Допустим теперь, что существует хотя бы одна конечная $\delta$-цепь. Тогда имеется наименьшее натуральное

число $n$, для которого существует $\delta$-цепь $P_{0}, P_{1}, \ldots, P_{n}$, такая, что $P_{n}$ лежит вне $R$.

Такие минимальные $\delta$-цепи обладают некоторыми интересными свойствами. Очевидно, например, что точка $P_{i}$ такой цепи принадлежит $M_{i}$, но не принадлежит $M_{j}$ при $j<i$; в противном случае можно было бы сейчас же построить $\delta$-цепь с меньшим числом элементов. Таким образом, $P_{0}$ есть единственная точка $\delta$-цепи, принадлежащая $C$; $P_{1}$ есть единственная точка $\delta$-цепи, принадлежащая открытому кольцу $a<r<a+\delta$ и т. д.

Единственное другое свойство, которое нам понадобится, немногим менее очевидно: если $P_{i}$ и $P_{j}(i \geqslant 1, j \geqslant 1)$ лежат на одной и той же радиальной полупрямой, то $T\left(P_{i-1}\right)$ и $T\left(P_{j-1}\right)$ лежат на той же радиальной полупрямой, и притом в том же радиальном порядке, что $P_{i}$ и $P_{j}$. Чтобы установить это, заметим, что $T\left(P_{i-1}\right)$ и $T\left(P_{j-1}\right)$ не совпадают, так как иначе совпадали бы $P_{i-1}$ и $P_{j-1}$, благодаря чему можно было бы выпустить все точки цепи между $P_{i-1}$ и $P_{j-1}$, а также одну из этих точек. Это невозможно. По той же причине $P_{i}$ не совпадает с $P_{j}$.

Допустим теперь, что точка $T\left(P_{i-1}\right)$ имеет координату $r$, меньшую, чем координата $r$ точки $T\left(P_{j-1}\right)$. Это условие будет, конечно, выполнено при надлежащем выборе обозначений $i, j$. Единственно возможный радиальный порядок четырех рассматриваемых точек, не согласующийся с доказываемым утверждением, таков:
\[
T\left(P_{i-1}\right), T\left(P_{j-1}\right), P_{j}, P_{i},
\]

где радиальная координата возрастает слева направо. В самом деле, точка $P_{i}$ должна лежать дальше от начала координат, чем $P_{j}$, а $P_{j}$ в свою очередь лежит не ближе, чем $T\left(P_{j-1}\right)$. (Здесь допустимо, что $T\left(P_{j-1}\right)$ совпадает с $P_{j}$.) Но тогда очевидно, что точка $P_{j}$ может быть получена из $T\left(P_{i-1}\right)$ посредством направленного наружу радиального перемещения на расстояние, меньшее, чем $\delta$, и что точка $P_{i}$ таким же образом может быть получена из $T\left(P_{j-1}\right)$. Это следует из того, что радиальное расстояние между $T\left(P_{i-1}\right)$ и $P_{i}$ меньше $\delta$. Следовательно, $P_{j}$ принадлежит $M_{i}$, а $P_{i}$ принадлежит $M_{j}$. Но ранее доказанное свойство исключает одну из этих возможностей. Поэтому имеет место указанный порядок расположения точек.