Проблема геодезических линий на выпуклом эллипсоиде, исследованная Якоби, является общеизвестным примером интегрируемой задачи ${ }^{1}$. Если мы сплющим этот эллипсоид, превратив его в плоский эллипс, то получим в пределе специальный интегрируемый случай проблемы бильярдного шара (см. главу VI, §6). Этот пример является еще более конкретным, так как геодезические линии превращаются в обыкновенные ломаные с вершинами, лежащими на эллипсе, и сторонами, образующими равные углы с нормалью к эллипсу в любой вершине.

Из элементарной геометрии известно, что если какой-нибудь отрезок этой ломаной проходит через фокус эллипса, то все последующие и предыдущие отрезки этой ломаной будут проходить поочередно через оба фокуса эллипса, как бы далеко мы их ни взяли. Другое общеизвестное свойство состоит в том, что если мы построим систему эллипсов и гипербол, конфокальных с границей бильярдного стола, то последовательные отрезки нашей ломаной или их продолжения будут касаться одного и того же эллипса или гиперболы нашей системы конфокальных конических сечений; если эти точки касания лежат на эллипсе, то бильярдный шар будет двигаться кругом стола все время в одном и том же направлении; если же эти точки лежат на гиперболе, то последовательные точки касания лежат поочередно на ее двух ветвях, а последовательные отрезки лежат между ее ветвями; большая и малая оси эллипса, ограничивающего стол, образуют два предельных случая периодического движения.
Воспользуемся теперь координатами $\varphi$ и $\vartheta$, которые мы уже приме-

няли в главе VI, $\S 7$, для построения преобразования кругового кольца в себя. Здесь $\varphi$ обозначает угловую координату периода $2 \pi$, измеряющую длину дуги вдоль эллипса, в то время как $\vartheta$ измеряет угол с положительным направлением касательной к эллипсу, под которым шар исходит из данной точки на эллипсе.
Для любых $(\varphi, \vartheta)$, где $\vartheta+\pi$ и $\varphi$ могут быть рассматриваемы как полярные координаты точки на кольцеобразной секущей поверхности (рис. 10), существует одно и только одно исходное состояние движения шара и существует непосредственно следующее состояние $\left(\vartheta_{1}, \varphi_{1}\right)$. Таким образом, определяется преобразование $T$, переводящее $(\vartheta, \varphi$ ) в $\left(\vartheta_{1}, \varphi_{1}\right)$. Мы не будем заниматься здесь выводом формул, выражающих $\vartheta_{1}, \varphi_{1}$ через $\vartheta, \varphi$, хотя эти формулы могут быть получены прямо или как предельный
Рис. 10 случай формул, появляющихся в геодезической проблеме на эллипсоиде. Такие явные формулы не нужны для наших целей.

Мы хотим определить качественный характер преобразования $T$ в этом интегрируемом случае.

Прежде всего, движение бильярдного шара вокруг стола в каком нибудь из двух противоположных направлений, очевидно, соответствует последовательности точек на одной замкнутой аналитической кривой, лежащей вблизи кривой соответственно $\vartheta=0$ или $\vartheta=\pi$, в зависимости от направления движения, т.е. от того, возрастает или убывает $\varphi$; оба предельных случая $\vartheta=0$ и $\vartheta=\pi$ соответствуют катанию бильярдного шара вокруг стола вдоль его эллиптической границы в двух противоположных направлениях. Таким образом, мы получаем два аналитических семейства кривых, сходящихся соответственно к кривым $\vartheta=0$ и $\vartheta=\pi$, которые остаются инвариантными при преобразовании $T$. Согласно результатам, полученным в главе VI, преобразование $T$ оставляет на месте точки кривой $\vartheta=0$, но поворачивает точки, лежащие на кривой $\vartheta=\pi$, на угол, равный $2 \pi$.

Во-вторых, если мы рассмотрим исходное состояние движения шара, соответствующее касанию к гиперболе, то будет иметься одна и только одна такая точка касания, лежащая на прямой линии, образован-

ной отрезком, пройденным бильярдным шаром, или продолжением этого отрезка, и мы можем эту точку касания непрерывно изменять вдоль всей гиперболы. Существуют, однако, для каждой такой точки касания два соответственных исходных состояния движения, соответствующих двум значениям $\varphi$, – одному на каждой из двух дуг границы стола, лежащих между обеими ветвями рассматриваемой гиперболы. Следовательно, каждая гипербола дает две замкнутые аналитические кривые в кольце, и когда гиперболы, изменяясь, стремятся к малой оси данного эллипса, мы получаем два аналитических семейства кривых, сходящихся соответственно к точкам $M_{1}=(\pi / 2, \pi / 2), M_{2}=(\pi / 2,3 \pi / 2)$, соответствующим движению вдоль малой оси.

Очевидно, что предельным случаем любого из этих четырех типов движения будет упомянутый вначале случай, когда прямолинейные отрезки проходят через фокусы. Но исходные состояния движения, соответствующие прохождению через какой-нибудь фокус, соответствуют одной замкнутой аналитической кривой, и эти две кривые имеют две общие точки, а именно точки $N_{1}=(\pi / 2,0), N_{2}=(\pi / 2, \pi)$, соответствующие движению шара вдоль большой оси. Таким путем мы можем разделить все точки кольца (соответствующие всем возможным состояниям движения) на области, как показано на рис. 10.

Преобразование $T$ оставляет инвариантными точки, лежащие на внутренней границе кольца, и вращает инвариантные аналитические кривые, лежащие близко к ней, на угол, возрастающий вместе с расстоянием от границы, поскольку, – когда $\vartheta$ возрастает, в то время как $\varphi$ остается неподвижным, – $\varphi_{1}$ оказывается возрастающим. Для предельной кривой этого семейства, состоящей на двух аналитических дуг, сходящихся в точках $N_{1}$ и $N_{2}$, мы видим, что преобразование $T$ вращает $N_{1}$ в $N_{2}$ и $N_{2}$ в $N_{1}$ в положительном направлении, причем дуги, проходящие через $N_{1}$ и $N_{2}$, меняются местами.

Подобно этому, преобразование $T$ передвигает точки, лежащие на внешней границе кольца, на угол $2 \pi$ в положительном направлении, а инвариантные аналитические кривые, лежащие близко к внешней границе, преобразование $T$ вращает на угол, меньший $2 \pi$ и уменьшающийся с увеличением расстояния от границы.

Предельная кривая этого семейства состоит из двух аналитических дуг, имеющих общими концами точки $N_{1}$ и $N_{2}$, и преобразование $T$ переводит $N_{1}$ в $N_{2}$ и меняет местами обе дуги.

Рассмотрение движений, проходящих через фокусы, показывает, что эти движения стремятся асимптотически к движению вдоль большой оси в обоих направлениях. Это обстоятельство находится в соответствии с тем фактом, что все точки, лежащие на внутренних дугах $N_{1} N_{2}$, передвигаются на угол меньший, чем $\pi$, в то время как точки

внешних дуг $N_{1} N_{2}$ передвигаются на угол больший, чем $\pi$. Очевидно, что преобразование $T$ не имеет инвариантных точек внутри кольца.

Рассмотрим теперь различные типы движения и для начала какое нибудь движение, соответствующее кривой аналитического семейства, содержащего кривую $\vartheta=0$.

Примем аналитические переменные $(\varphi, \psi)$, где $\psi$ изменяется вместе с кривой семейства. Преобразование принимает вид
\[
\varphi_{1}=F(\varphi, \psi), \quad \psi_{1}=\psi
\]

с якобианом
\[
J=\frac{\partial F}{\partial \varphi}>0 .
\]

Если в этих переменных инвариантный интеграл будет
\[
\iint I d \varphi d \psi
\]
(см. §1), то мы будем иметь
\[
I\left(\varphi_{1}, \psi_{1}\right) \frac{\partial F}{\partial \varphi}=I(\varphi, \psi),
\]

так что интеграл от $\int I d \varphi$ вдоль какой-нибудь дуги $\psi=$ const и вдоль преобразованной дуги имеет одно и то же значение.
Положим теперь
\[
\frac{\chi}{2 \pi}=\frac{\int_{0}^{\varphi} I(\varphi, \psi) d \varphi}{\int_{0}^{2 \pi} I(\varphi, \psi) d \varphi}
\]

вводя таким образом новую аналитическую угловую переменную $\chi$ периода $2 \pi$, которой мы можем заменить $\varphi$. В этих специальных переменных преобразование $T$ примет вид
\[
\chi_{1}=\chi+\alpha(\psi), \quad \psi_{1}=\psi .
\]

Здесь $\alpha(\psi)$ – аналитическая функция от $\psi$.
Следовательно, преобразование любой инвариантной кривой аналитического семейства, содержащего кривую $\vartheta=0$, является по существу вращением на угол $\alpha$, изменяющийся аналитически вместе с кривой и возрастающий, начиная с нуля при $\vartheta=0$ к предельному значению $\pi$. Но эту переменную $\psi$, разумеется, не следует считать определенной на предельной неаналитической кривой.

Следовательно, если $\alpha(\psi)$ соизмеримо с $2 \pi$, скажем, $\alpha=2 \pi p / q$, то каждая точка инвариантной кривой соответствует полигональному периодическому движению бильярдного шара, при котором он обходит за один период $p$ раз вокруг эллипса и имеет на нем $q$ вершин. Здесь $p$ считается взаимно простым с $q$ и $p, q$ принимают все значения, при которых $p<q / 2$.

Если $\alpha(\psi)$ несоизмеримо с $2 \pi$, то вся кривая соответствует одному минимальному множеству рекуррентных движений непрерывного типа.

Таким же образом, на аналитическом семействе инвариантных кривых, содержащем кривую $\vartheta=\pi$, преобразование $T$ является по существу вращением с коэффициентом вращения $\beta$, изменяющимся аналитически от одной инвариантной кривой к другой и уменьшающимся от значения $2 \pi$ на границе к предельному значению $\pi$. И в этом случае мы имеем такое же распределение периодических движений и движений рекуррентного типа.

Если мы теперь обратимся к двум аналитическим семействам кривых, которые примыкают соответственно к точкам $M_{1}$ и $M_{2}$ и которые меняются местами при преобразовании $T$, то целесообразнее рассматривать $T^{2}$ вместо $T$, поскольку $T^{2}$ оставляет кривые обоих семейств инвариантными, в то время как ни одна точка этих кривых не может быть инвариантной относительно нечетной степени преобразования $T$.

Рассуждая аналогичным образом, мы можем показать, что преобразование каждой из этих инвариантных кривых в себя при $T^{2}$ является по существу вращением, коэффициент которого $\gamma$ изменяется аналитически от кривой к кривой; в каждой из двух инвариантных точек $M_{1}, M_{2}$ значение $\gamma$ будет просто коэффициентом вращения для соответствующего устойчивого периодического движения вдоль малой оси, причем $\gamma$ стремится к предельному значению вдоль предельной неаналитической кривой семейства.

Если $\gamma$ соизмеримо с $2 \pi$, скажем $\gamma=2 \pi p / q$, то всякая точка инвариантной кривой соответствует полигональному периодическому движению, имеющему на эллипсе $2 q$ вершин и $p$ раз колеблющемуся по направлению малой оси. Если $\gamma$ не соизмеримо с $2 \pi$, то кривая соответствует единственному минимальному множеству рекуррентного типа. Очевидно, что точки $N_{1}, N_{2}$ соответствуют периодическому движению вдоль большой оси и, следовательно, будут неустойчивого типа с аналитическими асимптотическими ветвями, представленными инвариантными кривыми, проходящими через эти точки. Подобным же образом $M_{1}, M_{2}$ соответствуют периодическому движению устойчивого типа вдоль малой оси.
Таким образом, мы видим, что имеющееся в нашем распоряжении

аналитическое орудие дало нам возможность определить возможные типы движения и их взаимоотношения.

И не только эти, но и другие естественно возникающие вопросы могут быть разрешены без затруднения.

Например, в случае движения вокруг стола в любом из двух направлений имеется ли единственное число, которое можно было бы по праву назвать средним угловым вращением? Ответ на этот вопрос положительный в случае периодического движения, и можно показать также, что он будет положительным и в случае непериодического движения. В самом деле заметим, что если $n$ обозначает число вершин, пройденных в какой-нибудь промежуток времени, и если $f_{n}$ обозначает соответствующее приращение ранее определенной координаты $\chi$, то мы имеем очевидно
\[
\lim _{n=\infty} \frac{f_{n}}{n}=\alpha,
\]

где $\alpha$ – коэффициент вращения. Кроме того, если $n$ велико, то вершины будут распределены с приблизительно равной густотой для $\chi$ между 0 и $2 \pi$. Но время, необходимое для прохождения от одной вершины к следующей, пропорционально длине отрезка и, следовательно, имеет вид $l(\chi)$, где $l$ есть аналитическая и периодическая (периода $2 \pi$ ) функция от $\chi$. Следовательно, полное время, потребное на прохождение $n$ вершин, будет:
\[
l(\chi)+l\left(\chi_{1}\right)+\ldots+l\left(\chi_{n-1}\right),
\]

что приближенно дается интегралом
\[
\frac{n}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} l(\chi) d \chi .
\]

Отсюда мы выводим, что существует среднее угловое вращение, которое имеет величину
\[
\frac{2 \pi \alpha(\psi)}{\int_{0}^{2 \pi} l(\chi) d \chi},
\]

где $\alpha$ и $l$ суть определенные аналитические функции.