В предыдущем параграфе мы рассматривали интегралы, линейные относительно скоростей и годные для всех значений постоянной энергии. Более трудную проблему представляет собою нахождение условного интеграла, годного для какого-нибудь определенного значения постоянной $c$ энергии, например, для $c=0$. В настоящем параграфе мы рассмотрим этот вопрос для случая системы с двумя степенями свободы. В этом случае, как было показано раньше, мы можем, совершив преобразование переменных, получить уравнения движения и интеграл энергии в нормальной форме:
\[
x^{\prime \prime}+\lambda y^{\prime}=\gamma_{x}, \quad y^{\prime \prime}-\lambda x^{\prime}=\gamma_{y} ; \quad \frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\gamma,
\]

где $\gamma_{x}$, например, означает $\partial \gamma / \partial x$.
Кроме того, так как всякое преобразование переменных сохраняет линейный характер (относительно $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ ) линейного интеграла, то мы можем написать искомый интеграл в виде
\[
V \equiv l x^{\prime}+m y^{\prime}+n=k,
\]

где подразумевается, что это соотношение должно иметь место в том случае, когда постоянная энергии обращается в нуль.

Если мы продифференцируем этот линейный интеграл по времени $t$, то получившееся уравнение должно обращаться в тождество, если принять во внимание написанные выше дифференциальные уравнения движения и интеграл энергии.

С помощью дифференциальных уравнений мы можем исключить $x^{\prime \prime}$ и $y^{\prime \prime}$. После того, как это будет сделано, мы получим уравнение, квадратичное относительно $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$, которое должно обращаться в тождество в силу одного только интеграла энергии. В этом уравнении члены второй степени относительно $x^{\prime}, y^{\prime}$ будут
\[
l_{x} x^{2}+\left(l_{y}+m_{x}\right) x^{\prime} y^{\prime}+m_{y} y^{\prime 2} .
\]

Для того, чтобы эта сумма комбинировалась с членами низших степеней в выражение, обращающееся в нуль, если принять во внимание интеграл энергии, она должна быть нижеследующего вида:
\[
\rho\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right) \text {, }
\]

откуда
\[
l_{x}=m_{y}, \quad l_{y}=-m_{x},
\]
T. e.
\[
l=u_{y}, \quad m=u_{x},
\]

где $u$ – гармоническая функция.
Мы можем теперь написать интеграл в виде
\[
u_{y} x^{\prime}+u_{x} y^{\prime}+n=k \text {. }
\]

Из сказанного в $\S 3$ следует, что дальнейшее произвольное конформное преобразование плоскости $x, y$ вместе с соответственным преобразованием аргумента $t$ сохранит нормальную форму дифференциальных уравнений и интеграла энергии. Для того чтобы упростить еще больше линейный интеграл, произведем преобразование координат $x, y$ в новые $\bar{x}, \bar{y}$, определенные формулой
\[
\bar{x}+i \bar{y}=\int \frac{d x+i d y}{u_{y}+i u_{x}} \quad(i=\sqrt{-1}) .
\]

Это, очевидно, представляет собою конформное преобразование. Обратное преобразование
\[
x+i y=f(\bar{x}+i \bar{y})
\]

будет тоже конформным, и мы имеем:
\[
\left\lvert\, f^{\prime}\left(\bar{x}+\left.i \bar{y}\right|^{2}=\left|\frac{d x+i d y}{d \bar{x}+i d \bar{y}}\right|^{2}=u_{y}^{2}+u_{x}^{2} .\right.\right.
\]

Теперь определим преобразование $t$ формулой
\[
d t=\left(u_{y}^{2}+u_{x}^{2}\right) d \bar{t}
\]

Тогда мы, очевидно, получаем:
\[
\bar{x}^{\prime}+i \bar{y}^{\prime}=\left(u_{y}-i u_{x}\right)\left(x^{\prime}+i y^{\prime}\right)
\]

где $\bar{x}^{\prime}=\frac{d \bar{x}}{d \bar{t}}, \bar{y}^{\prime}=\frac{d \bar{y}}{d \bar{t}}$. В частности, имеем, таким образом,
\[
\bar{x}^{\prime}=u_{y} x^{\prime}+u_{x} y^{\prime} .
\]

Следовательно, после того, как мы произвели такое преобразование $\left({ }^{4}\right)$, наш линейный интеграл примет форму (мы теперь опускаем черточки над $x, y, t)$ :
\[
x^{\prime}+n=k .
\]

Продифференцируем теперь этот интеграл по $t$ и исключим $x^{\prime \prime}$ при помощи первого уравнения Лагранжа. Мы получим тогда
\[
n_{x} x^{\prime}+\left(n_{y}-\lambda\right) y^{\prime}+\gamma_{x}=0 .
\]

Это выражение должно тождественно обращаться в нуль в силу соотношения $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=2 \gamma$. Следовательно, это выражение обращается в нуль тождественно относительно $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$, что имеет место только в том случае, если $\lambda$ и $\gamma$ будут функциями одного $y$. В этом случае подходящим выбором $n$, а, именно, при $n=\int \lambda d y$, мы действительно можем добиться того, чтобы вышеприведенное выражение обращалось в нуль.

Если такая динамическая система с двумя степенями свободы и постоянной энергии, равной нулю, имеет условный интеграл, линейный относительно скоростей, то посредством подходящего преобразования координат и времени уравнения могут быть приведены к нормальному виду, с главной функцией $L$, равной
\[
L=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)+n(y) x^{\prime}+\gamma(y),
\]

и система содержит несущественную координату х. В этом интегрируемом случае кривые движения даются уравнениями:
\[
\begin{array}{l}
x=\int \frac{\left(c_{1}-n\right) d y}{\sqrt{2 \gamma-\left(c_{1}-n\right)^{2}}}+c_{2}, \\
t=\int \frac{d y}{\sqrt{2 \gamma-\left(c_{1}-n\right)^{2}}}+c_{3} .
\end{array}
\]