Мы можем доказать теперь, что существует только одно решение уравнений (1), обращающееся в $x^{0}$ при $t=t_{0}$ при условии, что функции $X_{i}$ имеют непрерывные первые частные производные. Это последнее требование может быть заменено гораздо более общим условием Липшица.
Теорема единственности. Если для всех $i$ и для всех пар точек $x, y$ в $R$ функции $X_{i}$ удовлетворяют условию Липшица
\[
\left|X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)-X_{i}\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right| \leqslant \sum_{j=1}^{n} L_{j}\left|x_{j}-y_{j}\right|,
\]
где величины $L_{1}, \ldots, L_{n}$ суть постоянные положительные количества, то существует только одно решение $x(t)$ уравнений (1), такое, что $x\left(t_{0}\right)=x^{0}$.
Действительно, если бы два различных решения $x(t)$ и $y(t)$ принимали одни и те же значения $x^{0}$ при $t=t_{0}$, то из соответствующих интегральных форм дифференциальных уравнений мы сейчас же получили бы
\[
x_{i}-y_{i}-\int_{t_{0}}^{t}\left[X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)-X_{i}\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right] d t=0
\]
для всех $i$, откуда по условию Липшица
\[
\left|x_{i}-y_{i}\right| \leqslant \int_{t_{0}}^{t} \sum_{j=1}^{n} L_{j}\left|x_{j}-y_{j}\right||d t|
\]
для всех $i$.
Обозначим через $L$ наибольшее из чисел $L_{1}, \ldots, L_{n}$. И пусть $Q$ будет максимум выражения $\left|x_{i}-y_{i}\right|$ для всех $i$ и для $t$ в некотором произвольном замкнутом интервале, содержащемся внутри интервала
\[
\left|t-t_{0}\right| \leqslant \frac{1}{2 n L},
\]
$\left|x_{i}-y_{i}\right|$ достигает этого максимума $Q$ при некотором $i$ и при некотором значении $t$, скажем при $t^{*}$. Если мы подставим $t^{*}$ вместо $t$ в написанное выше неравенство для $\left|x_{i}-y_{i}\right|$ и применим теорему о среднем значении к правой части его, то получим
\[
Q \leqslant n L Q\left|t^{*}-t_{0}\right| \leqslant \frac{Q}{2},
\]
откуда следует, что $Q$ может быть равно только нулю. Следовательно, два решения $x(t)$ и $y(t)$, совпадающие при $t=t_{0}$, будут совпадать в любом интервале, содержащемся в интервале $\left(t_{0}-\frac{1}{2 n L}, t_{0}+\frac{1}{2 n L}\right)$. Теорема единственности получается повторным применением этого результата.
Физический смысл теорем существования и единственности заключается, очевидно, в том, что движение динамической системы вполне определяется дифференциальными уравнениями и начальными значениями переменных, определяющих состояние системы, – обстоятельство интуитивно очевидное.
Таким образом, для исследования какой-нибудь динамической проблемы требуется составление соответствующих дифференциальных уравнений при помощи принципов физики и затем математическое изучение свойств движений системы на основе этих уравнений.
