Главная > ДИНАMИЧЕCKИE CИCTEMЫ (Д.Биркгоф)
<< Предыдущий параграф
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

1) См. также P. Курант и Д. Гильберт. Методы математической физики, I. Москва, 1933, стр. 174-175. Из рассуждения в тексте ясно, что понятие стационарности интеграла (1) не изменится, если в его определении заменить условия обращения в нуль разностей $x_{i}(t, \lambda)-x_{i}^{0}(t)$ вблизи концов промежутка $\left(t_{0}, t_{1}\right)$ условием их обращения в нуль на этих концах.
2) Квадратичная форма $F\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)$ в переменных $x_{1}, \ldots, x_{m}$ называется положительной определенной, если $F\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right)>0$ при всяких вещественних $x_{i}$, не равных сплошь нулю.
3) Из равенства $\frac{\partial L}{\partial q_{i}^{\prime}}=c$ величина $q_{1}^{\prime}$ может быть определена как функция $q_{2}, \ldots, q_{m}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}$. В самом деле, так как $L_{2}$ по предположению положительная определенная квадратичная форма в $q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}$, то коэффициент в этой форме при $q_{1}^{\prime 2}{ }^{2}$ отличен от нуля, ибо в противном случае мы имели бы $L_{2}=0$ при $q_{1}^{\prime}=1, q_{2}^{\prime}=\ldots=q_{m}^{\prime}=0$ вопреки определению, сформулированному в предыдущем примечании. Таким образом, $\frac{\partial^{2} L}{\partial q_{1}^{\prime 2}}
eq 0$. Но это означает, что в выражении $\frac{\partial L}{\partial q_{1}^{\prime}}$, линейном относительно $q_{1}^{\prime}$, коэффициент при $q_{1}^{\prime}$ отличен от нуля. Следовательно, равенство $\frac{\partial L}{\partial q_{1}^{\prime}}=c$ разрешимо относительно $q_{1}^{\prime}$.
4) Согласно $\S 3$ переход от $x, y, t$ к $\bar{x}, \bar{y}, \bar{t}$ сохраняет нормальную форму уравнений, так как
\[
\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right) d t=\left(\bar{x}^{\prime 2}+\bar{y}^{2}\right) d \bar{t} .
\]
5) Здесь $c$ – постоянная энергии. Выписанные $m$ интегралов не являются независимыми, ибо, как нетрудно видеть,
\[
\sum_{i=1}^{m} c_{i}=0 .
\]
6) $u_{y}+i u_{x}$ не равно тождественно нулю, так как $a-c$ и $b$ не могут одновременно обращаться в нуль тождественно. В противном случае интеграл $V$ был бы линейной комбинацией $W$ и линейного интеграла. Iрим. перев.
7) Здесь предполагается, что эти уравнения однозначно разрешимы относительно $r_{i}$. Это условие заведомо соблюдается, когда $L\left(q_{1}, \ldots, q_{m}, q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}\right)$ есть квадратичная функция $q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}$ и $L_{2}$ – положительная определенная форма в $q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}$.
8) Точнее говоря, если $q_{i}(t)$ образуют решение уравнений Лагранжа, то, полагая $r_{i}=q_{i}^{\prime}, p_{i}=\frac{\partial L}{\partial q_{i}^{\prime}}$, получим решение нашей новой вариационной задачи. В самом деле, уравнения, получаемые варьированием $p_{i}$, как показано в тексте, суть как раз $r_{i}=q_{i}^{\prime}$. Уравнения же, получаемые $\underset{\text { вид }}{\text { варированием }} q_{i}$ в силу соотношений $p_{i}=\frac{\partial L\left(q, q^{\prime}\right)}{\partial q_{i}^{\prime}}=\frac{\partial L(q, r)}{\partial r_{i}}$, имеют вид
\[
p_{i}^{\prime} \equiv \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}^{\prime}}\right)=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \equiv-\sum_{j=1}^{m} p_{j} \frac{\partial r_{j}}{\partial q_{i}}+\frac{\partial L}{\partial q_{i}}+\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial L(q, r)}{\partial r_{j}} \frac{\partial r_{j}}{\partial q_{i}} \equiv \frac{\partial L}{\partial q_{j}}
\]

и также выполняются в силу уравнений Лагранжа.
9) Здесь, разумеется, надо предположить, что эти уравнения однозначно разрешимы относительно $p$.
10) Преобразования (7) и (8), вообще говоря, сводятся друг к другу. Чтобы перейти от (7) к (8), надо лишь ввести новую функцию преобразования
\[
K^{*}=K+\sum_{j=1}^{m} \bar{p}_{j} \bar{q}_{j}
\]

и выразить ее через $q_{1}, \ldots, q_{m}, \bar{p}_{1}, \ldots, \bar{p}_{m}, t$. Обратный переход совершается по формуле
\[
K=K^{*}-\sum_{j=1}^{m} \bar{p}_{j} \bar{q}_{j}
\]

где $K$ должно быть выражено через $q_{1}, \ldots, q_{m}, \bar{q}_{1}, \ldots, \bar{q}_{m}, t$. Прим. перев.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru