Теперь мы имеем возможность рассмотреть систему с «геометрическими» связями. Пусть различные геометрические точки данной консервативной системы фиксированы, или должны оставаться при своем движении на данных кривых или поверхностях, или же связаны между собою различными негибкими и не имеющими массы стержнями.

Результатом всех таких связей будет уменьшение числа степеней свободы. В самом деле, при соответствующем выборе системы координат $q_{1}, \ldots, q_{m}$ мы можем добиться того, что $k$ связей системы будут выражаться формулами
\[
q_{\mu+1}=\mathrm{const}, \ldots, q_{m}=\mathrm{const} \quad(\mu=m-k) .
\]

Обозначим теперь через $\bar{L}$ то, во что превратится $L$, если связанным координатам $q_{\mu+1}, \ldots, q_{m}$ придать эти постоянные значения, причем соответствующие $q_{i}^{\prime}, q_{i}^{\prime \prime}$, конечно, обращаются в нуль. Тогда очевидно, что
\[
L=\bar{L} ; \quad \frac{d \bar{L}}{\partial q_{i}}=\frac{\partial L}{\partial q_{i}} ; \quad \frac{\partial \bar{L}}{\partial q_{i}^{\prime}}=\frac{\partial L}{\partial q_{i}^{\prime}} \quad(i=1, \ldots, \mu) .
\]

Отсюда имеем
\[
Q_{i}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \bar{L}}{\partial q_{i}^{\prime}}\right)-\frac{\partial \bar{L}}{\partial q_{i}}+R_{i} \quad(i=1, \ldots, \mu) .
\]

где $Q_{i}$ и $R_{i}$ имеют обычные значения.
Но первоначальные внешние силы $Q_{i}$ могут быть представлены как суммы
\[
\bar{Q}_{i}+P_{i} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где «силы связи» $P_{i}$ не могут производить работу ни при каких перемещениях системы, подчиненных связям. Отсюда следует, что функции $P_{1}, \ldots, P_{\mu}$ обращаются в нуль, если координаты выбраны, как указано. Следовательно, мы можем заменить $Q_{i}$ на $\bar{Q}_{i}$ в вышеприведенной формуле при $i=1, \ldots, \mu$.
Отсюда мы приходим к следующему заключению.
Если консервативная система с $m$ степенями свободы подчинена $k$ геометрическим связям, то ее можно рассматривать как консервативную систему с $m-k$ степенями свободы.