Для дальнейшего преобразования уравнений Гамильтона в окрестности точки равновесия применим ряд контактных преобразований
\[
p_{i}=\frac{\partial K}{\partial q_{i}}, \quad \bar{q}_{i}=\frac{\partial K}{\partial \bar{p}_{i}} \quad(i=1, \ldots, m)
\]

с функцией $K$ вида
\[
K=\sum_{j=1}^{m} \bar{p}_{j} q_{j}+K_{3}+K_{4}+\ldots,
\]

где $K_{3}, K_{4}, \ldots$ — однородные функции от $\bar{p}_{i}, q_{i}(i=1, \ldots, m)$ соответственно третьей, четвертой и т. д. степеней. Мы видели уже, что такие преобразования сохраняют гамильтонову форму уравнений, и что они образуют группу. Заметим, что если все $K_{s}=0(s>2)$, то преобразование будет тождественным.

Мы начнем с того, что примем $K_{s}=0$ для всех $s>3$, и постараемся выбрать $K_{3}$ таким образом, чтобы возможно больше упростить $H_{3}$. Мы имеем:
\[
p_{i}=\bar{p}_{i}+\frac{\partial K_{3}}{\partial q_{i}}, \quad \bar{q}_{i}=q_{i}+\frac{\partial K_{3}}{\partial \bar{p}_{i}} \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

Если решить эти уравнения относительно $p_{i}, q_{i}(i=1, \ldots, m)$, то получатся следующие выражения $p_{i}, q_{i}$ через $\bar{p}_{i}, \bar{q}_{i}$ :
\[
p_{i}=\bar{p}_{i}+\frac{\partial K_{3}{ }^{*}}{\partial \bar{q}_{i}}+\ldots, \quad q_{i}=\bar{q}_{i}-\frac{\partial K_{3}{ }^{*}}{\partial \bar{p}_{i}}+\ldots \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где $K_{3}{ }^{*}$ обозначает функцию, полученную из $K_{3}$ заменой $q_{i}$ на $\bar{q}_{i}$. Написанные явно члены дают разложения $p_{i}, q_{i}$ в ряды по степеням $\bar{p}_{i}, \bar{q}_{i}$ до членов второй степени включительно. Прямой подстановкой получаем выражение для $H$ через $\bar{p}_{i}, \bar{q}_{i}$ :
\[
H=H_{2}\left(\bar{p}_{1}+\frac{\partial K_{3}{ }^{*}}{\partial \bar{q}_{1}}+\ldots, \ldots, \bar{q}_{m}-\frac{\partial K_{3}{ }^{*}}{\partial \bar{p}_{m}}+\ldots\right)+H_{3}+\ldots,
\]

где аргументы выражений $H_{3}, H_{4}, \ldots$ те же, что и для $H_{2}$. Выписывая явно члены не выше третьей степени, получим:
\[
H=\sum_{j=1}^{m} \lambda_{j} \bar{p}_{j} \bar{q}_{j}+\sum_{j=1}^{m} \lambda_{j}\left(\bar{q}_{j} \frac{\partial K_{3}{ }^{*}}{\partial \bar{q}_{j}}-\bar{p}_{j} \frac{\partial K_{3}{ }^{*}}{\partial \bar{p}_{j}}\right)+H_{3}\left(\bar{p}_{1}, \ldots, \bar{q}_{m}\right)+\ldots
\]

Таким образом, как и следовало ожидать, $H_{2}$ сохранило свою форму, а $H_{3}$ приняло вид:
\[
\sum_{j=1}^{m} \lambda_{j}\left(q_{j} \frac{\partial K_{3}}{\partial q_{j}}-p_{j} \frac{\partial K_{3}}{\partial p_{j}}\right)+H_{3}\left(p_{1}, \ldots, q_{m}\right),
\]

где мы можем выбирать функцию $K_{3}$ по произволу. Возьмем теперь какой-нибудь член $K_{3}$, например:
\[
c p_{1}^{\alpha_{1}} \ldots p_{m}^{\alpha_{m}} q_{1}^{\beta_{1}} \ldots q_{m}^{\beta_{m}} \quad\left(\alpha_{1}+\ldots+\beta_{m}=3\right) .
\]

Соответствующий член в преобразованном $H_{3}$ имеет коэффициент
\[
c\left[\lambda_{1}\left(\beta_{1}-\alpha_{1}\right)+\ldots+\lambda_{m}\left(\beta_{m}-\alpha_{m}\right)\right]+h,
\]

где $h$ означает подобный же коэффициент в первоначальном $H_{3}$. В этом выражении коэффициент при $c$ не равен нулю, потому что в противном случае было бы
\[
\beta_{1}=\alpha_{1}, \ldots, \beta_{m}=\alpha_{m},
\]

что очевидно невозможно, так как сумма всех $\alpha_{i}$ и $\beta_{i}$ равна 3 .
Таким образом, мы можем так выбрать все коэффициенты $c$, чтобы новое $H_{3}$ обращалось в нуль.

Продолжая таким же образом дальше, постараемся исключить $H_{4}$, насколько это возможно, посредством дальнейшего преобразования, в котором на этот раз $K_{s}=0$ для всех $s$, кроме $s=4$. Мы будем иметь преобразование:
\[
p_{i}=\bar{p}_{i}+\frac{\partial K_{4}{ }^{*}}{\partial \bar{q}_{i}}+\ldots, q_{i}=\bar{q}_{i}-\frac{\partial K_{4}{ }^{*}}{\partial \bar{p}_{i}}+\ldots \quad(i=1, \ldots, m),
\]

которое оставляет $H_{2}$ и $H_{3} \equiv 0$ в прежнем виде, но преобразует $H_{4}$ в
\[
\sum_{j=1}^{m} \lambda_{j}\left(q_{j} \frac{\partial K_{4}}{\partial q_{j}}-p_{j} \frac{\partial K_{4}}{\partial p_{j}}\right)+H_{4}\left(p_{1}, \ldots, q_{m}\right) .
\]

Теперь мы можем тем же способом, как и прежде, уничтожить все члены $H_{4}$, за исключением тех, которые содержат $p_{i}$ и $q_{i}$ в одинаковой степени для каждого $i$, т. е. членов, имеющих вид:
\[
c\left(p_{i} q_{i}\right)^{2} \text { или } d p_{i} q_{i} p_{j} q_{j} \quad(i, j=1, \ldots, m) .
\]

Действительно, мы имеем в этом случае:
\[
\alpha_{1}+\ldots+\beta_{m}=4,
\]

и, следовательно, можно сделать равными нулю коэффициенты всех членов, кроме тех, для которых $\alpha_{i}=\beta_{i}(i=1, \ldots, m)$, т.е. тех, которые имеют приведенный выше вид.

Легко видеть таким образом, что бесконечным числом шагов мы можем исключить из $H$ все члены, кроме тех, которые могут быть выражены через $m$ произведений $p_{i} q_{i}$.

Посредством надлежащих преобразований вышеописанных типов гамильтонова система, имеющая в начале координт точку равновесия общего типа, может быть приведена к нормальной гамильтоновой форме, главная функция $H$ которой является функцией только от $m$ произведений $p_{1} q_{1}, \ldots, p_{m} q_{m}$, причем $H_{2}$ имеет вид:
\[
\sum_{j=1}^{m} \lambda_{j} p_{j} q_{j}
\]

Отметим еще, что примененное в предыдущем параграфе линейное преобразование также представляет собою контактное преобразование ${ }^{1}$, так что фактически к нормальной форме можно придти посредством одного формального контактного преобразования.

Для уравнений в этой нормальной форме мы можем тотчас же получить общее формальное решение. Если мы положим $\pi_{i}=p_{i} q_{i}$, то нормальные уравнения Гамильтона могут быть записаны в виде:
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial \pi_{i}} p_{i}, \quad \frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial \pi_{i}} q_{i} \quad(i=1, \ldots, m)
\]

откуда получаем
\[
p_{i} q_{i}=c_{i} \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

Если мы подставим эти значения $p_{i} q_{i}$ в написанные уравнения, то ряды $\partial H / \partial \pi_{i}$ превратятся в постоянные, и мы чисто формальным образом приходим к следующему заключению:

Общее формальное решение нормальных гамильтоновых уравнений в окрестности точки равновесия имеет вид:
\[
p_{i}=\alpha_{i} e^{-\gamma_{i} t}, \quad q_{i}=\beta_{i} e^{\gamma_{i} t} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где
\[
\gamma_{i}=\frac{\partial H\left(\alpha_{1} \beta_{1}, \ldots, \alpha_{m} \beta_{m}\right)}{\partial \pi_{i}} \quad(i=1, \ldots, m)\left({ }^{12}\right)
\]

Соответствующее решение в прежних переменных может быть получено из только что приведенных формул при помощи формул контактного преобразования, выражающих старые переменные через новые.