Пусть
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \quad(i=1, \ldots, n)
\]

является системой $n$ дифференциальных уравнений, заданных на замкнутом аналитическом многообразии $M$, обладающем инвариантной формой объема и подчиненных ограничениям, упомянутым в предыдущей работе, исключая предположение о сильной транзитивности.
Установим сначала, что без этого предположения
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{t_{n}(P)}{n}=\tau(P)
\]

для всех точек $P$ на поверхности $\sigma$ с точностью до точек множества меры 0 . Другими словами, существует «среднее время $\tau(P)$ пересечения» поверхности $\sigma$ для траектории общего положения.

Доказательство «эргодической теоремы» о том, что существует временная вероятность $p$ такая, что точка $P$ траектории общего положения лежит в заданном объеме $v$ многообразия $M$, имеет параллели с вышеуказанной теоремой о возвращении, как будет видно в дальнейшем.

Новая важная работа фон Неймана показывает только сходимость в среднем. Справедливость (17), для любой точки $P$ им не доказана и временная вероятность для любой траектории, в обычном смысле, не установлена. Непосредственное доказательство результатов фон Неймана было получено Е. Хопфом.
Наш подход будет основываться на следующей лемме:

Лемма 4. Если $S_{\lambda}\left[S_{\lambda}^{\prime}\right]$ – измеримое множество на $\sigma$, инвариантное под действием $T$, за исключением, возможно, множества меры 0, и если для любой точки $P$ этого множества выполняется
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} \sup \frac{t_{n}(P)}{n} \geqslant \lambda>0, \quad\left[\lim _{n \rightarrow \infty} \inf \frac{t_{n}(P)}{n} \leqslant \lambda>0\right],
\]

тогда
\[
\begin{array}{l}
\int_{S_{\lambda}} t(P) d P \geqslant \lambda \int_{S_{\lambda}} d P, \\
\int_{S_{\lambda}^{\prime}} t(P) d P \leqslant \lambda \int_{S_{\lambda}} d P .
\end{array}
\]

Доказательство.
Рассмотрим только первый случай, поскольку доказательство второго случая в точности повторяет первый. По аналогии с предыдущей работой, определим различные измеримые множества $U_{1}, U_{2}, \ldots$ на $S_{\lambda}$ так, что для $P$ в $U_{n}$
\[
t_{n}(P)>n(\lambda-\varepsilon) \quad\left(P \quad \text { вне } \quad U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n-1}\right) .
\]

Величина $\varepsilon>0$ берется произвольно. Ясно, что для любой точки $P$ из $S_{\lambda}$
\[
t_{n}(P)>n(\lambda-\varepsilon)
\]

для бесконечно многих значений $n$ так, что все такие точки принадлежат хотя бы одному из множеств $U_{1}, U_{2}, \ldots$ Теперь, согласно рассуждениям в предыдущей работе, заключаем, что
\[
\int_{S_{\lambda}^{k}} t(P) d P>(\lambda-\varepsilon) \int_{S_{\lambda}^{k}} d P
\]

где $S_{\lambda}^{k}=U_{1}+U_{2}+\ldots+U_{k}$. Однако, при всех значениях $k$, множество $S_{\lambda}^{k}$ является измеримой частью инвариантного множества $S_{\lambda}$ и увеличиваясь стремится к пределу $U_{1}+U_{2}+\ldots$, который содержит все точки множества $S_{\lambda}$. Следовательно, путем предельного перехода получим
\[
\int_{S_{\lambda}} t(P) d P \geqslant(\lambda-\varepsilon) \int_{S_{\lambda}} d P
\]

при любых $\varepsilon>0$, откуда выводится неравенство данной леммы.
Теорема о возвращении устанавливала результаты непосредственно из этой леммы.

Рассмотрим измеримое инвариантное множество точек $P$ на $\sigma$, для которых
\[
t_{n}(P) \geqslant n \lambda
\]

для бесконечно большого числа значений $n$ (см. предыдущую заметку). Это множество $S_{\lambda}$, к которому применима данная лемма. Аналогично, множество точек $P$ на $\sigma$, для которых
\[
t_{n}(P)<n \lambda
\]

для бесконечно большого числа значений $n$, является множеством $S_{\lambda}^{\prime}$, подобному установленному в лемме.

Множество $S_{\lambda}$ сокращается, а множество $S_{\lambda}^{\prime}$ увеличивается вместе с $\sigma$, и оба множества, взятые вместе, составляют $\sigma$. Мера множества $S_{\lambda}$ должна стремиться к нулю по мере увеличения $\lambda$. Иначе она бы стремилась к инвариантному измеримому множеству положительной меры $S^{*}$, для которого неравенство леммы выполняется при $\lambda=\Lambda$ ( $\Lambda$ произвольно большая положительная величина), отсюда получаем
\[
\int_{S^{*}} t(P) d P \geqslant \Lambda \int_{S^{*}} d P
\]

при любых $\Lambda$, что не имеет смысла. Кроме того, когда $\lambda$ стремится к нулю, $S_{\lambda}$ становится пустым, поскольку существует наименьшее время пересечения $\lambda_{0}$. Аналогично, $S_{\lambda}^{\prime}$ увеличивается вместе с $\lambda$ от множества нулевой меры при $\lambda<\lambda_{0}$ до множества $\sigma$.

Тогда, если $S_{\lambda}$ и $S_{\lambda}^{\prime}$ не являются существенно дополняющими друг друга частями поверхности $\sigma$ (одна из которых убывающая, а другая возрастающая), то они должны иметь, при определенных значениях $\lambda$, общую измеримую компоненту $S_{\lambda}^{*}$ положительной меры, также инвариантную под действием $T$.
Рассмотрим множество точек, принадлежащих $S_{\lambda}^{*}$ таких, что
\[
t_{n}(P)>n \mu \quad(\mu>\lambda)
\]

для бесконечно большого числа значений $n$. Они составляют инвариантное измеримое подмножество $S_{\lambda \mu}^{*}$ множества $S_{\lambda}^{*}$, которое должно иметь меру 0 при любых таких $\mu$. Иначе неравенства леммы дают одновременно
\[
\int_{S_{\lambda \mu}^{*}} t(P) d P \geqslant \mu \int_{S_{\lambda \mu}^{*}} d P, \quad \int_{S_{\lambda \mu}^{*}} t(P) d P \leqslant \mu \int_{S_{\lambda \mu}^{*}} d P,
\]

которые противоречат друг другу.
Следовательно, делаем вывод, что все точки $P$ из $S_{\lambda}^{*}$, за исключением точек множества меры 0 , удовлетворяют неравенству
\[
t_{n}(P) \leqslant n \mu
\]

при любых $\mu>\lambda$ и при достаточно больших $n=n_{P}$, т.е.
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} \sup \frac{t_{n}(P)}{n} \leqslant \lambda .
\]

Также делаем вывод, что для всех точек из $S_{\lambda}^{*}$, с точностью до точек множества меры 0 , имеем
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} \inf \frac{t_{n}(P)}{n} \geqslant \lambda .
\]

Отсюда следует, что для точек $P$ из $S_{\lambda}^{*}$, с обычным исключением,
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{t_{n}(P)}{n}=\lambda .
\]

Два таких множества $S_{\lambda}^{*}$, принадлежащих различным $\lambda$, явно различны, за исключением множества меры 0. Следовательно, может существовать только счетное множество $S_{\lambda^{i}}^{*}(i=1,2, \ldots)$ из таких множеств, так как каждое из них имеет положительную меру. За исключением значений $\lambda_{i}$, величины $\lambda, S_{\lambda}^{\prime}$ и $S_{\lambda}$ являются дополняющими друг друга частями $\sigma$ без учета множества меры 0 .

Выберем теперь любые два значения $\lambda$, например $\lambda, \mu$ с условием $\lambda<\mu$, не принадлежащие этому счетному множеству и рассмотрим точки из $S_{\lambda}$, которые не принадлежат $S_{\mu}$. Они составляют инвариантное измеримое множество $S_{\lambda, \mu}$ такое, что для любой точки $P$ этого множества
\[
\lambda \leqslant \lim _{n \rightarrow \infty} \sup \frac{t_{n}(P)}{n} \mu,
\]

а также
\[
\lambda \leqslant \lim _{n \rightarrow \infty} \inf \frac{t_{n}(P)}{n} \leqslant \mu,
\]

поскольку $S_{\lambda, \mu}$ – тождественна с частью множества $S_{\mu}^{\prime}$ вне $S_{\lambda}$. Делаем вывод, что $t_{n}(P) / n$ колеблется между $\lambda$ и $\mu$ при $n$, стремящемся к $\infty$, для всех точек $P$ из $S_{\lambda, \sigma}$, за исключением множества меры 0 .

Выбирая множество значений таких, что $\lambda, \mu$ находятся достаточно близко друг к другу, делаем вывод, что для всех точек на $\sigma$, за исключением множества меры 0 , колебание $t_{n}(P) / n$, когда $n$ становится бесконечным, меньше произвольного $\delta>0$.

Теперь очевидно, что сформулированная теорема возвращения верна.

Следует также заметить, что если $t_{n} / P$ обозначает время до $n$-ого пересечения при уменьшающемся времени, то такой же результат справедлив, если $n$ стремится к $\pm \infty$ с тем же пределом, исключая множество точек $P$ меры 0 . Это сразу следует из того, что (24) может быть записано в виде
\[
\lambda \leqslant \lim _{n \rightarrow \infty} \sup \frac{t_{n}(P)}{n} \leqslant \mu,
\]

где $P$ из $S_{\lambda, \mu}$ заменяется на $T^{n}(P)$, и (25) можно придать соответствующий вид.

Эта теорема возвращения допускает некоторые явные обобщения. Bo-первых, нет необходимости ограничиваться аналитическим случаем. Более того, вместо одной поверхности $\sigma$ можно взять любое измеримое множество $\sigma^{*}$, вложенное в счетное множество различных простых элементов поверхности с $v \cos \theta>d>0$. В этом случае $t^{*}(P)$ обозначает время от $P$ на $\sigma^{*}$ до первого последующего пересечения $\sigma^{*}$.

Для того, чтобы доказать «ргодическую теорему», заметим сначала, что можно найти множество $\sigma^{*}$, пересекающее каждую траекторию, за исключением соответствующих равновесию и любых других с полной мерой 0 . Это возможно, так как можно найти счетное множество различных простых элементов $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \ldots$ поверхности с $v \cos \theta>d>0$, которые пересекают каждую траекторию, не соответствующую равновесию. Если определить $\sigma_{k}$ как предел
\[
\sigma_{1}+\sigma_{12}+\sigma_{123}+\ldots+\sigma_{1 \ldots k},
\]

где $\sigma_{12}$ обозначает множество точек $P$ из $\sigma_{2}$ вне траектории, пересекающей $\sigma_{1}, \sigma_{123}$ обозначает множество точек $\sigma_{3}$ вне траектории, пересекающей $\sigma_{1}$ или $\sigma_{2}$ и так далее, то $\sigma_{k}$ будет иметь надлежащие свойства.

Пусть теперь $v$ обозначает любой «измеримый» объем в многообразии $M$, и пусть $\bar{t}(P)$ обозначает интервал времени, в течение которого точка на траектории, исходящей из $P$ на таком множестве $\sigma^{*}$, лежит в $v$ до тех пор, пока не достигнута точка $T(P)$ из $\sigma^{*}$. Следовательно, $\bar{t}(P) \leqslant t(P)$ во всех случаях. Кроме того, $\bar{t}_{n}(P)$ удовлетворяет тому же функциональному уравнению, что и $t(P)$
\[
\bar{t}_{n}(P)=\bar{t}\left(T^{n-1}(P)\right)+\bar{t}_{n-1}(P) .
\]

Таким образом, то же самое рассуждение, как и раньше, применимо для того, чтобы показать, что, за исключением множества точек $P$ с мерой 0 ,
\[
\lim _{n \rightarrow \pm \infty} \frac{\bar{t}_{n}(P)}{n}=t(P),
\]

где $\bar{\tau}(P) \leqslant \tau(P)$; тогда как, очевидно,
\[
\lim _{n \rightarrow \pm \infty} \frac{t_{n}(P)}{n}=\tau(P)>0 .
\]

Делаем вывод, что справедлива следующая «эргодическая теорема»:
Для любой динамической системы типа (17) существует определенная «временная вероятность» р того, что любая движущаяся точка, за исключением точек множества меры 0 , будет лежать в области $v$; т. е. существует
\[
\lim _{n \rightarrow \pm \infty} \frac{\bar{t}}{t}=p \leqslant 1,
\]

где $t$ обозначает полное пройденное время, измеряемое от неподвижной точки, и $\bar{t}$ – полное пройденное время в $v$.

Для сильно транзитивных систем $p$ является отношением объема $v$ к $V$.

Конечно, идея приведенного доказательства содержится в лемме. Необходимо отметить отвлеченный характер этой леммы, так как она показывает, что вышеупомянутая теорема сразу же обобщается на случай функционального пространства при подходящих ограничениях.

Очевидно, что $\tau(P)$ и $\bar{\tau}(P)$, как определено выше, удовлетворяют функциональным соотношениям следующего типа:
\[
\int_{0}^{\lambda} \lambda d m\left(S_{\lambda}\right)=\int_{S_{\lambda}} t(P) d P
\]

где интеграл в левой части представляет собой интеграл Стилтьеса, $m\left(S_{\lambda}\right)$ мера $S_{\lambda}$.