Как первый шаг по направлению к получению подобной же нормальной формы для гамильтоновой системы уравнений в точке равновесия, мы докажем некоторые общеизвестные основные свойства множителей для этих уравнений ${ }^{1}\left({ }^{4}\right)$.
В этом случае уравнения имеют следующий вид:
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \quad \frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где $H$ – вещественная аналитическая функция от $n=2 m$ переменных $p_{1}, \ldots, q_{m}$. Если эти уравнения имеют в начале координат точку равновесия, то, очевидно, все первые частные производные функции $H$ обращаются в этой точке в нуль, и мы можем написать, пренебрегая постоянным слагаемым $H$,
\[
H=H_{2}+H_{3}+\ldots,
\]

где $H_{k}$ – однородный полином степени $k$ относительно $p_{1}, \ldots, q_{m}$ и где, в частности, имеем:
\[
H_{2}=\sum_{j, k=1}^{m}\left(\frac{1}{2} a_{j k} p_{j} p_{k}+b_{j k} p_{j} q_{k}+\frac{1}{2} c_{j k} q_{j} q_{k}\right)
\]

Мы можем считать, очевидно, $a_{j i}=a_{i j}, c_{i j}=c_{j i}$, но $b_{i j}$ будет, вообще говоря, отлично от $b_{j i}$.

Уравнения вариации получаются из уравнений (11), если мы заменим $H$ на $H_{2}$ и $p_{i}, q_{i}$ на $P_{i}, Q_{i}$, и могут быть написаны в явном виде, как уравнения:
\[
\begin{aligned}
\frac{d P_{i}}{d t} & =-\sum_{j=1}^{m} b_{j i} P_{j}-\sum_{j=1}^{m} c_{i j} Q_{j} \\
\frac{d Q_{i}}{d t} & =\sum_{j=1}^{m} a_{i j} P_{j}+\sum_{j=1}^{m} b_{i j} Q_{j}(i=1, \ldots, m),
\end{aligned}
\]

которые представляют собою частный случай системы $2 m$ линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

Наше первое замечание будет заключаться в том, что, вообще говоря, все множители этой системы различны между собою. Для того, чтобы убедиться в этом, достаточно дать пример подобной системы, имеющей $2 m$ различных показательных решения. Если мы примем
\[
H_{2}=\sum_{j=1}^{m} \frac{1}{2} \mu_{j}\left(p_{j}^{2}+q_{j}^{2}\right)
\]

то уравнения вариации приведутся к виду:
\[
\frac{d P_{i}}{d t}=-\mu_{i} Q_{i}, \quad \frac{d Q_{i}}{d t}=\mu_{i} P_{i} \quad(i=1, \ldots, m)
\]

с $2 m$ частными решениями
\[
P_{i}=\delta_{i k} e^{ \pm \mu_{k} \sqrt{-1} t}, \quad Q_{i}=\mp \delta_{i k} \sqrt{-1} e^{ \pm \mu_{k} \sqrt{-1} t},
\]

где $\delta_{i j}$ имеют свое обычное значение. Следовательно, в этом случае $2 m$ множителей будут иметь величины, равные $\pm \mu_{k} \sqrt{-1}(k=1, \ldots, m)$,

и будут различны, если, например, $\mu_{1}, \ldots, \mu_{m}$ будут различными положительными количествами.

Прежде чем оставить этот частный случай, заметим, что если $H_{2}$ имеет только что приведенный вид, то мы можем ввести сопряженные переменные
\[
\xi_{i}=p_{i}+\sqrt{-1} q_{i}, \quad \eta_{i}=p_{i}-\sqrt{-1} q_{i} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

и тогда легко найдем:
\[
\frac{d \xi_{i}}{d t}=-\frac{\partial \bar{H}}{\partial \eta_{i}}, \quad \frac{d \eta_{i}}{d t}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial \xi_{i}} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где $\bar{H}=-2 \sqrt{-1} H$ и $\bar{H}_{2}$ принимают нормальный вид:
\[
\overline{H_{2}}=-\sum_{j=1}^{m} \mu_{j} \sqrt{-1} \xi_{j} \eta_{j} .
\]

Следовательно, при таком преобразовании переменных гамильтонова форма дифференциальных уравнений сохраняется. В этом случае уравнения вариации еще проще, а именно, они имеют вид:
\[
\frac{d \xi_{i}}{d t}=\mu_{i} \sqrt{-1} \xi_{i}, \quad \frac{d \eta_{i}}{d t}=-\mu_{i} \sqrt{-1} \eta_{i} \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

Этот тип сопряженных переменных будет играть важную роль в дальнейшем.

Предположим теперь, что мы имеем дело с общим случаем, когда все $2 m$ множителей различны между собою. Мы хотим догазать, что эти множители можно разбить на $m$ различных пар, каждая из которых состоит из множителей, равных по величине и противоположных по знаку. Мы уже видели, что это имеет место в вышеприведенном примере.

Так как все множители по предположению различны, то существует полная система решений уравнений вариации
\[
P_{1 k}, \ldots, P_{m k} ; \quad Q_{1 k}, \ldots, Q_{m k} \quad(k=1, \ldots, 2 m)
\]

вида
\[
P_{i k}=C_{i k} e^{\lambda_{k} t}, \quad Q_{i k}=D_{i k} e^{\lambda_{k} t} \quad(i=1, \ldots, m ; k=1, \ldots, 2 m),
\]

причем определитель порядка $2 m$, составленный из постоянных $C_{i k}, D_{i k}$ не равен нулю.

Такая полная система частных решений обладает тем свойством, при котором самое общее решение нашей системы дифференциальных уравнений вариации может быть представлено как линейная комбинация этих частных решений.

Но если $P_{i}, Q_{i}$ и $P_{i}{ }^{*}, Q_{i}{ }^{*}$ будут два любых решения уравнений вариации, то имеет место формула:
\[
\sum_{j=1}^{m}\left(Q_{j} P_{j}^{*}-P_{j} Q_{j}{ }^{*}\right)=\text { const. }
\]

Для того, чтобы убедиться в справедливости этого равенства, достаточно продифференцировать левую часть его по $t$ и затем, применив уравнения вариации, убедиться, что производная левой части по $t$ тождественно обращается в нуль.

Если мы теперь подставим в это соотношение какие-нибудь два из вышеприведенных частных решений, то получим
\[
\sum_{j=1}^{m}\left(D_{j k} C_{j l}-C_{j k} D_{j l}\right) e^{\left(\lambda_{k}+\lambda_{l}\right) t}=\mathrm{const}
\]

для всех $k$ и $l$. Отсюда непосредственно следует, что либо $\lambda_{k}+\lambda_{l}=0$, либо постоянная, стоящая в правой части, равна нулю, что дает нам возможность обосновать доказываемое положение.

В самом деле, если каждое $\lambda_{i}$ имеет соответствующее $\lambda_{j}$, такое, что $\lambda_{i}+\lambda_{j}=0$, то, очевидно, такое $\lambda_{j}$ может быть только одно. В противном же случае какой-нибудь корень $\lambda_{k_{0}}$ не имеет соответствующего ему, дающего с ним в сумме нуль, но тогда из вышеприведенного соотношения следует, что его левая часть должна обращаться в нуль при $l=1, \ldots, 2 m$, когда $k$ принимает значение $k_{0}$, откуда находим:
\[
D_{1 k_{0}} C_{1 l}+\ldots+D_{m k_{0}} C_{m l}-C_{1 k_{0}} D_{1 l}-\ldots-C_{m k_{0}} D_{m l}=0(l=1, \ldots, 2 m) .
\]

Эти $2 m$ уравнений линейны и однородны относительно $D_{1 k_{0}}, \ldots$, $D_{m k_{0}},-C_{1 k_{0}}, \ldots,-C_{m k_{0}}$, так что определитель, составленный из их коэффициентов, должен быть равен нулю.

Но этот определитель есть как раз вышеупомянутый определитель порядка $2 m$, не могущий обращаться в нуль. Следовательно, такого множителя $\lambda_{k_{0}}$, не имеющего пары, не существует.

Вообще говоря, в точке равновесия для уравнений Гамильтона множители могут быть разбитыми на т пар $\lambda_{i},-\lambda_{i}(i=1, \ldots, m)$, причем все $\lambda_{i}$ различны между собою (5).

Очевидно, что, вообще говоря, множители либо вещественны, либо могут быть объединены в комплексные сопряженные пары с различными модулями.

Следовательно, множитель, сопряженный с комплексным, должен совпадать с обратным ему по знаку множителем. Переходя к исключительным случаям посредством предельного перехода, мы заключаем:

Множители $\lambda_{i}$ представляют собою вещественные или чисто мнимые количества $\left({ }^{6}\right)$.

Мы определим точку равновесия общего типа, как такую, для которой $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}$ не подчинены никаким линейным соотношениям с целыми коэффициентами типа (7), и сосредоточим свое внимание именно на этом общем случае.