Чрезвычайно легко убедиться в том, что примененная в предыдущем параграфе нормализация приводит члены первой степени в $X_{1}, \ldots, X_{2 m}$ по существу к гамильтоновой форме. Действительно, если мы обозначим $2 m$ зависимых переменных через $p_{1}, \ldots, p_{m}, q_{1}, \ldots, q_{m}$ таким образом, чтобы $p_{i}, q_{i}$, соответствовали множителям $\lambda_{i}$ и $-\lambda_{i}$ соответственно, и если буквы $P_{1}, \ldots, Q_{m}$ будут изображать коэффициенты при $p_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}$ соответственно под знаками интеграла в формуле (12), то полученные в предыдущем параграфе соотношения между частными производными $\partial X_{i} / \partial x_{j}$ в начале координат принимают вид:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial P_{i}}{\partial p_{j}}=\frac{\partial P_{j}}{\partial p_{i}}, \quad \frac{\partial Q_{i}}{\partial q_{j}}=\frac{\partial Q_{j}}{\partial q_{i}}(i, j=1, \ldots, m), \\
\frac{\partial P_{i}}{\partial q_{j}}=\frac{\partial Q_{j}}{\partial p_{i}} \quad(i, j=1, \ldots, m ; i
eq j) .
\end{aligned}
\]

Первая система уравнений показывает, что линейные члены $P_{i}$, содержащие $p_{1}, \ldots, p_{m}$, составляют вместе полную производную, так же как и линейные члены $Q_{i}$, содержащие $q_{1}, \ldots, q_{m}$. Подобным же образом из второй системы уравнений следует, что член $P_{i}$, содержащий $q_{j}$, вместе с членом $Q_{j}$, содержащим $p_{i}$, образует полную производную. Все эти члены можно опустить, и остается рассмотреть только члены
\[
\sum_{j=1}^{m}\left(c_{j} p_{j} d q_{j}+d_{j} q_{j} d p_{j}\right) .
\]

Эту сумму, очевидно, можно заменить суммой
\[
\sum_{j=1}^{m}\left(c_{j}-d_{j}\right) p_{j} d q_{j} .
\]

Здесь ни одна из разностей $c_{j}-d_{j}$ не может обратиться в нуль, вследствие сделанного предположения, что основной кососимметрический определитель не обращается в нуль в начале координат.

Если теперь $p_{i}, q_{i}$ суть вещественные переменные, то мы можем произвести дальнейшую линейную подстановку
\[
\bar{p}_{i}=p_{i}, \quad \bar{q}_{i}=\left(c_{i}-d_{i}\right) q_{i} \quad(i=1, \ldots, m)
\]

и получим тогда требуемые линейные гамильтоновы члены $\left({ }^{18}\right)$. С другой стороны, если $p_{i}, q_{i}$ – сопряженные комплексные переменные, то $c_{i}$

и $d_{i}$ тоже будут сопряженными комплексными переменными и $c_{i}-d_{i}$ будет чисто мнимым количеством $\rho_{i} \sqrt{-1}\left({ }^{19}\right)$. Мы можем положить тогда
\[
\bar{p}_{i}=\sqrt{\rho_{i}} p_{i}, \quad \bar{q}_{i}=\sqrt{\rho_{i}} q_{i},
\]

если $\rho>0\left({ }^{20}\right)$. Если же $\rho<0$, то мы можем обменять местами $p_{i}$ и $q_{i}$.
Перейдем теперь к рассмотрению функции $Z$. Так как мы имеем точку равновесия в начале координат, то, очевидно, что $\partial Z / \partial p_{i}, \partial Z / \partial q_{i}$ $(i=1, \ldots, m)$ обращаются в этой точке в нуль, т.е. что функция $Z$ не содержит членов первой степени. Низшие члены в $Z$ будут, следовательно, второй степени.

Очевидно, что уравнения вариации, которые зависят только от членов первой степени в $X_{1}, \ldots, X_{2 m}$ и от членов второй степени в $Z$, будут такими же, как и для уравнений типа Гамильтона. Следовательно, линейное преобразование, применяемое в гамильтоновом случае для получения нормального вида этих низших степеней, приводит и $Z_{2}$ к тому же нормальному виду.
Мы можем выразить наши результаты следующим образом.
Предварительным линейным преобразованием $\left({ }^{21}\right)$ мы можем привести уравнения Пфаффа с точкой равновесия общего типа в начале координат к виду
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left[\sum_{j=1}^{m}\left(P_{j} q_{j}^{\prime}+Q_{j} p_{j}^{\prime}\right)-R\right] d t=0,
\]

где
\[
\begin{aligned}
P_{i} & =p_{i}+P_{i 2}+\ldots, Q_{i}=*+Q_{i 2}+\ldots \quad(i=1, \ldots, m), \\
R & =\sum_{j=1}^{m} \lambda_{j} p_{j} q_{j}+R_{3}+\ldots
\end{aligned}
\]