Проблема геодезических линий является, разумеется, гамильтоновой, причем главную функцию $H$ представляет квадрат скорости. В четырехмерном многообразии состояний движения четырехкратный интеграл
\[
\iiint \int d p_{1} d q_{1} d p_{2} d q_{2}
\]

есть инвариантный интеграл. В инвариантном подмногообразии $H=$ const должен поэтому существовать инвариантный объемный интеграл, а именно:
\[
\iiint d q_{1} d p_{2} d q_{2}
\]

при условии, что $H=h, q_{1}, p_{2}, q_{2}$ приняты за координаты (см. §3). Ограничение $H=$ const фиксирует постоянную скорость. Рассмотренное выше кольцо состояний движения, пересекающих $g$ в положительном направлении, очевидно, представлено в нашем трехмерном многообразии тоже кольцом $\bar{R}$, ограниченным двумя замкнутыми кривыми, изображающими линию $g$, проходимую в обоих возможных направлениях. Образ $T T^{*}(P)$ какой-нибудь точки $P$, очевидно, получается, если мы будем следовать за линией потока, проходящей через $T T^{*}$, пока она не пересечет опять колцо $\bar{R}$. Дальнейшее рассмотрение показывает, что полученное таким образом кольцо $\bar{R}$ представляет собой аналитическую поверхность.

Если мы теперь рассмотрим трубку, состоящую из линий потока и имеющую оба свои основания с площадями $\Delta \sigma_{1}, \Delta \sigma_{2}$, на $\bar{R}$, причем $q_{1}$ есть независимая переменная, а $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ суть углы, образуемые линиями потока с обоими основаниями, то потеря «объема» в промежуток времени $\Delta q_{1}$ будет на одном конце приближенно равна
\[
\left(\sin \alpha_{1} \Delta \sigma_{1}\right) \Delta q_{1},
\]

в то время как приращение объема на другом конце будет приближенно
\[
\left(\sin \alpha_{2} \Delta \sigma_{2}\right) \Delta q_{1} .
\]

Таким образом, $\int \sin \alpha d \sigma$ является положительным инвариантным плоскостным интегралом, необходимым для применения геометрической теоремы Пуанкаре. Следовательно, существуют две точки кольца $R$, инвариантные относительно преобразования $T T^{*}$, откуда мы можем немедленно сделать следующий вывод.

Пусть мы имеем выпуклую аналитическую поверхость, на которой какая-нибудь замкнутая геодезическая линия минимаксного типа (существование таких линий нами было доказано ранее) не имеет двойных точек; предположим еще, что ни для одной из точек этой геодезической линии ее вторая сопряженная точка не совпадает с ней после одного полного оборота. Тогда будет существовать вторая замкнутая геодезическал линия, пересекающая первую ровно два раза.

Каждой такой замкнутой геодезической линии, разумеется, соответствуют две инвариантные точки кольца $R$, отвечающие двум направлениям обхода.

Iри тех же самых условиях должны существовать, по крайней ме$p e$, две геодезические линии, встречающие данную геодезическую линию типа минимакса только в двух точках.

Для доказательства этого утверждения мы будем рассуждать следующим образом. Для точек кольца $R$ мы по определению имеем:
\[
T(\vartheta, \varphi)=\left(\vartheta_{1}^{*}, \varphi_{1}^{*}\right) .
\]

С другой стороны, та же самая геодезическая линия может быть взята с обратным направлением, так что
\[
T\left(\vartheta_{1}^{*}, \pi-\varphi_{1}^{*}\right)=(\vartheta, \pi-\varphi) .
\]

Если мы теперь определим «отражение» $U$ посредством формулы
\[
U=(\vartheta, \varphi)=(\vartheta, \pi-\varphi),
\]

то получим:
\[
T U(\vartheta, \varphi)=\left(\vartheta_{1}^{*}, \pi-\varphi_{1}^{*}\right),
\]

откуда
\[
T U T U=I,
\]

где $I$ обозначает тождественное преобразование. Следовательно, преобразование $T U=V$ имеет порядок 2 , как и $U$, и мы находим, что $T=V U$, т.е. это есть композиция двух инволюторных преобразований. Подобным же образом мы находим $T^{*}=V^{*} U$, где $V^{*}$ – тоже инволюторное преобразование. Отсюда мы заключаем, что преобразование $T T^{*}$ имеет вид $V U V^{*} U$. Предположим теперь, что у нас имеется инвариантная точка $P$ относительно преобразования $T T^{*}$, так что
\[
V U V^{*} U(P)=P .
\]

Применяя обратное преобразование $\left(T T^{*}\right)^{-1}$, мы находим тогда
\[
U V^{*} U V(P)=P,
\]

откуда
\[
V T T^{*}(P)=V(P) .
\]

Следовательно, если $P$ есть инвариантная точка относительно преобразования $T T^{*}$, то таковой же является $V(P)$.

Но точка $V(P)$ должна быть геометрически отлична от $P$, иначе мы имели бы
\[
T U(P)=P
\]

или, выражая это соотношение через координаты $(\vartheta, \varphi)$ точки $P$,
\[
\vartheta_{1}^{*}=\vartheta, \quad \pi-\varphi_{1}^{*}=\varphi .
\]

Но это означало бы, что ближайшее пересечение, взятое нами геодезической линии $g$, изображаемой точкой $P$ на кольце, с минимаксной геодезической линией пересекало бы эту последнюю в той же точке и в противоположном направлении, что, очевидно, невозможно.

Индексы инвариантной точки $P$ и соответственной второй инвариантной точки $V(P)$ относительно преобразования $T T^{*}$ равны. Действительно, произведем замену переменных, соответствующую символическому уравнению
\[
Q=V(P),
\]

при которой любая точка $P$ переводится в $V(P)$. Преобразование $T T^{*}$ тогда перейдет в
\[
V T T^{*} V=\left(T T^{*}\right)^{-1},
\]

в чем легко убедиться сразу, подставляя вместо $T T^{*}$ выше выведенное для него выражение $V U V^{*} U$. Следовательно, преобразование $T T^{*}$ в окрестности какой-нибудь инвариантной точки $P$ эквивалентно обратному преобразованию в окрестности соответствующей инвариантной точки $V(P)$. Но индекс инвариантной точки не изменяется при замене переменных и одинаков для прямого и обратного преобразований. Следовательно, индексы двух соответственных точек $P$ и $V(P)$ обязательно должны быть равны между собой.

Геометрически очевидно, что соответствующие точки $P$ и $V(P)$ отвечают двум возможным направлениям обхода соответствующей им геодезической линии.

Так как обобщенная теорема Пуанкаре дает нам возможность утверждать существование, по крайней мере, двух инвариантных точек с индексами разных знаков, то мы можем из этого заключить, что

существуют две геометрически различные замкнутые геодезические линии, каждая из которых пересекает данную замкнутую геодезическую линию только дважды.
Таким образом, выделенное выше курсивом утверждение доказано. Применяя то же рассуждение к высшим степеням преобразования $T T^{*}$, мы можем доказать существование других типов геодезических линий. Кроме того, тут применимы методы § 1 этой главы, с помощью которых мы можем доказать, что в непосредственной близости к любой замкнутой геодезической линии устойчивого типа будет, вообще говоря, находиться бесчисленное множество замкнутых геодезических линий.

В заключение я сделаю еще два замечания относительно проблемы геодезических линий. Во-первых, заключение о том, что существуют по крайней мере две геодезические линии, пересекающие данную геодезическую линию типа минимакса ровно в двух точках каждая, справедливо, несомненно, для поверхностей значительно более общего вида, чем рассмотренные.

Во-вторых, если выпуклая поверхность симметрична в пространстве относительно плоскости, содержащей геодезическую линию $g$, то будут существовать различные замкнутые геодезические линии, пересекающие $g$ дважды под прямыми углами. Эти симметричные геодезические линии могут быть исследованы методами, аналогичными тем, которые я применил при изучении известных симметричных периодических орбит в ограниченной проблеме трех тел (цитировано выше). Действительно, если $g$ минимаксного типа, то преобразования $T$ и $T^{*}$ оказываются тождественными $\left({ }^{20}\right)$, и $T T^{*}$ оказывался квадратом произведения двух инволюторных преобразований так же, как основное преобразование в ограниченной проблеме трех тел.