1) Перевод этой статьи см. стр. 289-304.
2) Это $r$, которое равно $\sqrt{p^2+q^2}$, разумеется, не следует смешивать с прежним $r$, играющим роль угловой координаты.
3) Чтобы доказать строго неравенство
$$r_n^2⩽{\overline{r}}_n^2(n=0,1,\dots ,k),$$

где ${\overline{r}}_n$ — решение дифференциального уравнения
$$\frac{d{\overline{r}}_n^2}{dn}=L{\overline{r}}_n^{2\mu +2},$$

определенное при $0⩽n⩽k$ и удовлетворяющее начальному условию
$${\overline{r}}_0^2=r_0^2,$$

можно рассуждать следующим образом.
Прежде всего, из уравнения (2) легко усматривается, что ${\overline{r}}_n^2>0$ при всяком $n$, принадлежащем промежутку $0⩽n⩽k$.

Отсюда в силу уравнения (2) следует, что ${\overline{r}}_n^2$ есть возрастающая функция $n$. Принимая это во внимание, получаем, далее, из того же уравнения:
$${\overline{r}}_{j+1}^2-{\overline{r}}_j^2=L{\int }_j^{j+1}{\overline{r}}_x^{2\mu +2}dx>L{\overline{r}}_j^{2\mu +2}.$$

Допустим теперь, что неравенство (1) доказано при $n=j⩽k-1$ и докажем его при $n=j+1$.
Согласно доказанному в тексте имеем:
$$r_{j+1}^2-r_j^2⩽L{r}_j^{2\mu +2},$$

откуда в силу индуктивного предположения и неравенства (3)
$$r_{j+1}^2-r_j^2<{\overline{r}}_{j+1}^2-{\overline{r}}_j^2.$$

Еще раз применяя индуктивное предположение, заключаем отсюда, что
$$r_{j+1}^2<{\overline{r}}_{j+1}^2.$$

А так как неравенство (1) соблюдается при $n=0$, то этим оно доказано при всяком интересующем нас $n$.
4) В самом деле, левая часть равенства
$$\frac{q_1{p}_0-p_1{q}_0}{p_1{p}_0+q_1{q}_0}=\frac{r_0^2\sin (\sigma +s{r}_0^2)+p_{0}Q-q_{0}P}{r_0^2\cos (\sigma +s{r}_0^2)+q_{0}Q+p_{0}P}$$

есть не что иное, каю $\mathrm{tg}({\vartheta }_1-{\vartheta }_0)$. В силу этого равенства отсюда следует, чTо
$$\begin{array}{l}\mathrm{tg}({\vartheta }_1-{\vartheta }_0-\sigma -s{r}_0^2)=\frac{\mathrm{tg}({\vartheta }_1-{\vartheta }_0)-\mathrm{tg}(\sigma +r_0^2)}{1+\mathrm{tg}({\vartheta }_1-{\vartheta }_0)\mathrm{tg}(\sigma +r_0^2)}=\\ =\frac{(p_{0}Q-q_{0}P)\cos (\sigma +s{r}_0^2)-(q_{0}Q+p_{0}P)\sin (\sigma +s{r}_0^2)}{r_0^2+(p_{0}Q-q_{0}P)\sin (\sigma +s{r}_0^2)+(q_{0}Q+p_{0}P)\cos (\sigma +s{r}_0^2)}.\end{array}$$

Полагая здесь $p_0=r_0\cos {\vartheta }_0,q_0=r_0\sin {\vartheta }_0$, усматриваем, что числитель и знаменатель представляются степенными рядами в $r_0$ с коэффициентами — тригонометрическими полиномами относительно ${\vartheta }_0$. При этом ряд для числителя начинается с члена порядка не ниже $2\mu +2$, ряд для знаменателя — с $r_0^2$. Следовательно, тангенс величины, обозначенной в тексте через $\vartheta$, представляется аналогичным степенным рядом, начинающимся с члена порядка не ниже $2\mu$. То же справедливо поэтому и относительно самой этой величины.
5) Точнее говоря, величина $r_0>0$ и натуральное число $n$ могут быть выбраны так, чтобы соблюдалось неравенство $n⩽N{\overline{r}}_0^{-2\mu }$ и величина ${\vartheta }_n-{\vartheta }_0-n\sigma$ была сколь угодно большой.
6) Это отнюдь не очевидно. В самом деле, если в решении разностного уравнения
$${\mathrm{\Delta }}^2{v}_n=-B{\rho }_0^{\mu -1}(\mathrm{\Delta }{v}_n+v_n),$$

удовлетворяющем начальным условиям
$$v_0=0,\mathrm{\Delta }{v}_0=s+{\epsilon }_3^0,$$

$v_n$ и $\mathrm{\Delta }{v}_n$ не больше соответствующих $v_n$ и $\mathrm{\Delta }{v}_n$ в рассматриваемом решении разностного уравнении (9) (см. текст) при некотором значении $n$, то оценки (10) отнюдь не гарантируют того, что и при непосредственно следующем значении $n$ это будет иметь место. Поэтому все последующее рассуждение непригодно для доказательства леммы. Эту ошибку, к счастью, легко исправить.

Рассмотрим уравнение (9), где ${\epsilon }_5$ и ${\epsilon }_6$ могут быть произвольными функциями $n$, удовлетворяющими неравенствам (10). Из вида этого уравнения непосредственно следует, что в его решении, удовлетворяющем начальным условиям (11), $v_n$ и $\mathrm{\Delta }{v}_n$ могут быть представлены как зависящие от $n$ полиномы в $s+{\epsilon }_3^0,{\epsilon }_5(0),\dots ,{\epsilon }_5(n-1),{\epsilon }_6(0),\dots ,{\epsilon }_6(n-1)$ с положительными коэффициентами. Эти полиномы могут только возрасти, если мы заменим ${\epsilon }_5(k)$ и ${\epsilon }_6(k)$ их максимальным допустимым значением $B{\rho }_0^{\mu -1}$. Но тогда мы получим решение разностного уравнения
$${\mathrm{\Delta }}^2{V}_n=B{\rho }_0^{\mu -1}(\mathrm{\Delta }{V}_n+V_n),$$

удовлетворяющее тем же начальным условиям. Таким образом, для интересующего нас решения уравнения (9) имеем:
$$v_n⩽V_n(n⩽N{\rho }_0^{-\mu }).$$

А так как при $v_n⩾0$ и $\mathrm{\Delta }{v}_n⩾0$ имеем
$${\mathrm{\Delta }}^2{v}_n⩾-B{\rho }_0^{\mu -1}(\mathrm{\Delta }{v}_n+v_n)=-B{\rho }_0^{\mu -1}{v}_{n+1},$$

то при тех же условиях
$${\mathrm{\Delta }}^2{v}_n⩾-B{\rho }_0^{\mu -1}{V}_{n+1}(n+1⩽N{\rho }_0^{-\mu }),$$

откуда в силу начальных условий:
$$\mathrm{\Delta }{v}_n⩾s+{\epsilon }_3^0-B{\rho }_0^{\mu -1}\sum _{k=1}^n{V}_k(n⩽N{\rho }_0^{-\mu }),$$

если только $\mathrm{\Delta }{v}_k⩾0$ при $k<n$.
С другой стороны, разностное уравнение для $V_n$ и начальные условия дают
$$V_n=(s+{\epsilon }_3^0)\frac{e^{{\beta }_{1}n}-e^{{\beta }_{2}n}}{e^{{\beta }_1}-e^{{\beta }_2}},$$

где
$${\beta }_i=\log (1+\frac{1}{2}B{\rho }_0^{\mu -1}\pm \sqrt{B{\rho }_0^{\mu -1}+\frac{1}{4}{B}^2{\rho }_0^{2\mu -2}}),$$

причем для определенности мы будем считать, что знак «十» относится к ${\beta }_1$, а знак «-» к ${\beta }_2$. Подставляя это выражение в неравенство для $\mathrm{\Delta }{v}_n$, получаем:
$$\mathrm{\Delta }{v}_n⩾(s+{\epsilon }_3^0)[1-\frac{B{\rho }_0^{\mu -1}}{e^{{\beta }_1}-e^{{\beta }_2}}(\frac{e^{{\beta }_1(n+1)}-e^{{\beta }_1}}{e^{{\beta }_1}-1}-\frac{e^{{\beta }_2(n+1)}-e^{{\beta }_2}}{e^{{\beta }_2}-1})](n⩽N{\rho }_0^{-\mu }),$$

при условии, что $\mathrm{\Delta }{v}_k⩾0(0<k<n)$.
Но из выражений для $\beta$ нетрудно усмотреть, что
$$\frac{B{\rho }_0^{\mu -1}}{(e^{{\beta }_1}-e^{{\beta }_2})(e^{{\beta }_1}-1)}<\frac{1}{2}.$$

Так как, кроме того,
$$\frac{B{\rho }_0^{\mu }(e^{{\beta }_2(n+1)}-e^{{\beta }_2})}{(e^{{\beta }_1}-e^{{\beta }_2})(e^{{\beta }_1}-1)}>0,$$

то последнее неравенство для $\mathrm{\Delta }{v}_n$ дает
$$\mathrm{\Delta }{v}_n⩾(s+{\epsilon }_s^0)(1-\frac{1}{2}(e^{{\beta }_{1}n}-1))(n⩽N{\rho }_0^{-\mu }),$$

если только $\mathrm{\Delta }{v}_k⩾0$ при $0<k<n$.
Далее при достаточно малых ${\rho }_0$ имеем, очевидно,
$${\beta }_1<2B^{\frac{1}{2}}{\rho }_0^{\frac{\mu -1}{2}}.$$

Следовательно, при достаточно малом ${\rho }_0$
$$\mathrm{\Delta }{v}_n⩾0,$$

коль скоро
$$n⩽min[N^{\ast }{\rho }_0^{-\frac{\mu -1}{2}},N{\rho }_0^{-\mu }],$$

где
$$N^{\ast }=\frac{1}{2}\log 3B^{-\frac{1}{2}}.$$

Наконец, при достаточно малом ${\rho }_0$ последнее неравенство для $n$ может быть заменено простым условием
$$n⩽N^{\ast }{\rho }^{-\frac{\mu -1}{2}}.$$

При этом условии $\mathrm{\Delta }{v}_n$ и $v_n$ остаются положительными, если только ${\rho }_0$ достаточно мало. Это и есть результат, к которому стремится Биркгоф (см. конец доказательства).
7) См. предыдущее примечание.
8) Это утверждение справедливо для прямоугольника $0⩽x⩽2\pi$, $a^2⩽y^2⩽b^2$, так как расстояние точки от ее образа есть непрерывная функция точки. Но, так как точки с абсциссами, различающимися на $2\pi$, передвигаются одинаковым образом, то это утверждение справедливо для всей полоски $a^2⩽y⩽b^2$. — Прим. перев.
9) Это утверждение справедливо при всяком, достаточно малом $\epsilon$, так как не только точки прямой $y=b^2$, но и все точки полоски $a^2⩽$ $⩽y⩽b^2$, достаточно близкие к этой прямой, передвигаются влево при преобразовании T. — Прим. перев.
10) Докажем это важное утверждение.
Прежде всего введем на дуге $P{P}^{(k-1)}$ вещественный параметр $t$ следующим образом. При $0⩽t⩽\frac{1}{k-1}$ обозначим через $L_t$ точку прямолинейного отрезка $P{P}^{(1)}$ с ординатой $(k-1)\epsilon t$. При $\frac{s}{k-1}⩽t⩽\frac{s+1}{k-1}$, где $s=1,\dots ,k-1$, положим
$$L_t={\left(T{T}_s\right)}^s{L}_{t-\frac{s}{k-1}}.$$

Этим $L_t$ определено однозначно при $0⩽t⩽1+\frac{1}{k-1}$. Когда $t$ пробегает этот последний отрезок числовой прямой, точка $L_t$ описывает дугу $PQ$, причем согласно определению
$$\left(T{T}_s\right)L_t=L_{t+\frac{1}{k-1}}.$$

Нас интересует угол между вектором $L_t{L}_{t+\frac{1}{k-1}}$ и осью абсцисс. Этот угол имеет смысл при всяком $t$, принадлежащем отрезку $0⩽t⩽1$, так как $L_{t}eq{L}_{t+\frac{1}{k-1}}$. Величина этого угла определена, однако, лишь с точностью до слагаемого вида $2n\pi$, где $n$ — целое число. Чтобы устранить эту неопределенность, потребуем, чтобы эта величина непрерывно зависела от $t$ и чтобы при $t=0$ она лежала между 0 и $\frac{\pi }{2}$. Так, определенную величину угла обозначим через $\phi (t)$. Требуется доказать, что
$$0<\phi (1)-\phi (0)<\pi \text{. }$$

С этой целью будем рассматривать угол между вектором $L_{t}L$ $t^{\prime }+\frac{1}{k-1}$ осью абсцисс как функцию двух переменных $t$ и $t^{\prime }$, которые мы подчиним условиям $0⩽t⩽t^{\prime }⩽1$. Так как дуга $P{P}^{(k-1)}$ не имеет кратных точек, то $L_{t}eq{L}_{t^{\prime }+\frac{1}{k-1}}$, и потому угол этот всегда имеет смысл. Налагая на величину этого угла условие непрерывности и подчиняя ее требованию лежать между 0 и $\frac{\pi }{2}$ при $t=t^{\prime }=0$, получаем непрерывную функцию $\phi (t,t^{\prime })$ двух аргументов, причем, очевидно,
$$\phi (t,t^{\prime })=\phi (t)\text{. }$$

Так как точка $L_0=P$ лежит на прямой $y=a^2$, а точка $L$
$$t^{\prime }+\frac{1}{k-1}$$

всегда расположена выше этой прямой, то $2n\pi <\phi (0,t^{\prime })<(2n+1)\pi$. В силу непрерывности функции $\phi (0,t^{\prime })$ следует, что
$$0<\phi (0,t)<\pi (0⩽t⩽1).$$

Так как точка $L_{1+\frac{1}{k-1}}=Q$ лежит выше прямой $y=b^2$, а точка $L_t$ всегда расположена не выше этой прямой, то $2n\pi <\phi (t,1)<(2n+1)\pi$. В силу непрерывности функции $\phi (t,1)$ и неравенств (3) следует, что
$$0<\phi (t,1)<\pi (0⩽t⩽1).$$

Принимая во внимание, что согласно доказанному в тексте
$$(2n+\frac{1}{2})\pi <\phi (1,1)<(2n+1)\pi ,$$

заключаем из неравенства (4), что
$$\frac{\pi }{2}<\phi (1,1)<\pi ,$$

откуда согласно равенству (2) вытекают доказываемые неравенства (1). — Прим. перев.
11) В действительности малость $\epsilon$ не играет здесь никакой роли, так как при этом дополнительном движении вектора он, очевидно, не может выйти из второго квадранта, как бы велико ни было $\epsilon$. Малость $\epsilon$ существенна лишь для того, чтобы вектор $P^{(k-1)}Q$ лежал во втором квадранте (см. примечание 10).
12) То есть это изменение лежит между 0 и $2\pi$.
13) При этом мы пользуемся тем, что при $\epsilon \to 0$ направление вектора $L{L}^{\prime }$ стемится к некоторому предельному направлению, так как преобразование $T$ также не имеет инвариантных точек.
14) Преобразование $T$ называется инволюторным, если оно совпадает со своим обратным преобразованием, т. е. если $T^2$ есть тождественное преобразование.
15) Этот угол, а также аналогичные углы ${\phi }^{\ast }$ и ${\phi }_1^{\ast }$ считаются всегда положительными. Однако при определении преобразования $T$ (см. ниже) считается, что геодезическая линия $f$ пересекает геодезическую линию $g$ в одном направлении, например, справа налево, тогда как при определении преобразования $T^{\ast }$ рассматривается случай пересечения в обратном направлении — слева направо.
16) Под «прямыми преобразованиями» Биркгоф понимает преобразования, сохраняющие ориентацию.
17) При этом подразумевается, что спираль идет вдоль $g$ в положительном направлении.
18) Имеется в виду алгебраическая длина этой дуги. Подразумевается, что спираль идет вдоль $g$ в отрицательном направлении.
19) В действительности из приведенного в тексте рассуждения следует лишь, что произведение $T{T}^{\ast }$ передвигает в противоположных направлениях точки границ кольца $R$.
20) $T=T^{\ast }$, благодаря симметрии поверхности. — Прим. перев.