Предположим, что рассматриваемые три тела, которые мы будем считать материальными точками, находятся в точках $P_{0}, P_{1}, P_{2}$ и имеют массы $m_{0}, m_{1}, m_{2}$ соответственно. Обозначим расстояние $P_{0} P_{1}$ через $r_{2}$, расстояние $P_{0} P_{2}$ через $r_{1}$ и расстояние $P_{1} P_{2}$ через $r_{0}$. Если мы теперь положим
\[
U=\frac{m_{0} m_{1}}{r_{2}}+\frac{m_{0} m_{2}}{r_{1}}+\frac{m_{1} m_{2}}{r_{0}}
\]
и если $x_{i}, y_{i}, z_{i}(i=0,1,2)$ будут декартовы координаты соответствующего тела $P_{i}$, а $x_{i}^{\prime}, y_{i}^{\prime}, z_{i}^{\prime}$ будут составляющими скорости этого тела, то уравнения движения могут быть записаны в виде девяти уравнений второго порядка:
\[
m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial x_{i}}, m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial y_{i}}, m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial z_{i}} \quad(i=0,1,2),
\]
которые, очевидно, представимы как уравнения Лагранжа; они могут быть также записаны как восемнадцать уравнений первого порядка:
которые, разумеется, могут быть легко превращены в уравнения типа Гамильтона. Мы не будем здесь делать этого преобразования, которое может быть произведено обычным способом, а также не станем
высказывать обычные вариационные принципы, которые могут быть применены к данному случаю (см. главу II).
Интеграл, выражающий принцип сохранения энергии, будет, как легко видеть, иметь вид
\[
\frac{1}{2} \sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}^{\prime 2}\right)=U-K,
\]
где $K$ – постоянная интегрирования.
Кроме этого интеграла имеется, разумеется, еще шесть линейных интегралов количества движения, которые означают, что центр тяжести движется по прямой линии с постоянной скоростью; если мы выберем систему координат таким образом, чтобы центр тяжести был неподвижен и находился в начале координат, то эти шесть интегралов примут вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
\sum m_{i} x_{i} & =\sum m_{i} y_{i}=\sum m_{i} z_{i}=0, \\
\sum m_{i} x_{i}^{\prime} & =\sum m_{i} y_{i}^{\prime}=\sum m_{i} z_{i}^{\prime}=0 .
\end{array}\right\}
\]
Имеются также три интеграла площадей. Если мы возьмем их относительно осей координат, то эти три интеграла примут вид
\[
\left.\begin{array}{l}
\sum m_{i}\left(y_{i} z_{i}^{\prime}-z_{i} y_{i}^{\prime}\right)=a, \\
\sum m_{i}\left(z_{i} x_{i}^{\prime}-x_{i} z_{i}^{\prime}\right)=b, \\
\sum m_{i}\left(x_{i} y_{i}^{\prime}-y_{i} x_{i}^{\prime}\right)=c,
\end{array}\right\}
\]
где $a, b, c$ суть постоянные интегрирования.
Эти десять интегралов представляют собой все известные существенно независимые интегралы нашей системы.
