Можно доказать методом вариаций, что в этом случае остальные $m-1$ уравнений, дающих систему $m-1$ уравнений второго порядка относительно $q_{2}, \ldots, q_{m}$, после того, как с помощью вышеприведенного интеграла мы исключили $q_{1}^{\prime}$, могут быть выражены в лагранжевой форме. Обозначим через $\bar{L}$ функцию от $q_{2}, \ldots, q_{m}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}$, получаемую из $L$ после исключения $q_{1}^{\prime}\left({ }^{3}\right)$. Если $q_{1}^{0}, \ldots, q_{m}^{0}$ удовлетворяют данным уравнениям Лагранжа, то, интегрируя по частям, находим для произвольных вариаций $q_{2}, \ldots, q_{m}$
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} \bar{L} d t=\left.\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial L}{\partial q_{j}^{\prime}} \delta q_{j}\right|_{t_{0}} ^{t_{1}} ;
\]

здесь $q_{1}^{\prime}$ определяется из соотношения $\partial L / \partial q_{1}^{\prime}=c$, тогда как $q_{1}$ определяется только с точностью до постоянного слагаемого. Если $\delta q_{2}, \ldots, \delta q_{m}$ обращаются в нуль в окрестности концов интервала $\left(t_{0}, t_{1}\right)$, то это равенство приводится к виду:
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} \bar{L} d t=\left.c \delta q_{1}\right|_{t_{0}} ^{t_{1}} \quad \text { или } \delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(\bar{L}-c q_{1}^{\prime}\right) d t=0 .
\]

Если $q_{1}$ есть несущественная координта, то наши лагранжевы уравнения могут быть заменены системой лагранжевых уравнений в $q_{2}, \ldots, q_{m}$, с главной функцией
\[
L-\frac{\partial L}{\partial q_{1}^{\prime}} q_{1}^{\prime},
\]

в которой можно исключить $q_{1}^{\prime}$, пользуясь известным интегралом $\partial L / \partial q_{1}^{\prime}=c$.

Мы отметили вышеуказанное приведение системы к системе с меньшим числом степеней свободы, потому что оно характерно как пример тех приведений, к которым стремятся во многих динамических проблемах, а именно приведений, сохраняющих общий вид уравнений.