Легко видеть, что каждая точка многообразия $M$ попадает в любую данную окрестность совокупности центральных движений по крайней мере однажды в течение любого промежутка времени постоянной, достаточно большой длины. В самом деле, любая точка попадает в окрестность $M_{2}$ равномерно часто, потому что всякое движение, принадлежащее $M_{1}$, приближается к $M_{2}$ равномерно часто, и, следовательно, то же справедливо относительно движений, близких к $M_{1}$. Продолжая таким же образом дальше, мы видим, что свойство равномерного приближения имеет место для совокупностей $M_{1}, M_{2}, \ldots$ Если эта последовательность продолжается до $M_{\omega}$, то то же справедливо и для $M_{\omega}$. В самом деле, так как $M_{\omega}$ есть предел последовательности убывающих замкнутых совокупностей, то в любой окрестности $M_{\omega}$ лежит какой-нибудь $M_{n}$, и, следовательно, любая окрестность $M_{\omega}$ будет в то же время окрестностью $M_{n}$. Но так как произвольная точка попадает в любую данную окрестность $M_{n}$ равномерно часто, то же самое будет справедливо и для $M_{\omega}$. Продолжая то же рассуждение для $M_{\omega+1}, \ldots, M_{\omega^{2}}, \ldots, M_{r}$, мы придем к доказываемому утверждению.

Но мы видели, что движения, принадлежащие $M$, приближаются к движениям, лежащим в $M_{1}$, определенным образом и что, с другой стороны, движения, принадлежащие $M_{1}$, приближаются подобным же образом к движениям, принадлежащим $M_{2}$. Соединяя вместе эти результаты, мы могли бы сделать некоторые выводы относительно характера приближения какой-нибудь точки многообразия $M$ к $M_{2}$. Эти выводы могли бы быть затем перенесены на $M_{3}, \ldots, M_{w}$. Но вместо, этого мы установим более простой результат, справедливый для всех совокупностей $M_{p}$.
Определим «вероятность» того, что дуга $P Q$ кривой движения ле-

жит в данной области $\Sigma$, как отношение интервала времени, когда она лежит в $\Sigma$, к общему времени между $P$ и $Q\left({ }^{16}\right)$.

Вероятность того, что какая-нибудь дуга кривой движения лежит в произвольной окрестности совокупности $M_{p}$ и в частности в окрестности совокупности центральных движении $M_{r}$, стремится к единице, когда промежуток времени, соответствующий дуге, безгранично возрастает $\left({ }^{17}\right)$.

Из того, что было доказано в начале относительно $M_{1}$, следует, что вероятность того, что какая-нибудь дуга кривой движения лежит в данной окрестности $M_{1}$, стремится равномерно к единице с безграничным возрастанием промежутка времени, соответствующего дуге $\left({ }^{18}\right)$.

Для того, чтобы доказать подобное же свойство для $M_{2}$, мы напомним прежде всего, что любое произвольное движение, принадлежащее $M_{1}$, изображается кривой, которая целиком лежит в данной окрестности совокупности $M_{2}$, за исключением ограниченного числа дуг, соответствующих все вместе ограниченному промежутку времени. Но всякая данная дуга, достаточно близкая к $M_{1}$, будет разделять с движениями $M_{1}$ свойство находиться в данной окрестности $M_{2}$, за исключением ограниченного числа дуг с ограниченной общей длиной, при условии, что мы сначала выберем длину дуги, а затем выберем соответственным образом окрестность совокупности $M_{1}$, в которой эта дуга должна лежать. Кроме того, если какая-нибудь точка дуги кривой движения данной длины лежит достаточно близко к $M_{1}$, то дуга данной длины должна будет лежать в выбранной окрестности $M_{1}$.

Следовательно, так как вероятность того, что дуга кривой движения многообразия $M$ лежит в заданной окрестности $M_{1}$, стремится к единице, если мы будем безгранично увеличивать промежуток времени, и так как всякая точка, лежащая в такой окрестности, принадлежит длинной дуге кривой движения, лежащей в окрестности $M_{2}$, за исключением конечного числа отрезков с ограниченной общей длиной, то очевидно, что вероятность того, что дуга кривой движения в $M$ лежит в данной окрестности $M_{2}$, стремится к единице равномерно с безграничным возрастанием промежутка времени.

То же рассуждение приложимо и к совокупностям $M_{3}, M_{4}, \ldots$ Относительно $M_{\omega}$ мы должны заметить только, что так как $M_{\omega}$ есть предел убывающей последовательности замкнутых совокупностей $M_{1}, M_{2}, \ldots$, то для достаточно большого $n$ каждая точка $M_{n}$ будет находиться на расстоянии, меньшем $\varepsilon$ от какой-нибудь точки $M_{\omega}$. Так как вероятность того, что произвольная дуга кривой движения, отвечающая достаточно большому промежутку времени, будет на расстоянии меньшем $\varepsilon$ от $M_{n}$ не меньше $1-\delta$, где $\delta$ сколь угодно малое число, то вероятность того, что она лежит на расстоянии, меньшем $2 \varepsilon$ от $M_{\omega}$ то-

же не меньше $1-\delta$. Очевидно, это рассуждение можно продолжить на дальнейшие $M_{p}$, и, таким образом, теорема доказана $\left({ }^{19}\right)$.