Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Так как вариационные принципы играют большую роль в динамической теории, интересно выяснить их истинное значение для динамики. Иными словами: какими специальными свойствами обладают уравнения Лагранжа, Гамильтона и Пфаффа, получающиеся из соответствующих вариационных принципов, рассмотренных выше? Все эти типы уравнений можно рассматривать как системы $n=2 m$ уравнений первого порядка, если в уравнениях Лагранжа мы введем новые переменные $r_{i}=q_{i}^{\prime}$. Заметим прежде всего, что пока мы будем рассматривать эти уравнения в окрестности какой-нибудь точки соответствующего $n$-мерного пространства, не являющейся точкой равновесия системы, нельзя будет найти никаких специальных характеристик для этих типов уравнений. В самом деле, если мы возьмем какую-нибудь динамическую систему, определенную $n$ уравнениями: то она перейдет в систему того же вида при любом преобразовании переменных при известных условиях. Две такого рода системы будут, естественно, называться «эквивалентными», если можно перейти от одной из них к другой посредством допустимого преобразования переменных указанного типа. Если мы сосредоточим наше внимание на окрестности какой-либо точки $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}$, в которой не все $X_{i}$, обращаются в нуль, так что она не есть точка равновесия системы, то такая система будет эквивалентна любой другой подобной системе, так что мы сможем перейти к уравнениям: Это легко можно показать следующим образом. Представим себе, что данная система дифференциальных уравнений определяет стационарное течение жидкости в пространстве с координатами $x_{1}, \ldots, x_{n}$, так что кривые движения жидкости даются решениями $x_{i}=x_{i}(t)$ $(i=1, \ldots, n)$. Эти кривые, имеющие в каждой точке определенное направление, с направляющими косинусами, пропорциональными $X_{1}, \ldots, X_{n}$ могут быть деформированы в прямые линии пространства с координатами $y_{1}, \ldots, y_{n}$ посредством одно-однозначного аналитического преобразования. Следовательно, преобразованные уравнения имеют общее решение: откуда тотчас же следует, что эти уравнения имеют требуемый нормальный вид: Следовательно, в окрестности точки, не являющейся точкой равновесия, нет никакой существенной разницы между уравнениями, выведенными из вариационного принципа, и самым общим видом дифференциальных уравнений. В следующей главе мы увидим, что вариационные принципы имеют большое значение в вопросах, связанных с формальной устойчивостью динамических систем вблизи точки равновесия, или периодического движения. И можно даже сказать, что в этом состоит их главное значение для динамики. Здесь надлежит сделать еще одно интересное замечание относительно вариационных принципов. Предположим, что мы исходим из $n$ произвольных уравнений вида Уравнения вариации будут: Они могут быть проинтегрированы, если мы знаем общий интеграл уравнений (11): Решение уравнений вариации будет: где $k_{1}, \ldots, k_{n}$ — произвольные постоянные. имеет интегралы Следовательно, данную систему (11) дифференциальных уравнений первого порядка можно назвать «эквивалентной» расширенной системе (11), (12) тоже первого порядка с $2 n$ переменными $x_{1}, \ldots, x_{n}$, $z_{1}, \ldots, z_{n}$, так как решение одной из этих систем дает решение другой. Но расширенная система (11), (12) есть система Гамильтона с сопряженными переменными $x_{i}, z_{i}$ и с главной функцией, равной в чем мы можем убедиться непосредственно.
|
1 |
Оглавление
|