1) Числа ${\mu }_k$ определены этими равенствами с точностью до целых кратных $\frac{2\pi \sqrt{-1}}{\tau }$, что в дальнейшем не следует упускать из виду. Относительно этих чисел имеет место следующая известная теорема, полезная в дальнейшем.

Если уравнения вариации имеют решение, удовлетворяющее условию
$$y_i(t+\tau )=e^{\mu \tau }{y}_i(t)(i=1,\dots ,n),$$

где $\mu$ — постоянная и не все $y_i$ тождественно равны нулю, то $\mu$ фигурирует среди чисел ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_n$ (с точностью до слагаемого вида $\frac{2\pi l\sqrt{-1}}{\tau }$, где $l$ — целое число).
Доказательство.
Решение $y_1,\dots ,y_n$ является линейной комбинацией фундаментальной системы решений
$$y_i(t)=\sum _{k=1}^n{a}_k{y}_{ik}(t),$$

где $a_k$ суть постоянные, не равные нулю одновременно. Это дает
$$\sum _{k,l=1}^n{a}_k{c}_{lk}{y}_{il}(t)=e^{\mu \tau }\sum _{l=1}^n{a}_l{y}_{il}(t)(i=1,\dots ,n),$$

откуда
$$\sum _{k=1}^n{a}_k{c}_{lk}=e^{\mu \tau }{a}_l$$

и поэтому
$$|c_{ij}-e^{\mu \tau }{\delta }_{ij}|=0.$$

Следовательно, $e^{\mu \tau }$ совпадает с одним из чисел $m_k$, а $\mu -$ с одним из чисел $\lg \frac{m_k}{\tau }$, что и требовалось доказать.
2) Из дифференциальных уравнений для $y_i$ следует, что
$$\frac{d}{dt}\left|y_{ij}\right|={\sum _{k=1}^n\frac{\partial X_k}{\partial x_k}|}_{x=0}\left|y_{ij}\right|$$

откуда
$$\left|y_{ij}\left(t_2\right)\right|={\left|y_{ij}\left(t_1\right)\right|e^{{\int }_2^{t_1}\sum \frac{\partial X_k}{\partial x_k}}|}_{x=0}dt.$$

Из последнего равенства следует, что определитель $|y_{ij}(t)|$ нигде не обращается в нуль, если $y_{ij}$ образуют систему линейно независимых решений.

3) Слово «функций» редакция ставит в кавычки, так как в действительности речь идет совсем не о функциях в общепринятом в современной математике смысле этого слова, а о формальных рядах, которые могут и расходиться, не определяя никаких функций.
4) Следует, однако, иметь в виду, что «доказательство» этих свойств, данное Пуанкаре (см. стр. 193-194 цитированной книги), состоит из путаницы, как замечено Винтнером («Amer. J. Math.», 53, 1931, $605)$.
5) Ограничение, наложенное здесь Биркгофом, — отсутствие кратных множителей, выраженное словами «вообще говоря» («in general»), является лишним. Очень простое доказательство теоремы о группировке гамильтоновых множителей в пары вида $(\lambda ,-\lambda )$, свободное от этого ограничения, дано, например, в известном мемуаре А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения» (1-е русск. изд., Харьков, 1892; франц. перевод, «Annales de Toulouse», sér. 2, t. 9, 1907; 2-е русск. изд., Ленинград, 1935).
6) Так как вывод этого утверждения основан не на логических заключениях, а на неясных соображениях, связанных с термином «вообще говоря» («in general»), не имеющим единого точного смысла, то не приходится удивляться тому, что утверждение оказывается ошибочным.

Пусть, например, $m=2,H=p_1^2-q_2^2+(p_1-p_2)(q_1+q_2)$. Характеристическое уравнение имеет вид
$$\left|\begin{array}{cccc}-1-\lambda & 1& 0& 0\\ -1& 1-\lambda & 0& 2\\ 2& 0& 1-\lambda & 1\\ 0& 0& -1& -1-\lambda \end{array}\right|\equiv {\lambda }^4+4=0.$$

Множителями будут корни этого уравнения, т.е. комплексные числа $\pm 1\pm \sqrt{-1}$.
7) Выражения $M_{ii}-L_{ii}$ в этом случае вещественны. В самом деле, в силу того, что $p_i$ и $q_i$ в рассматриваемом случае вещественны при вещественных ${\overline{p}}_i$ и ${\overline{q}}_i$, коэффициенты $d_{ij},e_{ij},f_{ij},g_{ij}$ (см. начало $\mathrm{\S }7$ ) вещественны. Но
$$M_{ii}=\sum _{j=1}^m{d}_{ji}{g}_{ji},L_{ii}=\sum _{j=1}^m{e}_{ji}{f}_{ji}.$$
8) То есть с точностью до полной производной.
9) Выражения $M_{ii}-L_{ii}$ в этом случае чисто мнимые. В самом деле, $p_i$ и $q_i$ вещественны, если ${\overline{p}}_i^{\ast }=q_i(i=1,\dots ,m)$, где * означает сопряженное комплексное число. Отсюда $d_{ij}^{\ast }=e_{ij},f_{ij}^{\ast }=g_{ij}$. В силу равенств (1) примечания 7 это дает $L_{ii}^{\ast }=M_{ii}$. Следовательно, $M_{ii}-L_{ii}$ имеют вид ${\rho }_i\sqrt{-1}$, где ${\rho }_i$ вещественны и отличны от нуля. Если они не все положительны, то при $i$, соответствующих отрицательным ${\rho }_i$ мы меняем ролями $p_i$ и $q_i$, достигая этим положительности всех ${\rho }_i$.
10) При этом новая гамильтонова функция будет отличаться от старой множителем $\sqrt{-1}$.
11) Линейное преобразование, приводящее $H_2$ к такому виду, в общем случае, — когда присутствуют и вещественные и чисто мнимые и комплексные множители $\lambda$, — не обязательно будет иметь специальный вид, рассмотренный в §4. Точнее говоря, при этом преобразовании вещественным системам значений исходных переменных не обязательно будут соответствовать системы значений новых переменных, такие, что переменные, соответствующие комплексным сопряженным $\lambda$, будут иметь комплексные сопряженные значения.
12) Встречающиеся здесь выражения $e^{{\gamma }_{i}t}$ и $e^{-{\gamma }_{i}t}$, где ${\gamma }_i-$ формальные степенные ряды в ${\alpha }_1,\dots ,{\beta }_m$, нуждаются в расшифровке. Им можно придать следующий смысл. Обозначим через ${\gamma }_{ik}$ полином в ${\alpha }_1,\dots ,{\beta }_m$, получаемый из формального ряда ${\gamma }_i$, путем отбрасывания членов порядка выше $k$. Тогда $e^{{\gamma }_{ik}t}$ и $e^{-{\gamma }_{ik}t}$ представимы как сходящиеся степенные ряды в ${\alpha }_1,\dots ,{\beta }_m$, с коэффициентами, зависящими от $t$. Нетрудно видеть, что при $k\to \mathrm{\infty }$ коэффициент в $e^{{\gamma }_{ik}t}$ при любом фиксированном произведении степеней ${\alpha }_1,\dots ,{\beta }_m$ в конце концов перестает меняться в зависимости от $k$. В этом смысле зависящий от $k$ степенной ряд для $e^{{\gamma }_{ik}t}$ формально сходится при $k\to \mathrm{\infty }$ к некоторому формальному степенному ряду. Этот последний и обозначается через $e^{{\gamma }_{i}t}$. Аналогичным образом определяется $e^{-{\gamma }_{i}t}$.

Нетрудно видеть, что при такой расшифровке выражений $e^{{\gamma }_{i}t}$ и $e^{-{\gamma }_{i}t}$ равенства $p_i={\alpha }_i{e}^{-{\gamma }_{i}t},q_i={\beta }_i{e}^{{\gamma }_{i}t}$ действительно определяют общее формальное решение нормализованных уравнений Гамильтона в смысле $\mathrm{\S }3$ с точностью до условия вещественности, которое, разумеется, может не соблюдаться. Роль постоянных $c_1,\dots ,c_n$ играют при этом ${\alpha }_1,\dots ,{\beta }_m$. Коэффициенты формальных степенных рядов, фигурирующих в этом формальном решении, как нетрудно усмотреть, представляются как произведения показательных функций $e^{-{\lambda }_{i}t}$ или соответственно $e^{{\lambda }_{i}t}$ на целье рациональные функции $t$.

К сожалению, из текста главы IV выясняется, что Биркгоф придает выражениям $e^{{\gamma }_{i}t}$ и $e^{-{\gamma }_{i}t}$ какой-то иной, не ясный для редакции смысл,

отступая от своего собственного определении общего формального решения, данного в § 3 главы III.
13) Возможность группировки множителей в пары вида ( $\lambda ,-\lambda$ ) доказывается, далее, для более общего случая пфаффовых систем в примечании 24 к главе III. Что же касается вещественности или чистой мнимости множителей, то, как и для случая обыкновенного равновесия, утверждение Биркгофа ошибочно.
14) Как будет доказано в главе IV, обобщенная точка равновесия «общего типа» не может соответствовать периодическому движению гамильтоновой системы с главной функцией, не зависящей явно от $t$, если исключить случай покоя, при котором мы имеем обыкновенное равновесие.
15) Сравните аналогичное рассуждение в §5 этой главы.
16) Приведенное Биркгофом доказательство этого утверждения относится лишь к случаю отсутствия кратных «множителей». Утверждение справедливо, однако, во всех случаях, что может быть доказано следующим образом.
Обозначим через $A,B$ и $y$ соответственно матрицы
$${\Vert \frac{\partial X_i}{\partial x_j}-\frac{\partial X_j}{\partial x_i}\Vert }_{x=0}^{i,j=1,\dots ,2m},{\Vert \frac{{\partial }^{2}Z}{\partial x_i\partial x_j}\Vert }_{x=0}^{i,j=1,\dots ,2m},\Vert \begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_{2m}\end{array}\Vert .$$

Тогда уравнения вариации могут быть записаны под видом
$$A\frac{dy}{dt}=By\text{. }$$

Но так как согласно предположению существует матрица $A^{-1}$, обратная матрице $A$, то это матричное уравнение равносильно следующему:
$$\frac{dy}{dt}=A^{-1}By.$$

Отсюда следует, что «множители» являются корнями уравнения
$$\det (A^{-1}B-\lambda E)=0,$$

где через $E$ обозначена единичная матрица и $\det M$ означает определитель матрицы $M$. Принимая, далее, во внимание, что $\det Aeq0$, заключаем, что последнее уравнение равносильно следующему:
$$\det (B-\lambda A)=0.$$

Наше утверждение будет доказано, если нам удастся показать, что левая часть последнего уравнения есть четная функция $\lambda$.

Чтобы убедиться в последнем, заметим, что $A^T=-A,B^T=B$, где $M^T$ означает транспонированную (отраженную от главной диагонали) матрицу $M$. В силу этого имеем:
$$\det (B+\lambda A)=\det (B+\lambda A{)}^T=\det (B^T+\lambda A^T)=\det (B-\lambda A),$$

что и требуется доказать.
17) Как мы знаем (см. примечание 6 к этой главе), последнее утверждение ошибочно уже в частном случае гамильтоновой проблемы.
18) В этом случае выражения $c_j-d_j$ вещественны. В самом деле, старые переменные $x_1,\dots ,x_{2m}$ связаны с новыми $p_1,\dots ,p_m$, $q_1,\dots ,q_m$ вещественным линейным преобразованием:
$$x_i=\sum _{k=1}^m(e_{ik}{p}_k+f_{ik}{q}_k)(i=1,\dots ,2m),$$

и, как нетрудно видеть,
$$c_j=\sum _{i,k=1}^{2m}{a}_{ik}{e}_{kj}{f}_{ij},d_j=\sum _{i,k=1}^{2m}{a}_{ik}{e}_{ij}{f}_{kj},$$

где $a_{ik}$ — коэффициент при $x_k$ в $X_i$ — также вещественный (ср. примечание 7 к главе III).
19) Доказательство, как в примечании 9 к главе III.
20) При этом
$$\sum _{i=1}^m(c_i-d_i)p_{i}d{q}_i$$

перейдет в
$$\sqrt{-1}\sum _{i=1}^m{\overline{p}}_{i}d{\overline{q}}_i.$$

От множителя $\sqrt{-1}$ мы можем освободиться путем деления на него функции $Z$. При этом, разумеется, надо предполагать, что все пары $(p_i,q_i$ ) являются комплексными сопряженными.
21) Последний шаг — исключение коэффициентов $c_i-d_i$ при $p_{i}d{q}_i$ всегда может быть осуществлен хотя бы по формулам
$${\overline{p}}_i=p_i,{\overline{q}}_i=(c_i-d_i)q_i(i=1,\dots ,m).$$

Однако результирующее линейное преобразование при этом, вообще говоря, не будет специального типа, рассмотренного в § 4 .
22) Этот нормальный вид $P_i$ состоит здесь в том, что линейная часть $P_i$ сводится к $p_i$.
23) В действительности $p_i{q}_i^{\prime }$ переходит с точностью до полной производной не в ${\overline{p}}_i{\overline{q}}_i^{\prime }$, а в $-\sqrt{-1}{\overline{p}}_i{\overline{q}}_i^{\prime }$. Множители $-\sqrt{-1}$ не мешают в дальнейших выкладках, если все пары $(p_i,q_i$ ) являются комплексными сопряженными, так как тогда весь варьируемый интеграл можно умножить на $\sqrt{-1}$. Они, однако, являются нежелательными, если не все пары $(p_i,q_i$ ), а лишь некоторые из них являются комплексными сопряженными.

Аналогичные обстоятельства имеют место при преобразованиях, применяемых в §7 и 11. Именно из-за этих обстоятельств эти преобразования непригодны в общем случае для приведения рассмотренных там проблем к нормальной форме.
24) Здесь это легко вытекает из следующего рассуждения. В § 5 было доказано, что при отсутствии кратных «множителей» любая задача обобщенного равновесия приводится к такой, для которой уравнения вариации имеют постоянные коэффициенты, посредством линейного преобразования зависимых переменных с коэффициентами, периодически зависящими от $t$ с периодом $\tau$. При этом преобразовании сохраняется пфаффова форма дифференциальных уравнений согласно $\mathrm{\S }12$ главы II. (То обстоятельство, что преобразование содержит $t$, не отражается на этом факте.) Нетрудно также видеть, что сохраняются и «множители». Пусть в самом деле преобразование от старых переменных $x_1,\dots ,x_{2m}$ к новым ${\overline{x}}_1,\dots ,{\overline{x}}_{2m}$ выражается матричным равенством
$$x=A\overline{x},$$

где $A$ — невырождающаяся матрица с периодическими коэффициентами. Пусть матрица
$$\overline{Y}=\Vert \begin{array}{lll}{\overline{y}}_{11}& \cdots & {\overline{y}}_{1,2m}\\ ⋮& & ⋮\\ {\overline{y}}_{2m,1}& \cdots & {\overline{y}}_{2m,2m}\end{array}\Vert$$

дает фундаментальную систему решений уравнений вариации преобразованной системы таким образом, что каждый ее столбец соответствует отдельному решению. Полагая тогда
$$Y=A\overline{Y},$$

получим аналогичную матрицу $Y$, дающую фундаментальную систему решений первоначальных уравнений вариации.
В силу периодичности коэффициентов этих уравнений имеем:
$$Y(t+\tau )=Y(t)C,$$

где $C$ — матрица с постоянными коэффициентами.
Из равенств (1) и (2) заключаем, что
$$\overline{Y}(t+\tau )=\overline{Y}(t)C.$$

Отсюда следует, что «множители» обеих систем уравнений вариации — первоначальной и преобразованной — являются инвариантами одной и той же матрицы $C$. А так как новая система имеет постоянные коэффициенты и соответствует пфаффовой проблеме, то согласно $\mathrm{\S }10$ (см. примечание 16 к главе III) «множители» обеих систем могут быть разбиты на пары вида ( $\lambda ,-\lambda$ ).

Следует отметить, что предположение об отсутствии кратных «множителей» и здесь является излишним. В самом деле, в предыдущем рассуждении мы лишь в одном месте пользовались этим предположением — при ссылке на доказанную в §5 возможность приведения системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами к системе с постоянными коэффициентами посредством надлежащего линейного преобразования зависимых переменных с периодическими коэффициентами. Но эта возможность имеет место во всех случаях, как доказано, например, в цитированной монографии А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения» (см. в особенности $\S 47$ главы III этой монографии).

Таким образом, разбиение «множителей» на пары вида $(\lambda ,-\lambda )$ осуществимо для всех случаев пфаффовой задачи обобщенного равновесия.

Другое доказательство этого утверждения читатель найдет в цитированной статье Винтнера.