Рассмотрим теперь произвольную замкнутую связную совокупность $\Sigma$, состоящую из кривых движения. Мы уже видели выше, что $\alpha$ – и $\omega$-предельные движения для любого движения образуют такие совокупности. В более общем случае, если мы возьмем любую связную совокупность, состоящую из кривых движения, и присоединим ее предельные точки, то получим совокупность $\Sigma$ требуемого типа.

Если совокупность $\Sigma$ не имеет непустого собственного подмножества $\Sigma^{\prime}$ того же типа, то мы будем говорить, что $\Sigma$ есть «минимальная совокупность движений». В этом случае, если $P$ есть какая-нибудь точка совокупности $\Sigma$, то ее $\alpha$ – и $\omega$-предельные точки образуют замкнутые связные подмножества $\Sigma$, которые должны совпадать с $\Sigma$.

По определению всякая полная точечная группа в минимальной совокупности является «рекуррентной точечной группой» и всякое движение в этой группе называется «рекуррентным».

Все рекуррентные движения принадлежат к числу центральных движений. Действительно, $\alpha$ – или $\omega$-предельные точки всякого такого движения в $M_{p}$ образуют совокупность $\Sigma$ в $M_{p+1}$, которая должна совпадать с минимальной совокупностью, так что всякая точка нашей минимальной совокупности, лежащая в $M_{p}$, должна лежать в $M_{p+1}$. Следовательно, вся минимальная совокупность, соответствующая рекуррентному движению, лежит в $M_{r}$.

Кроме простейшего случая, когда $\Sigma$ состоит из единственной замкнутой кривой, во всех остальных случаях минимальное множество $\Sigma$ содержит неисчислимое совершенное множество кривых движения $\left({ }^{21}\right)$. В самом деле, представим себе, что $\Sigma$ содержит изолированную кривую движения. Точка $P_{t}$ на этой кривой имеет точки этой кривой в качестве своих $\alpha$ – или $\omega$-предельных точек. Следовательно, эта кривая должна быть замкнута и составлять минимальную совокупность.

Для того, чтобы точечная группа, образованная движением $P_{t}$, была рекуррентной, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного количества в можно было найти такое положительное число $T$, чтобы всякая дуга $P_{t} P_{t+T}$ кривой движения содержала точки, лежащие на расстоянии, меньшем в от любой точки кривой движения.
Это условие необходимо.
В противном случае существовала бы рекуррентная точечная группа $\Sigma$, порождаемая движением $P_{t}$, и положительное число $\varepsilon$, такое, что, можно найти последовательность дуг $P_{t} P_{t+2 T}$ ( $T$ – произвольно ве-

лико), каждая из которых не имеет ни одной точки, лежащей на расстоянии, меньшем $\varepsilon$ от соответственной точки $Q$, принадлежащей $\Sigma$. При возрастании $T$ точки $Q$ имеют по крайней мере одну предельную точку $Q^{*}$, и поэтому очевидно, что для подходящим образом выбранной подпоследовательности дуг $P_{t} P_{t+2 T}$ никакая точка не лежит на расстоянии, меньшем $\varepsilon / 2$ от $Q$. Рассмотрим последовательность середин $P_{t+T}$ этих дуг. Пусть $P^{*}$ будет какая-нибудь предельная точка этой последовательности. Мы можем утверждать тогда, что все точки точечной группы, содержащей $P^{*}$, находятся на расстоянии, не меньшем $\varepsilon / 2$ от $Q^{*}$. Следовательно, $P^{*}$ определяет замкнутую совокупность, состоящую из точечных групп, лежащую в минимальном множестве $\Sigma$, но составляющую собственную часть этого множества и в частности не содержащую точку $Q^{*}$. Это невозможно по самому определению минимального множества.

Для того, чтобы доказать достаточность условия, мы заметим прежде всего, что $\alpha$ – и $\omega$-предельные множества точечной группы, удовлетворяющей этому условию, должны совпадать. Нам нужно только взять $t=0$ в произвольной дуге $P_{t} P_{t+T}$, чтобы убедиться в справедливости этого предположения. Обозначим совокупность этих общих $\alpha$ – и $\omega$-предельных точек через $\Sigma$.

Если бы совокупность $\Sigma$ не была минимальной, то она содержала бы собственное подмножество $\Sigma^{\prime}$ подобного же рода, к которому не принадлежала бы какая-то точка $Q$ совокупности $\Sigma$. Но когда точка $P_{t}$ приблизится достаточно близко к какой-нибудь точке совокупности $\Sigma^{\prime}$, то она останется в течение сколь угодно большого интервала времени вблизи от этой замкнутой, связной, состоящей из кривых движения совокупности, и, таким образом, не может приближаться в этом интервале времени к точке $Q$. Таким образом, требуемое условие не будет выполнено точечной группой, порождаемой $P_{t}$. Следовательно, $\Sigma$ есть минимальное множество, и наше движение рекуррентно.

Очевидно, что все рекуррентные движения центральны, но обратное, разумеется, неверно; центральные движения могут быть, могут и не быть рекуррентными. Примером может служить случай дифференциальных уравнений классической динамики, где все движения центральные, но вовсе не обязательно рекуррентные.