Для того, чтобы прийти к неравенству Сундмана, будем искать верхнюю границу выражения $(d R / d t)^{2}$, где $x, y, z, \xi, \eta, \zeta$ мы будем рассматривать как данные количества, в то время как $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, \xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}$ будем изменять по произволу, но так, чтобы они давали определенное заданное значение постоянной энергии $K$ и постоянным интегралов площадей $a, b, c$. Это – чисто алгебраическая задача.
Имеем
\[
R R^{\prime}=m r r^{\prime}+\mu \rho \rho^{\prime},
\]

откуда
\[
R^{2} R^{\prime 2}=\left(m r^{2}+\mu \rho^{2}\right)\left(m r^{\prime 2}+\mu \rho^{\prime 2}\right)-m \mu\left(r \rho^{\prime}-\rho r^{\prime}\right)^{2},
\]

что можно написать иначе в виде
\[
R^{\prime 2}=m r^{2}+\mu \rho^{\prime 2}-\frac{m \mu}{R^{2}}\left(r \rho^{\prime}-\rho r^{\prime}\right)^{2} .
\]

Кроме того, имеем очевидные тождества:
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=r^{\prime 2}+\frac{1}{r^{2}}\left[\left(y z^{\prime}-z y^{\prime}\right)^{2}+\left(z x^{\prime}-x z^{\prime}\right)^{2}+\left(x y^{\prime}-y x^{\prime}\right)^{2}\right], \\
\left.\xi^{\prime 2}\left|\eta^{\prime 2}\right| \zeta^{\prime 2}=\rho^{\prime 2} \text { । } \frac{1}{\rho^{2}}\left[\begin{array}{lll}
\left(\eta \zeta^{\prime}\right. & \zeta \eta^{\prime}
\end{array}\right)^{2}\left|\left(\begin{array}{lll}
\zeta \xi^{\prime} & \xi \zeta^{\prime}
\end{array}\right)^{2}\right|\left(\begin{array}{ll}
\xi \eta^{\prime} & \eta \xi^{\prime}
\end{array}\right)^{2}\right] . \\
\end{array}
\]

Умножая два последних уравнения на $m$ и $\mu$ соответственно и вычитая их почленно из предшествующего уравнения, получим в результате уравнение
\[
R^{\prime 2}+P=2(U-K),
\]

где $P$ (минимум которого мы должны теперь искать) представляет собою сумму семи квадратов:
\[
\begin{aligned}
P & =\frac{m}{r^{2}}\left[\left(y z^{\prime}-z y^{\prime}\right)^{2}+\left(z x^{\prime}-x z^{\prime}\right)^{2}+\left(x y^{\prime}-y x^{\prime}\right)^{2}\right]+\frac{\mu}{\rho^{2}}\left[\left(\eta \zeta^{\prime}-\zeta \eta^{\prime}\right)^{2}+\right. \\
& \left.+\left(\zeta \xi^{\prime}-\xi \zeta^{\prime}\right)^{2}+\left(\xi \eta^{\prime}-\eta \xi^{\prime}\right)^{2}\right]+\frac{m \mu}{R^{2}}\left(r \rho^{\prime}-\rho r^{\prime}\right)^{2} .
\end{aligned}
\]

Здесь мы воспользовались интегралом энергии (12).
Из этого соотношения, принадлежащего Сундману, мы можем вывести неравенство, играющее основную роль в его работе, а также в настоящей главе.
Если мы напишем
\[
W=y z^{\prime}-z y^{\prime}, \quad V=\eta \zeta^{\prime}-\zeta \eta^{\prime},
\]

то из формулы (17) видно, что $P$ содержит два члена вида
\[
S=\frac{m}{r^{2}} W^{2}+\frac{\mu}{\rho^{2}} V^{2},
\]

тогда как первый интеграл площадей дает
\[
m W+\mu V=a .
\]

Легко показать, что наименьшее значение выражения $S$, если $W$ и $V$ изменяются так, что предыдущее равенство остается справедливым, а $r$ и $\rho$ остаются постоянными, будет $a^{2} / R^{2}$. Подобным же образом $P$ будет содержать еще две аналогичные пары членов с минимальными

значениями сумм, равными $b^{2} / R^{2}$ и $c^{2} / R^{2}$ соответственно. Отсюда мы заключаем, что справедливо неравенство
\[
P \geqslant \frac{f^{2}}{R^{2}},
\]

где
\[
f^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2} .
\]

Исключим теперь $U$ из равенства (16) Сундмана и равенства (15) Лагранжа. Мы получим в результате исключения формулу:
\[
2 R R^{\prime \prime}+R^{\prime 2}+2 K=P,
\]

откуда, применяя неравенство (18), получим требуемое неравенство
\[
2 R R^{\prime \prime}+R^{\prime 2}+2 K \geqslant \frac{f^{2}}{R^{2}} .
\]

Если мы определим вспомогательную функцию Сундмана формулой
\[
H=R R^{\prime 2}+2 K R+\frac{f^{2}}{R},
\]

то неравенство (20) дает нам возможность написать соотношение
\[
H^{\prime}=F R^{\prime} \quad(F \geqslant 0) .
\]

Здесь $H$ возрастает (или, по крайней мере, не убывает) при возрастании $R$ и убывает (или, по крайней мере, не возрастает), когда $R$ убывает. Этот результат имеет основное значение для последующего.