Книга Биркгофа «Динамические системы» подводит итоги исследованиям автора в области динамики, выполненным до 1927 года. В этой области Биркгоф является основоположником новых точек зрения, новых методов исследования и автором целого ряда важных результатов. Здесь достаточно указать на его замечательное доказательство последней геометрической теоремы Пуанкаре о неподвижных точках при преобразовании плоского кольца, на применение им этой теоремы к теории периодических движений систем с двумя степенями свободы, на его теории центральных и рекуррентных движений. Все это в настоящее время входит в тот минимум знаний, которым должен обладать всякий желающий специализироваться в области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений или в области теоретической механики. Перевод книги Биркгофа, предлагаемый вниманию читателя, является поэтому насущной потребностью.

Из сказанного ясно, что книга эта будет полезной прежде всего для аспирантов, специализирующихся в указанных областях. Можно не сомневаться в том, что и у более зрелых специалистов в этих областях она будет настольной книгой. Наконец, можно рассчитывать, что книга окажется полезной и для студентов старших курсов университетов.

Книга Биркгофа вышла впервые в свет в 1927 году. Работа автора в области динамики продолжалась, однако, и после этого. Редакция

считает целесообразным по возможности отразить в предлагаемом читателю русском переводе и этот более поздний этап работы Биркгофа. С этой целью в русский перевод была включена относящаяся к 1931 г. статья Биркгофа «0 существовании областей неустойчивости в динамике», являющаяся существенным дополнением к главе VIII. Другая включенная в русский перевод статья Биркгофа «Некоторые проблемы динамики», вышедшая в 1929 году, интересна тем, что в ней дается перечень некоторых важных, еще не решенных проблем.

Остальные две включенные в русский перевод статьи Биркгофа связаны с последней геометрической теоремой Пуанкаре. Одна из них содержит подробное доказательство одного существенного для динамических приложений обобщения этой теоремы, применяемого в тексте книги. Другая проливает новый свет на роль этой теоремы в динамике.

Редакция считает необходимым предостеречь читателя от некритического отношения к содержанию книги Биркгофа. В этой книге далеко не все рассуждения проведены с достаточной тщательностью. Это ведет к тому, что в отдельных случаях автор приходит даже к неправильным выводам. Часто бывает также, что выводы правильны, но рассуждения, на которых они основаны, недостаточны.

Все такие ошибки редакция старалась по возможности исправлять в многочисленных примечаниях, отмечая неправильные утверждения, заменяя неточные рассуждения строгими доказательствами и т. п. Во всей этой работе большую помощь оказал редакции переводчик книги Е. М. Ливенсон, за что редакция выражает ему свою искреннюю благодарность.

Следует, однако, отметить, что редакции удалось устранить далеко не все неясности. В некоторых случаях редакция была вынуждена ограничиться указанием на недостаточность того или иного рассуждения, не будучи в состоянии заменить его правильным. Возможно также, что некоторые ошибки ускользнули от внимания редакции. Все это обязывает читателя к самому строгому, критическому отношению к тексту книги.

А. Марков, В. Немыцкий, В. Степанов