Предположим, что для рассматриваемой гамильтоновой системы неинтегрируемого общего типа имеется по крайней мере одно периодическое движение устойчивого типа. Всякое такое движение изображается замкнутой кривой $C$ в многообразии $M$ состояний движения.
Выберем теперь произвольную замкнутую кривую $C_{1}$ движения устойчивого типа. Очень близко к ней можно найти замкнутую кривую $C_{2}$ движения устойчивого типа, один обход которой соответствует $k_{1}$ обходам кривой $C_{1}$. Далее выберем кривую $C_{3}$, очень близкую
к $C_{2}$ и обход которой соответствует $k_{2}$ обходам кривой $C_{2}$ и, следовательно, $k_{1}, k_{2}$ циклам кривой $C_{1}$. Таким образом, мы получим последовательность замкнутых кривых $C_{n}(n=1,2, \ldots)$, которая, очевидно, может быть выбрана таким образом, чтобы она имела пределом при безграничном увеличении $n$ некоторое определенное множество $C$; этого мы можем достигнуть подходящим выбором окрестностей $C_{n}$. Кроме того, тем же способом мы можем гарантировать, чтобы множество $C$ не содержало ни одной из кривых $C_{1}, C_{2}, \ldots$ Например, на $n$-м шаге мы можем выбрать окрестность кривой $C_{n}$ настолько малой, чтобы она не содержала никаких замкнутых кривых движения длины меньше $n$, кроме, может быть, самой кривой $C_{n}$; разумеется, таких кривых движения имеется лишь конечное число.
Интересно исследовать вопрос об аналитической форме множества $C$. Пусть $q_{1}$ будет угловая координата в $M$, которая увеличивается на $2 \pi$, когда мы описываем один цикл кривой $C_{1}$. Тогда $p_{1}, p_{2}, q_{2}$ мы можем считать надлежащими координатами этого движения (§1) и можем написать уравнения периодического движения $C_{1}$ в виде
\[
p_{1}=f_{1}\left(q_{1}\right), \quad p_{2}=g_{1}\left(q_{1}\right), \quad q_{2}=h_{1}\left(q_{1}\right), \quad t=\int l_{1}\left(q_{1}\right) d q_{1},
\]
где $f_{1}, g_{1}, h_{1}, l>0$ суть аналитические периодические функции от $q_{1}$ периода $2 \pi$. Для периодического движения $C_{2}$ имеем таким же образом уравнения:
\[
p_{1}=f_{2}\left(q_{1}\right), \quad p_{2}=g_{2}\left(q_{1}\right), \quad q_{2}=h_{2}\left(q_{1}\right), \quad t=\int l_{2}\left(q_{1}\right) d q_{1},
\]
где $f_{2}, g_{2}, h_{2}, l_{2}$ суть аналитические периодические функции от $q_{1}$ периода $2 k_{1} \pi$. Таким образом, мы образуем последовательности функций $f_{n}, g_{n}, h_{n}, l_{n}$ от $q_{1}$, периодических с периодом $2 k_{1} \ldots k_{n-1} \pi$, соответствующих периодическим движениям $C_{n}(n=1,2, \ldots)$. Если мы возьмем начальные точки на кривых $C_{n}$, соответствующие значениям параметра $q_{1}=0$, таким образом, чтобы они стремились к некоторому пределу, то очевидно, что функции $f_{n}, g_{n}, h_{n}, l_{n}$ будут стремиться соответственно к пределам $f, g, h, l$ и притом равномерно для всех значений $q_{1}$.
Если существует хоть одно периодическое движение устойчивого типа для данной неинтегрируемой гамильтоновой системы общего типа, то будет существовать бесконечное множество близких движе-
ний, предельно-периодических, но не периодических, имеющих координаты вида
\[
\begin{array}{l}
p_{1}=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}\left(q_{1}\right), \quad p_{2}=\lim _{n \rightarrow \infty} g_{n}\left(q_{1}\right), \\
q_{2}=\lim _{n \rightarrow \infty} h_{n}\left(q_{1}\right), \quad t=\int \lim _{n \rightarrow \infty} l_{n}\left(q_{1}\right) d q_{1},
\end{array}
\]
где $f_{n}, g_{n}, h_{n}, l_{n}$ суть аналитические периодические функции от $q_{1} c$ периодами, равными $2 \pi k_{1} \ldots k_{n-1}$, причем $k_{1}, k_{2}, \ldots$ суть целые положительные числа, которые мы можем считать большими единицы. Стремление этих функций к пределу является равномерным для всех значений $q_{1}$.
Очевидно, что имеется неисчислимое множество таких предельно-периодических движений и координаты их выражаются функциями типа, рассмотренного Бором. Ясно, что они составляют класс рекуррентных движений нового типа.
