Вариационный принцип (5) замечателен тем, что из производных $p_{1}^{\prime}, \ldots, p_{m}^{\prime}, q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}$ только $q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}$ содержатся под знаком интеграла, и притом, линейно, и имеют коэффициентами как раз сопряженные переменные. Преобразование координат $p_{1}, \ldots, q_{m}$ в новые $\bar{p}_{1}, \ldots, \bar{q}_{m}$ дает форму, линейную относительно $p_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}$, но, вообще говоря, не такого вида. Мы рассмотрим в следующем параграфе получающийся таким путем тип уравнений — так называемые пфаффовы уравнения, которые имеют некоторые преимущества перед уравнениями Гамильтона.

Общий вид «контактного преобразования», сохраняющего каноническую форму уравнений, будет:
\[
p_{i}=\frac{\partial K}{\partial q_{i}}, \quad \bar{p}_{i}=-\frac{\partial K}{\partial \bar{q}_{i}} \quad(i=1, \ldots, m)
\]

где $K$ — произвольная функция от $q_{1}, \ldots, q_{m}, \bar{q}_{1}^{\prime}, \ldots, \bar{q}_{m}^{\prime}$ и $t$, подчиненная только условию, что она должна действительно давать преобразование координат $p_{1}, \ldots, q_{m}$ в новые $\bar{p}_{1}, \ldots, \bar{q}_{m}$ при помощи приведенных уравнений. Мы не будем объяснять здесь смысл этих на вид искусственных формул замены переменных, а перейдем прямо к доказательству того, что подобное преобразование действительно сохраняет каноническую форму уравнений. Посредством первых $m$ из этих формул мы придаем вариационной задаче следующий вид:
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left[\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial K}{\partial q_{j}} q_{j}^{\prime}-H\right] d t=0,
\]

где независимыми переменными теперь считаются $\bar{p}_{1}, \ldots, \bar{q}_{m}$.
Но для тех же переменных имеем:
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left[\sum_{j=1}^{m}\left(\frac{\partial K}{\partial q_{j}} q_{j}^{\prime}+\frac{\partial K}{\partial \bar{q}_{j}} \bar{q}_{j}^{\prime}\right)+\frac{\partial K}{\partial t}\right] d t=0,
\]

так как выражение под знаком интеграла есть полная производная. Вычитая из верхней формулы нижнюю и применяя последние $m$ уравнений (7), получим:
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left[\sum_{j=1}^{m} \bar{p}_{j} \bar{q}_{j}^{\prime}-\bar{H}\right] d t=0 \quad\left(\bar{H}=H+\frac{\partial K}{\partial t}\right) .
\]

Преобразование вида (7) с произвольной функиией $K$, действительно дающей преобразование переменных, сохраняют гамильтонову форму уравнений с главной функцией $\bar{H}=H+\partial K / \partial t$.
Подобным же образом мы можем написать
\[
p_{i}=\frac{\partial K}{\partial q_{i}}, \quad \bar{q}_{i}=\frac{\partial K}{\partial p_{i}} \quad(i=1, \ldots, m)
\]

и получить такой же результат.
Преобразования (8) тоже сохраняют гамильтонову форму уравнений с главной функиией $\bar{H}=H+\partial K / \partial t$.

Достоин внимания тот факт, что преобразования типа (8) составляют группу. В самом деле, эти преобразования характеризуются тем,

что выражение
\[
\sum_{j=1}^{m}\left(p_{j} d q_{j}+\bar{q}_{j} d \bar{p}_{j}\right)
\]

есть полный дифференциал $d K$. Для второго такого преобразования от $\bar{p}_{1}, \ldots, \bar{q}_{m}$ к $\overline{\bar{p}}_{1}, \ldots, \overline{\bar{q}}_{m}$ имеется второй подобный дифференциал $d \bar{K}$. Складывая, получаем:
\[
\sum_{j=1}^{m}\left(p_{j} d q_{j}+\overline{\bar{q}}_{j} d \overline{\bar{p}}_{j}\right)=d\left(K+\bar{K}-\sum_{j=1}^{m} \bar{p}_{j} \bar{q}_{j}\right),
\]

так что сложное преобразование принадлежит к тому же типу. Подобным же образом преобразование, обратное преобразованию (7), или результат нечетного числа подобных преобразований, дает преобразование того же типа, в результате четного числа преобразований типа (7) дает преобразование типа $(8)^{1}\left({ }^{1}\right)\left({ }^{10}\right)$.