек $x=m / n$, всюду плотное на отрезке, является множеством меры 0 . По сути, эти точки могут быть упорядочены
\[
0 ; 1 ; \frac{1}{2} ; \frac{1}{3} ; \frac{2}{3} ; \frac{1}{4} ; \frac{3}{4} ; \frac{1}{5} ; \frac{2}{5} ; \frac{3}{5} ; \frac{4}{5} ; \ldots
\]

и $n$-ая точка этой последовательности очевидно, может быть заключена на интервале длиной $\varepsilon / 2^{n}$. После чего, имеем
\[
\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{8}+\ldots=\varepsilon,
\]

откуда ясно, что множество рациональных точек меры 0 .
В более общем виде, если имеется множество $M$ такое, что оно может быть заключено в множестве интервалов длиной $l_{1}, l_{2}, \ldots$, причем
\[
l_{1}+l_{2}+\ldots \leqslant l+\varepsilon,
\]

в то время как дополнение множество $\bar{M}$, аналогично, может быть заключено внутри интервалов $\bar{l}_{1}, \bar{l}_{2}, \ldots$ с
\[
\bar{l}_{1}+\bar{l}_{2}+\ldots \leqslant(1-l)+\varepsilon
\]

при произвольно малом $\varepsilon>0$, тогда $M$ считается измеримым с мерой $l$; ясно, что ее дополнительное множество $\bar{M}$ будет измеримым с мерой $1-l$. В таком случае вероятность того, что случайная точка попадает в $M$, должна полагаться равной $l$.

Все обычные бесконечные множества, определенные, в частности, аналитическими методами, оказываются в этом смысле измеримыми.

Сущность эргодической теоремы сейчас может быть пояснена при помощи рассмотренного отрезка прямой.

Предположим, что задано произвольное взаимно однозначное сохраняющее меру преобразование $T$ отрезка $0 \leqslant x \leqslant 1$ в себя; $T$ может иметь конечное или бесконечное количество разрывов. Приведем первый простой пример. Представим, что отрезок прямой $0 \leqslant x<1$ изогнулся в окружность с длиной 1 без какого-либо растяжения; первое преобразование $T$ является обычным поворотом этой окружности на некоторый угол $\alpha$. Второй простой пример: отрезок прямой разделен на бесконечное множество интервалов
\[
0 \leqslant x<\frac{1}{2} ; \quad \frac{1}{2} \leqslant x<\frac{3}{4} ; \quad \frac{3}{4} \leqslant x<\frac{7}{8}, \ldots .
\]

и тогда второй интервал переставляется с первым, четвертый с третьим, и так далее, определяя, таким образом, преобразование $T$. В обоих случаях преобразование $T$ сохраняет меру.

Тогда эргодическая теорема гласит, что: Для любого, сохраняющего меру преобразования $T$, и для каждой отдельной точки $P$ (кроме, вероятно, исключительного множества меры 0) существует определенная вероятность того, что итерации $P$
\[
P, T(P), T^{2}(P), \ldots \quad \text { u } \quad P, T^{-1}(P), T^{-2}(P), \ldots
\]

попадают в заданное измеримое множество $M$.
Другими словами, для $n$ этих точек (начиная с $P$ ) доля точек, которые лежат в множестве $M$, стремится к определенному ограничению $\mu_{p}$ в то время как $n$ стремится к бесконечности в обоих направлениях.

В более общем случае, отрезок прямой может быть заменен конечным $n$-мерным объемом $M$ при $n>1$, а для точек из $M$ может быть определен переменный (интегрируемый) положительный вес $w(P)$. Тогда обобщенная теорема будет утверждать, что соответствующие взвешенные средние стремятся к пределу $\mu_{p}$. В элементарном специальном случае, указанном вначале, этот вес равен 1 для точек из $M$ и нулю для точек вне $M$. При $n>1$ дискретное преобразование $T$ может быть заменено на стационарный сохраняющий меру поток $T_{t}$ со временем $t$, при этом справедлива сходная теорема.

Для того, чтобы пояснить эту последнюю возможность, положим, что в квадрате $0 \leqslant$ $x<1,0 \leqslant y<1$ точки двигаются с постоянной скоростью в фиксированном направлении, составляющей угол $\alpha$ с осью $x$ и, покидая квадрат, возвращаются в него в гомологичной точке (см. рис. 18.). Очевидно, что такое преобразование $T_{t}$ сохраняет площадь. Пусть теперь $M$ будет произвольно выбранной измеримой частью квадрата, и $P$ – произвольной точкой квадрата, которая не приРис. 18 надлежит возможному исключительному множеству меры 0 . На основании этой же теоремы заключаем, что для бесконечного времени $t \geqslant 0$ или $t \leqslant 0$ существует определенная вероятность того, что точка $P_{t}=T_{t}(P)$ попадает внутрь $M$ и эта вероятность одинакова в обоих направлениях. Обобщение для произвольного $w(P)$ справедливо и в случае «потока» и в дискретном случае.
В более аналитическом виде, для этих двух случаев $n \rightarrow \pm \infty$,

$T \rightarrow \pm \infty$ теорема записывается, соответственно, как:
\[
\begin{array}{c}
\frac{w(P)+w(T(P))+\ldots w\left(T^{n-1}(P)\right)}{n} \rightarrow \mu_{P} ; \\
\frac{1}{T} \int_{0}^{T} w(P) d P \rightarrow \mu_{P}
\end{array}
\]

Различные применения эргодической теоремы к динамическим системам чрезвычайно разнообразны и любопытны. Возьмем простой пример идеального выпуклого бильярдного стола, на котором идеальный бильярдный шар $P$ двигается со скоростью 1. На рис. 19 положим $\phi=\operatorname{arc} O A, \phi_{1}=\operatorname{arc} O A_{1}, l=A P, L^{*}=A A_{1}$. Имеем преобразование $\left(\theta_{1}, \phi_{2}\right)=T(\theta, \phi)$ определенное в прямоугольнике
\[
0<\theta<\pi ; \quad 0 \leqslant \phi \leqslant p, \quad(p=\text { периметр стола) }
\]

на $\theta \phi$-плоскости, соединенное с движением. Нетрудно доказать, что $T$ является множеством, сохраняет меру в том смысле, что двойной интеграл
\[
\iint \frac{\sin \theta}{\sin \theta_{1}} d \theta d \phi
\]

имеет одно и то же значение для любой измеримой части этого прямоугольника и для ее образа при отображении $T$; действительно, возможно так изменить форму прямоугольника, что для новой области преобразование сохраняет обычную площадь.

Кроме того, ясно, что если зададим любое «состояние движения» бильярдного шара, как точки $P$ тремя координатами $\theta, \phi, l$, тогда стационарный поток $T_{t}$ определен в соответствующей области трехмерного $\theta \phi l$-пространства:
\[
0<\theta<\pi ; \quad 0 \leqslant \phi<p, \quad 0 \leqslant l \leqslant l^{*} .
\]

При этом сохраняется следующий интеграл по объему:
\[
\int\left(\iint \frac{\sin \theta}{\sin \theta_{1}} d \theta d \phi\right) d l
\]

Таким образом, теорема применима к этому потоку.
Приведем три явные применения к этой простой, но типичной динамической задаче:

(1) средняя длина $n$ последовательных хорд траектории стремится к определенному пределу, одному и тому же вне зависимости, увеличивается или уменьшается время $t$;
(2) средний угол $\theta$ для $n$ последовательных столкновений стремится к определенному предельному значению;
(3) для любой заданной области стола доля времени, проводимого в ней бильярдным шаром, пропорциональна ее площади.

Существует один особо интересный случай, который, насколько известно, фактически может быть «об-
Рис. 19

щим случаем»: Может случиться, что все точки нашего объема в среднем ведут себя существенно одинаковым образом (конечно же, не принимая во внимание исключительного множества меры 0 ). В противном случае, все пространство может разбиваться на инвариантные измеримые множества. Так, например, для эллиптического стола, движение полностью заполняет кольцо за пределами некоторого меньшего софокусного эллипса, это кольцо образует такое замкнутое инвариантное множество; эта интегрируемая задача – предельный случай геодезического потока на поверхности сплющенного эллипсоида.

Что означает эргодическая теорема, грубо говоря, заключается в том, что для дискретного сохраняющего меру преобразования или сохраняющего меру потока конечного объема, вероятности и взвешенные средние стремятся к пределам, для определенного начального состояния $P$ (не принадлежащего исключительному множеству меры 0 ) и, кроме того, предельные значения одинаковы для обоих направлений.

Эргодическая теорема применяется к разнообразным серьезным задачам анализа и прикладной математики – как ко всей солнечной системе, так и к простой задаче бильярдного шара! Так, в известной идеализации для системы Земля-Солнце-Луна Дж. У. Хилла (ограниченная задача трех тел), можем сразу же утверждать (с вероятностью 1), что Луна обладает истинно средним угловым вращением вокруг Земли (измеренное через период), одинаковым в обоих направлениях времени.