Со времен Хилла и Пуанкаре стараются охарактеризовать движения динамических систем в их общих качественных чертах. Эта последняя фаза развития теоретической динамики представляет большой интерес для математика. Важность качественных динамических идей для точных наук едва ли может быть переоценена. Для пояснения этих идей я вкратце рассмотрю несколько простых примеров. После такой подготовки я хочу привлечь внимание к некоторым нерешенным динамическим проблемам.

Весьма важной является, например, не совсем определенная идея о том, что любое устойчивое движение динамической системы либо является периодическим, либо совершается вблизи периодического движения. Чтобы иметь дело с очень простым случаем, рассмотрим движение частицы $P$ по прямой под влиянием силы $f$, зависящей только от положения и скорости частицы ${ }^{2}$. Мы будем предполагать, что на прямой имеется только одно положение равновесия $O$. Если тогда $x$ означает расстояние $O P$, а $t$ – время, то мы имеем уравнение:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=f\left(x, \frac{d x}{d t}\right)
\]

где $f$ – заданная функция. Так как рассматриваемое движение устойчиво, то
\[
|x| \leqslant M, \quad|y| \leqslant M
\]

при $t \geqslant 0$, где $y=d x / d t$. Но вышеприведенное уравнение второго порядка сейчас же ведет к двум уравнениям первого порядка:
\[
\frac{d x}{d t}=y, \quad \frac{d y}{d t}=f(x, y),
\]

где $x$ и $y$ рассматриваются как прямоугольные координаты. Движениям соответствуют кривые, однократно заполняющие плоскость. Равновесие в $O$ соответствует точечной кривой $x=y=0$, которую мы также будем обозначать через $O$.

При $y>0$ каждая точка движется по своей кривой направо, так как $d x / d t>0$. При $y<0$ каждая точка движется налево. На оси $x$ каждая точка движется в направлении оси $y$ или в противоположном направлении. Рассматриваемое устойчивое движение соответствует кривой, лежащей при $t \geqslant 0$ в квадрате $|x| \leqslant M,|y| \leqslant M$.

Рассмотрим прежде всего простейший случай, когда движущаяся точка ни разу не пересекает ось $x$. Здесь имеется лишь одна возможность: точка приближается к положению равновесия при бесконечном возрастании $t$, как показано на рис. $13 a$.
Рис. 13
Рис. 14
Рис. $13 b, c$ соответствует одному или двум переходам через ось. При двух переходах точки перехода лежат по разные стороны от положения равновесия, так как по одну сторону направление везде одно и то же. Мы имеем здесь движение частицы $P$, которая один или два раза колеблется через положение равновесия, чтобы потом начать приближаться к нему. При трех переходах $A, B, C$, очевидно, что $C$ лежит

не только по ту же сторону, что и $A$, но и между $O$ и $A$ (рис. 14). Здесь частица трижды проходит через положение равновесия, причем третье колебание меньше первого. После этого $P$ приближается к этому положению. Эти процессы можно продолжить. Мы должны иметь или конечное число убывающих колебаний с последующим приближением к положению равновесия, или бесконечно много колебаний. В этом последнем случае движение или в точности периодическое, или колебания возрастают, приближаясь к периодическому движению, или они убывают с приближением к периодическому движению, или, наконец они убывают с приближением к положению равновесия. Общая идея о связи между устойчивостью и периодичностью оправдывается, таким образом, по крайней мере в этом частном случае.
При более глубоком рассмотрении этой идеи выявляются некото-

рые «центральные движения» и «рекуррентные движения» как действительные обобщения периодических движений.

В классической динамике дифференциальные уравнения обычно имеют гамильтонов или канонический вид. В простейшем случае одной степени свободы два дифференциальных уравнения таковы:
\[
\frac{d p}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q}, \quad \frac{d q}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p},
\]

где $H$ (энергия) есть заданная аналитическая функция $p$ и $q$. Умножая эти два уравнения на $\partial H / \partial p$ и $\partial H / \partial q$ и складывая, убеждаемся сейчас же, что в плоскости $p, q$ точка движется по кривой $H=$ const. Поэтому движение должно быть либо неустойчивым, либо периодическим, либо приближающимся к положению равновесия ( $\left.p_{0}, q_{0}\right)$. Пользуясь, далее, интегралом $H=$ const можно интегрировать эти дифференциальные уравнения.

Мы рассмотрим теперь гамильтонову систему с двумя степенями свободы, так как это простейший неразрешимый случай. Уравнения имеют вид
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \quad \frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}},
\]

где $H$ – заданная аналитическая функция четырех переменных $p_{1}, q_{1}$, $p_{2}, q_{2}$. Пользуясь известным интегралом энергии $H=$ const и независимостью $H$ от $t$, можно чисто формальным образом понизить на две единицы порядок этой системы. Эта редукция хорошо известна, и нет надобности проводить ее здесь. Новые упрощенные уравнения могут быть следующим образом представлены в виде гамильтоновой системы с одной степенью свободы:
\[
\frac{d p}{d \tau}=-\frac{\partial H}{\partial q}, \quad \frac{d q}{d \tau}=\frac{\partial H}{\partial p} .
\]

Здесь $H$ – известная функция переменных $p, q, \tau$. Этой редукцией мы будем пользоваться в дальнейшем.

Если $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$ означают координаты точки в четырехмерном пространстве, то четыре первоначальных уравнения определяют некоторое течение жидкости в этом пространстве. Составляющими скорости являются как раз четыре величины, стоящие в правых частях уравнений (2). Каждая точка ( $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$ ) представляет определенное состояние движения. Линии тока или кривые движения соответствуют возможном движениям системы. Совокупность возможных точек

соответствует «многообразию состояний» и может быть замкнутой или незамкнутой. Две такие динамические системы «эквивалентны», если существует точечное преобразование, переводящее точки и движения одной системы в точки и движения другой.

Действительная цель динамики состоит в том, чтобы определить все инварианты данной динамической системы относительно таких преобразований так, чтобы было возможно ответить на вопрос, эквивалентны ли две такие системы или нет.

Вообще говоря, такие инварианты существуют лишь в окрестности положения равновесия или периодического движения. Поэтому мы будем рассматривать окрестность замкнутой кривой движения, соответствующей такому периодическому движению.

Соответственно нашей редукции мы будем рассматривать только близкие состояния движения, для которых постоянная энергии та же, что и для данного периодического движения. Они соответствуют трехмерной части многообразия состояний, образующей топологический тор.

При надлежащем выборе переменных $p, q, \tau$ данная кривая движения будет лежать вдоль оси $\tau$ в пространстве $p, q, \tau$, где всякие две точки $(p, q, \tau+2 \pi)$ и $(p, q, \tau)$ соответствуют одному и тому же состоянию движения. Здесь тор превращается в бесконечный цилиндр.

Пусть теперь дана некоторая поверхность $S$, пересекающая замкнутую кривую движения в точке $Q$ под углом, отличным от нуля. Плоскость $\tau=0$, очевидно, является поверхностью этого рода. Возьмем какую-либо точку $P$ этой поверхности и проследим проходящую через $P$ кривую движения в направлении возрастающего времени до первой следующей точки $P_{1}$, также лежащей на $S$. Этим определяется точечное преобразование $T$ от любого $P$ к соответствующему $P_{1}: P_{1}=T(P)$. Это преобразование, как и обратное преобразование $P=T^{-1}\left(P_{1}\right)$, аналитично, если только данная проблема и секущая поверхность аналитичны. Следует заметить, что $Q$ является неподвижной точкой преобразования $T$.

Чтобы дать простой пример такого преобразования $T$, рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
\[
q^{\prime \prime}+k^{2} q=0,
\]

или, что то же самое, два дифференциальных уравнения типа (3):
\[
\frac{d p}{d t}=-k^{2} q=-\frac{\partial H}{\partial q}, \quad \frac{d q}{d t}=p=\frac{\partial H}{\partial p} \quad\left[H=\frac{1}{2}\left(p^{2}+k^{2} q^{2}\right)\right] .
\]

Решение $(p, q)$, принимающее при $\tau=0$ значения $\left(p_{0}, q_{0}\right)$, дается

формулами:
\[
p=p_{0} \cos k \tau-k q_{0} \sin k \tau, \quad q=\frac{p_{0}}{k} \sin k \tau+q_{0} \cos k \tau .
\]

При возрастании $\tau$ от 0 до $2 \pi$ получаем $p_{1}, p_{2}$ :
\[
p_{1}=p_{0} \cos 2 k \pi-k q_{0} \sin 2 k \pi, \quad q_{1}=\frac{p_{0}}{k} \sin 2 k \pi+q_{0} \cos 2 k \pi .
\]

В координатах ( $p / \sqrt{k}, q \sqrt{k}$ ) это преобразование $T$ является обычным вращением на угол $2 k \pi$.

Очевидно, что при другом выборе координат или секущей поверхности определится другое преобразование $\bar{T}$, эквивалентное $T$. В самом деле, при новом выборе координат изменяются лишь координаты на $S$. Но и при новом выборе секущей поверхности паре значений $p, q$ переменных на $S$ соответствует одна и только одна пара $\bar{p}, \bar{q}$ на $\bar{S}$, в силу чего и здесь преобразования $T$ и $\bar{T}$ должны быть эквивалентными.

Этот результат допускает обращение, а именно, если преобразования, относящиеся к двум динамическим проблемам, эквивалентны, то и эти проблемы эквивалентны друг другу. Чтобы доказать это, надо лишь определить взаимно однозначное и непрерывное отображение двух многообразий состояний.

Геометрически это совершается так. Точки поверхностей $S$ и $\bar{S}$ соответствуют друг другу заданным образом. Всякая другая точка $P$ первого многообразия лежит на дуге $Q Q_{1}$, оканчивающейся в двух точках секущей поверхности. Точка $P$ делит дугу на две части $Q P$ и $P Q_{1}$. Обозначим отношение этих частей $Q P / P Q_{1}$ через $\sigma$. Будем считать точки $P$ и $\bar{P}$ соответствующими, если они лежат на соответствующих дугах $Q Q_{1}$ и $\overline{Q Q}_{1}$ и имеют одинаковые $\sigma$ и $\bar{\sigma}$. Таким образом, устанавливается непрерывное преобразование одного многообразия в другое многообразие, переводящее кривые движения первого многообразия в кривые движения второго.

Применяемые здесь точечные преобразования только непрерывны. Таким образом, при этом способе доказательства мы пользуемся группой всех непрерывных точечных преобразований.

Эти соображения показывают, что все динамические свойства движений соответствуют свойствам преобразований секущих поверхностей. Таким образом, динамическая проблема сводится к проблеме преобразований плоскости вблизи неподвижной точки. Ясно также, что такое сведение произвольной динамической проблемы к проблеме преобразований всегда возможно по крайней мере вблизи периодического движения.

Каковы же теперь характеристические свойства преобразования, соответствующего динамической проблеме (3)?

Чтобы ответить на этот вопрос, заметим прежде всего, что при применении канонических переменных $p, q, \tau$ и секущей поверхности $\tau=0$ площади не меняются при преобразовании $T$. В самом деле, течение оставляет объем неизменным, так как уравнения могут быть написаны следующим образом:
\[
\frac{d p}{d \tau}=-\frac{\partial H}{\partial q}, \frac{d q}{d \tau}=\frac{\partial H}{\partial p}, \quad \frac{d r}{d \tau}=1 \quad[H=H(p, q, r)],
\]

где
\[
\frac{\partial}{\partial p}\left(-\frac{\partial H}{\partial q}\right)+\frac{\partial}{\partial q}\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)+\frac{\partial}{\partial r}(1)=0 .
\]

При этом каждая точка движется с составляющей скорости, равной единице, по оси $\tau$. Поэтому маленький цилиндр с основанием $\alpha$ в плоскости $\tau=0$ и с постоянной маленькой высотой $h$ должен все время иметь основание с одной и той же площадью. Произвольная площадь $\alpha$ в плоскости $p, q$ должна поэтому равняться соответствующей площади $\bar{\alpha}$ в плоскости $\tau=2 \pi$, что и требовалось доказать.

Мы можем теперь дать несколько иную картину нашей проблемы на плоскости. В плоскости $p, q$ каждая точка движется в каждый момент $\tau$ с составляющими скорости $-\partial H / \partial q, \partial H / \partial p$. Таким образом, определяется переменное течение на плоскости, которое такое же, как если бы плоскость $\tau=c$ двигалась в направлении оси $\tau$ со скоростью равной единице и каждая точка плоскости $p, q$ оставалась бы на соответствующей кривой движения. Это переменное течение есть течение несжимаемой жидкости в плоскости, так как площадь всякой части остается постоянной. Мы видим также, что двумерное течение периодично с периодом $2 \pi$. Ранее введенное преобразование $T$ имеет здесь следующий смысл. Точка $P$ жидкости, которая при $\tau=0$ занимает положение $p_{0}, q_{0}$, будет через $2 \pi$ секунд находиться в $p_{1}, q_{1}$.

Обратно, каждое сохраняющее площадь периодическое течение этого рода соответствует динамической проблеме (3). В самом деле, дифференциальные уравнения такого течения могут быть написаны в виде
\[
\frac{d p}{d \tau}=P, \quad \frac{d q}{d \tau}=Q, \quad \frac{d r}{d \tau}=1 \quad[P=P(p, q, r), \quad Q=Q(p, q, r)],
\]

где $P$ и $Q$ периодичны в $r$ с периодом $2 \pi$ и где
\[
\frac{\partial P}{\partial p}+\frac{\partial Q}{\partial q}=0
\]

в силу несжимаемости. Если теперь положить
\[
H=\int_{(0,0)}^{(p, q)}(Q d p-P d q),
\]

то эти дифференциальные уравнения примут как раз вид (3).
Поэтому кажется очевидным, что всякое однозначное, сохраняющее площади преобразование $T$ соответствует гамильтоновой проблеме типа (3). Этот факт сейчас же доказывается по крайней мере в том случае, когда функции, определяющие $T$, равно как и все их производные, непрерывны, и функция $H$ того же рода (но, быть может, неаналитическая $)^{1}$.

Для динамических систем со многими степенями свободы соответствующее объемосохраняющее свойство таких преобразований $T$ не вполне характерно.

Рассмотрим теперь какое-либо сохраняющее площади преобразование $T$ вблизи неподвижной точки. В общем случае оно имеет один из следующих типов. Либо линейная часть $T$ является вращением
\[
p_{1}=p_{0} \cos \vartheta-q_{0} \sin \vartheta, \quad q_{1}=p_{0} \sin \vartheta+q_{0} \cos \vartheta,
\]

где $\vartheta / 2 \pi$ иррационально, либо она имеет вид
\[
p_{1}=\lambda p_{0}, \quad q_{1}=\frac{1}{\lambda} q_{0},
\]

где $\lambda^{2}
eq 1$. Второй, значительно более простой тип будем называть неустойчивым, первый – устойчивым.

Во втором случае можно, по всей вероятности, при надлежащем выборе переменных $p, q$ придать преобразованию $T$ следующую нормальную форму:
\[
p_{1}=\lambda e^{p_{0} q_{0}} p_{0}, \quad q_{1}=\frac{1}{\lambda} e^{-p_{0} q_{0}} q_{0} .
\]

При этом допускаются все точечные преобразования, при которых соответствующие функции и все их производные непрерывны. Для исходной динамической проблемы прямые $p_{0}=0$ и $q_{0}=0$ соответствуют двум семействам асимптотических движений. Все другие близкие движения приближаются к периодическому движению с тем, чтобы потом опять удалиться от него.

В первом случае также существует простая нормальная форма:
\[
\begin{array}{l}
p_{1}=p_{0} \cos \left(\vartheta+r_{0}^{2}\right)-q_{0} \sin \left(\vartheta+r_{0}^{2}\right), \\
q_{1}=p_{0} \sin \left(\vartheta+r_{0}^{2}\right)+q_{0} \cos \left(\vartheta+r_{0}^{2}\right),
\end{array}
\]

где $r_{0}^{2}=p_{0}^{2}+q_{0}^{2}$. Эта нормальная форма в общем случае достижима лишь формальным образом.

Мы видим, что и здесь существует единственный формальный инвариант $\vartheta$. Преобразование можно с большой степенью точности рассматривать как подобное вращению вокруг точки $(0,0)$ на зависящий от радиуса $r_{0}$ угол $\vartheta+r_{0}^{2}$.

Определение природы преобразования в этом случае является одной из интереснейших и труднейших проблем математики. Существенный вопрос заключается в следующем: остаются ли точки $P$, близкие к точке $(0,0)$, все время близкими к ней при повторении преобразования $T$ ? Это – простейший случай проблемы динамической устойчивости, которая в настоящее время не разрешена.

В этом направлении я хочу сделать еще одно замечание. В силу природы преобразования в этом случае можно придти к заключению, что вблизи рассматриваемого периодического движения существует бесконечное множество периодических движений с той же постоянной энергии, совершающих много оборотов в течение своего периода ${ }^{1}{ }^{1}$. Идея доказательства следующая (разумеется, я не могу привести всех деталей).

При больших $n$ и в достаточно малой окрестности точки $(0,0)$ преобразование $T^{n}$ имеет вид вращения на угол $n\left(\vartheta+r_{0}^{2}\right)$ по крайней мере в том отношении, что вращение вдоль круга $r=r_{0}$ превосходит вращение при $r=0$ более чем на $2 \pi$. Поэтому можно найти $m$ такое, что если $T^{n}$ дополнить поворотом на угол $2 m \pi$, то вращение будет положительным при $r=r_{0}$ и отрицательным при $r=0$.

Легко усмотреть, что при этом новом преобразовании $T_{m}^{n}$ должна существовать по крайней мере одна замкнутая кривая $C$ вокруг точки $(0,0)$ такая, что на ней вращение равно нулю. В силу сохранения площадей, при $T_{m}^{n}$ кривые $C$ и $T_{m}^{n}(C)$ должны иметь по крайней мере одну общую точку $P$. Далее непосредственно доказывается, что каждый радиус пересекает $C$ в одной и только одной точке. Поэтому и $T_{m}^{n}(C)$ обладает тем же свойством, так как каждая точка $T_{m}^{n}(Q)$ кривой $T_{m}^{n}(C)$ лежит на том же радиусе, что и $Q$. Следовательно, $T_{m}^{n}(P)$ должно совпадать с $P$.

Эта точка $P$ соответствует периодическому движению, совершающему $n$ оборотов в течение своего периода. А так как $n$ может быть взято сколь угодно большим, то существует бесконечное множество

таких периодических движений вблизи рассматриваемого периодического движения.

Так называемая последняя геометрическая теорема Пуанкаре была им установлена, чтобы доказать существование таких новых периодических движений. Наш метод показывает, однако, как во многих важнейших случаях можно избежать применения этой теоремы. Очень интересно отметить, что большинство неправильных попыток доказательства этой теоремы основано на соображениях совершенно того же рода, что и вышеприведенные. Эти попытки как раз потому не ведут к цели, что в общем случае теоремы Пуанкаре нам не известно, что $C$ имеет нужный специальный вид.

Мы рассмотрим теперь вкратце следующие четыре примера динамических систем: 1) бильярдный шар на эллиптическом столе; 2) частицу на гладкой выпуклой поверхности; 3) частицу на гладкой замкнутой поверхности повсюду отрицательной кривизны и 4) задачу трех тел.

1. Бильярдный шар на эллиптическом столе.
Геодезические линии на эллипсоиде с полуосями $a, b, c$ ( $a>b>$ $>c>0$ ) известны со времен Якоби. Они появляются также в качестве общего решения интегрируемой гамильтоновой проблемы, так как частица, движущаяся по гладкому эллипсоиду без воздействия внешних сил, должна следовать по геодезической линии. Если теперь меньшая полуось $c$ будет стремиться к нулю, в то время как остальные полуоси будут оставаться постоянными, то эллипсоид перейдет в эллипс. Геодезические линии будут состоять из прямолинейных отрезков, и два таких отрезка, принадлежащие одной и той же геодезической линии и следующие друг за другом, должны встречать эллипс под одинаковыми углами. Но такие ломаные линии суть идеализированные пути бильярдного шара на эллипсе. Разумеется, и эта проблема должна быть «интегрируемой».

Геометрическое свойство, соответствующее этой интегрируемости, хорошо известно: два следующих друг за другом отрезка суть всегда касательные к одному и тому же коническому сечению, имеющему те же фокусы, что и данный эллипс. Поэтому все движения делятся на аналитические семейства по соответствующим коническим сечениям.

Возможные состояния движения соответствуют точкам эллипса, рассматриваемым совместно со всевозможными направлениями. Таким образом, если $x, y$ – координаты точки эллипса, а $\psi$ – направляющий угол, то каждая тройка $(x, y, \psi)$ дает состояние движения. Совокупность таких состояний, очевидно, является топологическим тором, если отвлечься от тех состояний $(x, y, \psi)$, при которых $(x, y)$ лежит на самом эллипсе. Но для таких точек тройки $(x, y, \psi)$ и $\left(x, y, \psi_{1}\right)$ следует рассматривать как одно состояние, если $\psi$ и $\psi_{1}$ соответствуют двум

последовательным отрезкам. Поэтому многообразие состояний в этом случае замкнуто.

Мы имеем, таким образом, интегрируемую динамическую задачу с замкнутым многообразием состояний.

Здесь без всяких исключений можно определить преобразование $T$. Пусть $\vartheta$ будет переменная с периодом $2 \pi$, определяющая положение точки на эллипсе; $\varphi$ – угол между направлением отскочившего бильярдного шара и положительным направлением касательной. Таким образом, $0 \leqslant \varphi \leqslant \pi$. Для каждой пары $(\vartheta, \varphi)$ существует непосредственно следующая пара $\left(\vartheta_{1}, \varphi_{1}\right)$. Совокупность состояний движения $(\vartheta, \varphi)$, соответствующих удару о борт, образует секущую поверхность $S$ для всех возможных кривых движения, за исключением двух движений катания вдоль кривой. Эта секущая поверхность имеет вид кольца. Мы можем написать
\[
\left(\vartheta_{1}, \varphi_{1}\right)=T(\vartheta, \varphi) .
\]

Так как эта проблема интегрируема, то на $S$ мы имеем замкнутые инвариантные аналитические кривые, преобразуемые сами в себя при $T$ и при $T^{-1}$. Все начальные состояния, определяющие отрезки, касательные к одному и тому же коническому сечению с теми же фокусами, что и у края стола, принадлежат одной или двум таким замкнутым кривым. Топологическую природу этих кривых очень легко определить.

Сейчас же видно, что существуют четыре рода движений: а) всюду плотные периодические движения, соответствующие некоторым из этих кривых ; b) всюду плотные рекуррентные, но не периодические движения, соответствующие другим кривым и образующие общий случай в смысле лебеговой меры; с) два семейства движений, асимптотически приближающихся к периодическому движению вдоль главной оси в обоих направлениях изменения времени; они соответствуют путям, проходящим через фокусы однажды и потому бесконечное множество раз; d) два движения катания по эллипсу в противоположных направлениях, которые также периодичны. Все периодические движения, за исключением движений вдоль короткой оси и двух движений катания, неустойчивы.

Таким образом, получается полное обозрение всех типов движения и их взаимоотношений, как и следовало ожидать в такой интегрируемой проблеме $\left({ }^{2}\right)$.

2. Частица на гладкой, замкнутой, выпуклой поверхности.
Многообразие состояний в этом случае, очевидно, замкнуто. Однако для таких общих выпуклых поверхностей нет оснований ожидать группировки движений в замкнутые семейства, как в случае эллипсоида.

Строение секущей поверхности и преобразования $T$ здесь несколько сложнее, чем в предыдущей задаче. Прежде всего наглядным образом усматривается, что существует кратчайшая длина для замкнутой кривой, такой, что выпуклое тело пролезает сквозь эту кривую. Кривая $G$ этой длины должна быть натянута вокруг поверхности, и в этом положении она образует замкнутую геодезическую линию. Состояния движения, соответствующие пересечению кривой $G$, образуют две секущие поверхности надлежащего типа с относящимися к ним преобразованиями $T$. Полное рассмотрение движений в произвольно заданном случае кажется почти невозможным, так как бесконечные процессы, которые при этом участвуют, нельзя фактически провести. В действительности мы могли бы получить очень хорошее представление об этом, если бы знали все инвариантные области на $S$.

Однако кажется почти несомненным, что в общем случае таких областей на $S$ не существует. В этом случае можно доказать: а) что существует бесконечное плотное в себе множество периодических движений; b) что асимптотические движения всех мыслимых типов всюду плотны; с) что существуют движения, проходящие сколь угодно близко от любого состояния, и т. д. Таким образом, мы и здесь получим довольно удовлетворительный обзор типов движения и их взаимоотношений. Разумеется, здесь мы имеем дело с более сложным случаем, чем в случае интегрируемом $\left({ }^{3}\right)$.

3. Частица на гладкой замкнутой поверхности повсюду отрицательной кривизны.
Чтобы построить такой пример, рассмотрим поверхность
\[
z^{2}=1-e^{2} \sin ^{2} \frac{1}{2} x \sin ^{2} \frac{1}{2} y \quad(e>1),
\]

где $x, y, z$ – прямоугольные координаты и где мы принимаем, что все точки
\[
(x+2 k \pi, y+2 l \pi) \quad(k, l=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)
\]

соответствуют одной и той же точке поверхности. Это допущение законно, так как все преобразования
\[
\bar{x}=x+2 k \pi, \quad \bar{y}=y+2 l \pi
\]

переводят поверхность в самое себя. Фундаментальной областью является квадрат плоскости $x, y$ :
\[
0 \leqslant x<2 \pi, \quad 0 \leqslant y<2 \pi .
\]

Дальнейшее рассмотрение немедленно показывает, что кривизна везде отрицательна, за исключением точек, лежащих над и под сторонами квадратов, и что поверхность имеет род 2 . Далее, здесь существует

одна и только одна геодезическая линия $A B$, соединяющая заданную точку $A$ с заданной точкой $B$ и непрерывно деформируемая в заданную кривую $A B$. Таким же образом усматривается, что существует одна и только одна замкнутая геодезическая линия заданного типа.

Этот пример имеет совершенно другой характер, чем два предыдущих, так как здесь не существует периодических движений устойчивого типа. Как легко доказать, в этом случае существует не только всюду плотное множество периодических движений, но и другие типы рекуррентных движений, а также движения, проходящие сколь угодно близко от любого состояния, и т. д. Здесь имеется алгоритм, дающий возможность обозреть все движения.

В этом случае кажется невозможным построить полную секущую поверхность с соответствующим точечным преобразованием $T$. Несмотря на это, природа движений известна почти в такой же степени, как в периодическом случае $\left({ }^{4}\right)$.

Три предыдущих примера были геодезического типа. Это не является, однако, действительным ограничением, так как все обычные динамические задачи могут быть формулированы как геодезические.

4. Задача трех тел.
Здесь мы будем считать данными десять постоянных интегрирования, соответствующих десяти известным интегралам. Мы допустим далее, что не все три постоянные площадей равны нулю.

Многообразие состояний надо здесь рассматривать как открытое семимерное, так как координаты не ограничены. Возможность соударения всех трех тел исключена, а соударение только двух тел, как впервые показал Сундман, является устранимой особенностью.

Важный факт состоит в следующем: кривая движения этого многообразия состояний, содержащая точку, для которой все три расстояния малы, должна при возрастании или убывании времени уходить в бесконечность. В единственном, с качественной точки зрения трудном случае полная энергия недостаточна для того, чтобы бесконечно удалить все тела друг от друга. В этом случае одно и только одно тело удаляется от двух других. На этих основаниях в многообразии состояний должны существовать три течения из бесконечности в бесконечность. Можно думать, что в общем случае все точки этого «моря» приносятся одним из этих течений, чтобы потом опять в одном из них уйти в бесконечность. Только некоторые периодические, рекуррентные и асимптотические к ним движения могут быть другого типа $\left({ }^{5}\right)$.

В этих четырех примерах я упомянул лишь о некоторых из важнейших до сих пор известных свойств. Более глубокое рассмотрение дало бы нам дальнейшие результаты, касающиеся природы и распределения возможных движений.

После этих подготовительных замечаний мы можем формулировать некоторые, в настоящее время нерешенные проблемы теоретической динамики. Вначале мы говорили о связи между периодичностью и устойчивостью. Однако такая связь не имеет места, если идею периодичности не обобщить надлежащим образом.

Существуют два рода таких обобщений. Вспоминая наш первый пример, легко понять оба эти рода обобщений.

Во-первых, мы заметим, что с течением времени каждое движение приближается к периодическим по крайней мере в этом специальном примере. Если многообразие состояний замкнутое, то существует замкнутое множество $M_{1}$, к движениям которого приближаются все остальные движения. Чтобы точнее определить $M_{1}$, рассмотрим небольшую частицу $\left({ }^{6}\right)$ в $M$. Может случиться, что с течением времени эта частица никогда не вернется к ее исходному положению. Соответствующие движения называются тогда «блуждающими» $\left({ }^{7}\right)$. Множество $M_{1}$ есть как раз множество неблуждающих движений. Теперь мы можем определить движения $M_{2}$, не блуждающие относительно $M_{1}$. Таким образом, возникает счетная, вполне упорядоченная последовательность $M, M_{1}, M_{2}, \ldots$, оканчивающаяся на некотором $M_{r}=M_{r+1}$, где $r$ – порядковое число в смысле Кантора. В течение всякого движения точка почти всегда находится вблизи этого множества центральных движений $\left({ }^{7}\right)$. Если многообразие состояний двухмерно, то легко доказать, что $r \leqslant 2$. Однако при большем числе измерений $n$ я не думаю, чтобы было $r \leqslant n$.

Поэтому я формулирую следующим образом нашу первую проблему.

Проблема I. Построить динамическую задачу с трехмерным замкнутым многообразием состоянии таким образом, чтобы порядковое число $r$ центральных движений было > 3 .

Существуют другие важные проблемы, касающиеся строения центральных движений.

Второе обобщение периодических движений возникает так. Никакое периодическое движение не приближается к другому движению. Мы можем называть «рекуррентными» те движения, пути которых плотны в минимальном замкнутом множестве других движений, не содержащем никаких подмножеств того же рода. Существование таких рекуррентных движений и их квазипериодические свойства легко доказать. Основная теорема гласит, что всякое устойчивое движение равномерно часто подходит близко к таким рекуррентным движениям $\left({ }^{8}\right)$.

Существует много важных вопросов о строении рекуррентных движений. Но первый и важнейший вопрос относится к одним периодическим движениям и может быть сформулирован так.

Проблема II. В случае гамильтоновых задач (2) с двумя степенями свободы, с замкнутым многообразием состояний и с наличием хотя бы одного устойчивого периодического движения доказать всюду плотность периодических движений. (Постоянная энергия имеет здесь заданное значение.)

Если это предположение правильно, то всякое движение такой гамильтоновой системы всегда совершается вблизи периодических движений. Я не думаю, чтобы это же имело место в случае многих степеней свободы. Я предполагаю, что рекуррентные движения всюду плотны. Поэтому и формулирую третью проблему следующим образом.

Проблема III. В случае любой гамильтоновой задачи с замкнутым многообразием состояний доказать всюду плотность рекуррентных движений.

Существует еще другой вопрос, касающийся периодических движений: можно ли найти целесообразное обобщение последней теоремы Пуанкаре на более общие случаи?

Мы должны здесь сделать несколько подготовительных замечаний. В первоначальной форме этой теоремы речь идет о преобразовании $T$ двумерного кольца в самого себя. Для применения этой теоремы к какой-либо динамической проблеме необходимо было поэтому найти полную секущую поверхность $S$, ограниченную двумя периодическими кривыми движения. Но в случае многих степеней свободы такой секущей поверхности не существует, если нет замкнутого инвариантного семейства кривых движения. Однако существования такого семейства нельзя ожидать. Для возможности динамических приложений мы должны поэтому найти обобщение теоремы, относящееся лишь к преобразованию вблизи неподвижной точки. Такие преобразования всегда имеются.

Мы должны теперь определить также тип преобразований $T$, возникающих из динамических задач. Свойство сохранения площадей, характеристическое в простейшем случае, допускает обобщение, ибо, как было замечено выше, $T$ является в общем случае объемосохраняющим. Однако это свойство никоим образом не является характеристическим. Чтобы определить характеристическое свойство, рассмотрим какуюлибо геодезическую проблему. На $n$-мерной поверхности, по которой движется частица, мы можем построить ( $n-1$ )-мерную поверхность таким образом, чтобы рассматриваемая замкнутая геодезическая линия пересекала ее в некоторой точке. Может оказаться, что поблизости существует одна и только одна геодезическая линия, соединяющая точку $\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right)$ этой поверхности с ближайшей следующей точкой $\left(x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n-1}^{\prime}\right)$ этой же поверхности. Будем тогда рассматривать $\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n-1}^{\prime}\right.$ ) как координаты точки на обычной

секущей поверхности; энергия частицы $H$, а потому и ее скорость имеют здесь заданное значение, в силу чего многообразие состояний $(2 n-1)$-мерно. При преобразовании $T$ точка $\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}^{\prime}\right)$ секущей поверхности переходит в точку $\left(x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n-1}^{\prime \prime}\right)$. Длина $\Omega\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}^{\prime}\right)$ геодезической линии, соединяющей $\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right)$ с $\left(x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n-1}^{\prime}\right)$, обладает здесь экстремальным свойством:
\[
d\left[\Omega\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}^{\prime}\right)+\Omega\left(x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n-1}^{\prime \prime}\right)\right]=0
\]

при варьировании переменных $x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n-1}^{\prime}$. Эти $n-1$ уравнений определяют координаты $x_{1}^{\prime \prime}, \ldots, x_{n-1}^{\prime \prime}$ через $x_{1}, \ldots, x_{n-1}^{\prime}$ и тем самым преобразование $T$.

Пользуясь конечным числом таких вспомогательных поверхностей можно следующим образом определить преобразование $T$ в геодезической проблеме. Существует $k$ функций
\[
\Omega_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}^{\prime}\right), \Omega_{2}\left(x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n-1}^{\prime \prime}\right), \ldots, \Omega_{k}\left(x_{1}^{(k-1)}, \ldots, x_{n-1}^{(k)}\right)
\]

таких, что уравнения
\[
d\left(\Omega_{1}+\cdots+\Omega_{k}\right)=0
\]

имеют место и определяют преобразование $T$. Здесь варьируются все переменные, кроме $x_{1}, \ldots, x_{n-1}$ и $x_{1}^{(k)}, \ldots, x_{n-1}^{(k)}$.

Преобразования $T$ такого рода будем называть «консервативными преобразованиями». Возникает следующая проблема.

Проблема IV. При заданном консервативном преобразовании $T$ доказать существование соответствующей гамильтоновой системы и, в частности, системы геодезического типа.

Если это предположение правильно, то действительное обобщение последней теоремы Пуанкаре должно в качестве эквивалента давать теорему о существовании других замкнутых геодезических линий вблизи данной замкнутой геодезической линии. Рассматриваемая замкнутая геодезическая линия, разумеется, должна быть здесь устойчивого типа.

Вопрос о возможном обобщении теоремы Пуанкаре мы можем теперь формулировать следующим образом.

Проблема V. Пусть $T$ – какое-либо консервативное преобразование с неподвижной точкой $P$ устойчивого типа. Определить условия, при которых вблизи $P$ существует бесконечное множество точек, неподвижных при преобразованиях $T^{m}$.

Наконец, я должен сформулировать важную и весьма трудную проблему устойчивости в ее простейшей форме.

Проблема VI. В случае двух степеней свободы доказать существование динамических систем, обладающих периодическим движением устойчивого типа, которое, однако, в действительности неустойчиво.

Все вышеприведенные проблемы касаются не специальных динамических систем, а общих. Существует много других интересных проблем, касающихся некоторых важных специальных систем. Здесь я хочу отметить лишь две такие проблемы.

Проблема VII. В общей задаче трех тел определить топологическую природу многообразия состояний.

Проблема VIII. Доказать неинтегрируемость задачи трех тел вблизи периодического движения устойчивого типа.

Следует заметить, что результаты Пуанкаре доказывают лишь невозможность некоторой равномерной интегрируемости при переменных массах. По моему мнению, вышеприведенные проблемы суть именно те, от решения которых зависит возможность значительного дальнейшего продвижения.