Общее заключение, которое можно сделать из рассуждений предшествующих параграфов, состоит в том, что для данного значения постоянной энергии существуют, вообще говоря, периодические движения в окрестности данного периодического движения устойчивого типа по крайней мере в том случае, если наша динамическая система имеет две степени свободы и относится к обычному типу $(l
eq 0)$. Тот факт, что могут существовать изолированные периодические движения устойчивого типа даже для динамических систем с двумя степенями свободы, мы можем доказать следующим простым примером.

Пусть мы имеем гамильтонову систему с главной функцией, равной
\[
H=\frac{1}{2} k\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)+\frac{1}{2} l\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right),
\]

где величины $k, l$ не соизмеримы друг с другом. Общее решение этой системы будет:
\[
\begin{array}{ll}
p_{1}=A \cos k t+B \sin k t, & q_{1}=A \sin k t-B \cos k t, \\
p_{2}=C \cos l t+D \sin l t, & q_{2}=C \sin l t-D \cos l t .
\end{array}
\]

Постоянная энергии $h$ определяется формулой
\[
H=\frac{1}{2} k\left(A^{2}+B^{2}\right)+\frac{1}{2} l\left(C^{2}+D^{2}\right)=h .
\]

Единственными периодическими решениями будут два аналитических семейства
\[
p_{1}=q_{1}=0 \text { и } p_{2}=q_{2}=0 ;
\]

все эти решения – устойчивого типа. При заданном значении постоянной энергии мы будем иметь только два таких периодических движения, так как все периодические движения второго семейства с заданным значением $A^{2}+B^{2}$ изображают одну и ту же замкнутую кривую в трехмерном многообразии $H=h$ в четырехмерном пространстве $\left(p_{1}, p_{2}, q_{1}, q_{2}\right)$. Если мы определим для этого случая преобразование $T$, как в предшествующем $\oint 3$, то оно окажется вращением на угол, несоизмеримый с $2 \pi$, и, следовательно, будет в точности соответствовать тому исключительному случаю, когда полином $M$ (см. §1) вырождается в постоянную.

Первый вопрос, связанный с возможными обобщениями предыдущих результатов для случая двух степеней свободы ( $m=2$ ), будет заключаться в следующем. Пусть начало координат является точкой обобщенного равновесия общего устойчивого типа для какого-нибудь динамической системы, которую мы, кроме того, будем считать вполне устойчивой. Если постоянная $l$ не равна нулю, то можем ли мы сказать, что всегда существует бесконечное множество периодических движений в окрестности начала координат?

Мне представляется в высшей степени сомнительным, чтобы ответ на этот вопрос был утвердительным. В предыдущих рассуждениях свойство потока не изменять площади сечения играло существенную роль. Нет никаких оснований предполагать, что это свойство сохранится для более общих динамических систем вполне устойчивого типа хотя бы только для случая пфаффовых систем.

Приведенный выше пример можно обобщить таким образом, чтобы вывести из него предварительное необходимое условие, которое мы должны наложить на гамильтоновы системы с числом степеней свободы больше двух, если мы хотим, чтобы для них оставалось справедливым заключение о существовании бесконечного множества периодических движений вблизи данного устойчивого периодического движения.
В самом деле, рассмотрим динамическую систему
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \quad \frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где $H$ есть функция от $m$ произведений $p_{1} q_{1}, \ldots, p_{m} q_{m}$, причем $v_{i}, q_{i}$ суть сопряженные комплексные переменные, а именно:
\[
H=\sum_{j=1}^{m} c_{j} p_{j} q_{j}+\frac{1}{2} \sum_{j, k=1}^{m} d_{j k} p_{j} q_{j} p_{k} q_{k} .
\]

Здесь коэффициенты $c_{i}, d_{i j}$ суть периодические функции от $t$ с периодом $\tau$. Начало координат есть точка обобщенного равновесия, имеющая множителями числа
\[
\lambda_{i}=\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} c_{1}(t) d t \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

Эта точка равновесия будет вообще устойчивого типа, если только эти $m$ количеств $\lambda_{i}$ и $\frac{2 \pi \sqrt{-1}}{\tau}$ не связаны никаким линейным соотно-

шением с целыми коэффициентами. Если мы для краткости положим
\[
x_{i}=\int_{0}^{t}\left[c_{i}+\sum_{j=1}^{m} d_{i j} p_{j}^{0} q_{j}^{0}\right] d t
\]

то общее решение будет, как легко видеть,
\[
p_{i}=p_{i}^{0} e^{-x_{i}}, \quad q_{i}=q_{i}^{0} e^{x_{i}} \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

Кроме того, положив
\[
C_{i}=\int_{0}^{\tau} c_{i} d t, \quad D_{i j}=\int_{0}^{\tau} d_{i j} d t,
\]

мы найдем, что условия, чтобы решение было периодическим с периодом $k \tau$, будут:
\[
C_{i}+\sum_{j=1}^{m} D_{i j} p_{j}^{0} q_{j}^{0}=\frac{2 \pi k_{i} \sqrt{-1}}{k} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где $k_{1}, \ldots, k_{m}$ суть целье числа. Но эти условия представляют собой $m$ линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно произведений $p_{i}^{0} q_{i}^{0}(i=1, \ldots, m)$, которые могут быть решены, если определитель $\left|D_{i j}\right|$ не равен нулю. Кроме того, взяв все отношения $k_{i} / k$ малыми, мы получим периодическое движение, близкое к началу координат. С другой стороны, если $\left|D_{i j}\right|$, то, вообще говоря, эти уравнения не могут быть решены.

В частном случае, когда все величины $c_{i}$ и $d_{i j}$ суть постоянные числа, наша система будет представлена в нормальном виде, причем величины $c_{i}$ будут множители, а $d_{i j}$ будут инварианты, аналогичные $l$ для случая $m=1$.

Следовательно, для того, чтобы можно было ожидать во всех случаях бесконечного множества периодических движений в окрестности начала координат, мы должны при $m>1$ прежде всего наложить условие $\left|d_{i j}\right|
eq 0$, аналогичное условию $l
eq 0$ для системы с одной степенью свободы.

Всякое обобщение должно, разумеется, принимать во внимание все существующие однозначные аналитические интегралы (как, например, интеграл энергии). В самом деле, если мы имеем $k$ таких интегралов, то периодическое движение допускает $k$-кратное аналитическое продолжение. Нас при этом интересуют не те периодические движения,

которые принадлежат к тому же семейству, что и данное, а, наоборот, те периодические движения, лежащие в окрестности данного, для которых постоянные интегрирования в упомянутых выше интегралах имеют то же значение, что и у данного периодического движения, и которые в течение одного своего периода совершают много оборотов вблизи данного периодического движения.