1) См. статью Биркгофа «0 динамической роли последней геометрической теоремы Пуанкаре», печатаемую в этой книге.
2) Это следует из того, что элемент площади в этих координатах выражается произведением $\frac{1}{2} d \rho d \vartheta$.
3) Здесь и в равенствах (9) подразумеваются степенные ряды относительно параметра $k$, причем выписаны лишь члены нулевого и первого порядка относительно $k$.
4) Характеристическое уравнение инвариантной точки имеет вид
\[
\left|\begin{array}{cc}
\frac{\partial \rho_{1}}{\partial \rho}-\lambda & \frac{\partial \rho_{1}}{\partial \vartheta} \\
\frac{\partial \vartheta_{1}}{\partial \rho} & \frac{\partial \vartheta_{1}}{\partial \vartheta}-\lambda
\end{array}\right| \equiv \lambda^{2}-\left(\frac{\partial \rho_{1}}{\partial \rho}+\frac{\partial \vartheta_{1}}{\partial \vartheta}\right)+1=0 .
\]

С другой стороны, согласно уравнениям (10), (13) и (14):
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \rho_{1}}{\partial \rho}=1 \pm 2 k c\left(1+\frac{\sigma}{c}\right)\left(-\frac{\sigma}{c}\right)^{3 / 2}+\ldots, \\
\frac{\partial \vartheta_{1}}{\partial \vartheta}=1+\ldots,
\end{array}
\]

где знак $(+)$ относится к инвариантной точке $\left(-\frac{\sigma}{c}, 0\right)$, знак (-) к инвариантной точке $\left(-\frac{\sigma}{c}, \pi\right)$, члены порядка выше первого относительно $k$ опущены. Отсюда и получаются характеристические уравнения инвариантных точек, приведенные в тексте.