Предположим, что в рассматриваемую систему (3) дифференциальных уравнений мы подставим
\[
x_{i}=F_{i}\left(t, c_{1} \ldots, c_{n}\right) \quad(i=1, \ldots, n),
\]

где $F_{i}$ суть формальные степенные ряды относительно $n$ произвольных постоянных $c_{1}, \ldots, c_{n}$, не имеющие свободного члена и притом такие, что определитель $\partial F_{i} / \partial c_{j}$ в начале координат (т.е. в точке $c_{1}=\ldots=$ $=c_{n}=0$ ) не обращается в нуль ни при каком значении $t$ и что коэффициенты этих рядов – вещественные аналитические функции от $t$. Может случиться, что полученные таким образом $n$ равенств будут в формальном смысле удовлетворяться тождественно относительно $t$ и $c_{i}$. В этом случае мы скажем, что ряды (5) дают «формальное общее решение» рассматриваемой системы дифференциальных уравнений.

В частном случае может оказаться, что коэффициенты функций $F_{i}$ являются периодическими функциями $t$ с периодом $\tau$. В этом случае мы будем иметь соответствующее преобразование
\[
x_{i}=F_{i}\left(t, y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \quad(i=1, \ldots, n),
\]

принадлежащее формальной группе. Если преобразованная формальная система дифференциальных уравнений будет
\[
\frac{d y_{i}}{d t}=Y_{i}\left(y_{1}, \ldots, y_{n}, t\right) \quad(i=1, \ldots, n),
\]

то мы имеем формальные равенства:
\[
\frac{\partial F_{i}}{\partial t}+\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial F_{i}}{\partial y_{j}} Y_{j} \equiv X_{i}\left(F_{1}, \ldots, F_{n}, t\right) \quad(i=1, \ldots, n),
\]

в которых аргументами $F_{i}$ являются, разумеется, $y_{1}, \ldots, y_{n}, t$. Но утверждение, что $F_{i}$ дает формальное решение, означает как раз, что
\[
\frac{\partial F_{i}}{\partial t} \equiv X_{i}\left(F_{1}, \ldots, F_{n}, t\right) \quad(i=1, \ldots, n),
\]

причем аргументами рядов $F_{i}$ в этом равенстве будут уже не $y_{1}, \ldots, y_{n}$, а $c_{1}, \ldots, c_{n}$.

Если мы теперь заменим в последней формуле $c_{1}, \ldots, c_{n}$ соответственно на $y_{1}, \ldots, y_{n}$, что, разумеется, всегда возможно, и сравним получившиеся тождества с предыдущими, то убедимся, что
\[
\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial F_{i}}{\partial y_{j}} Y_{j}=0
\]

откуда, очевидно, $Y_{i} \equiv 0(i=1, \ldots, n)$. Следовательно, рассматриваемый случай оказывается таким частным случаем, в котором данная система дифференциальных уравнений может быть формально преобразована к нормальному виду
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=0 \quad(i=1, \ldots, n),
\]

посредством преобразования, принадлежащего к рассматриваемой формальной группе. Как мы увидим ниже, в общем случае подобное преобразование невозможно.

Если над переменными уравнений (3) произвести преобразование, принадлежащее нашей формальной группе, то всякое формальное общее решение (5) преобразуется в формальное общее решение преобразованных уравнений.

Чтобы проще показать это, расширим временно формальную группу, включив в нее преобразования, коэффициенты которых суть непериодические аналитические функции $t$. К этой расширенной группе принадлежит, между прочим, преобразование, получаемое из формулы (5) заменой $c_{1}, \ldots, c_{n}$ на $y_{1}, \ldots, y_{n}$, которое превращает данные уравнения в систему уравнений, для которых $Y_{i}=0(i=1, \ldots, n)$. Но преобразованная система с переменными $\bar{x}_{i}, \ldots, \bar{x}_{n}$ может быть приведена к этому виду непосредственно путем преобразования, являющегося композицией преобразований от $\bar{x}_{i}$ к $x_{i}$ и от $x_{i}$ к $y_{i}$. А это как раз обозначает, что общее решение преобразованной системы может быть получено путем преобразования общего решения первоначальной системы. Это рассуждение предполагает, что формальные законы преобразований остаются в силе и в распространенной формальной группе.

Из любого формального решения (5) уравнений (3) мы можем получить всякое другое решение $x_{i}=G_{i}\left(t, d_{1}, \ldots, d_{n}\right)$ посредством подстановки в (5) вместо $c_{1}, \ldots, c_{n}$ произвольных вещественных рядов по $d_{1}, \ldots, d_{n}$, с постоянными, не зависящими от $t$ коэффициентами
\[
c_{i}=\varphi_{i}\left(d_{1}, \ldots, d_{n}\right) \quad(i=1, \ldots, n)
\]

при единственном условии, что определитель $\left|\partial \varphi / \partial d_{j}\right|$ не обращается в нуль при $d_{1}=\ldots=d_{n}=0$.

Это почти очевидное обстоятельство можно просто доказать при помощи введенной нами расширенной группы. Два преобразования
\[
x_{i}=F_{i}\left(t, z_{1}, \ldots, z_{n}\right), \quad x_{i}=G_{i}\left(t, w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \quad(i=1, \ldots, n)
\]

превращают уравнения (3) соответственно в уравнения
\[
\frac{d z_{i}}{d t}=0, \quad \frac{d \omega_{i}}{d t}=0 \quad(i=1, \ldots, n) .
\]

Следовательно, если мы напишем:
\[
z_{i}=\varphi_{i}\left(t, \omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right) \quad(i=1, \ldots, n),
\]

обозначив через $\varphi_{i}$ преобразование переменных $z$ непосредственно в $\omega$, то мы видим сразу, что
\[
\frac{d z_{i}}{d t}=\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial t}+\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial \varphi_{i}}{\partial w_{j}} \frac{d w_{j}}{d t}=\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial t}=0
\]

так что функции $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}$ не содержат переменной $t$, т.е.
\[
z_{i}=\varphi_{i}\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right) \quad(i=1, \ldots, n) .
\]

Таким образом, получаем формальные тождества
\[
F_{i}\left(t, \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right)=G_{i}\left(t, d_{1}, \ldots, d_{n}\right) \quad(i=1, \ldots, n),
\]

причем в $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}$ мы должны подставить $d_{1}, \ldots, d_{n}$ вместо $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$. Но это как раз и есть соотношение, которое мы хотим доказать. Очевидно также из определения обобщенной группы, что определитель $\left|\partial \varphi_{i} / \partial d_{j}\right|$ не равен нулю при $d_{1}=\ldots=d_{n}=0$.

Вопрос о существовании формальных решений может быть легко разрешен. Действительно, возьмем $c_{1}=x_{1}^{0}, \ldots, c_{n}=x_{n}^{0}$, где $x_{i}^{0}$ есть значение $x_{i}$ при $t=t_{0}$. Тогда, как было доказано в первой главе, общее решение
\[
x_{i}=F_{i}\left(t, c_{1}, \ldots, c_{n}\right) \quad(i=1, \ldots, n)
\]

будет аналитической функцией от $c_{1}, \ldots, c_{n}$ для $\left|c_{i}\right|$ малых $(i=1, \ldots, n)$ при всяком $t$, лежащем в $t$-интервале, для которого $F_{i}$ определена при $c_{1}=\ldots=c_{n}=0$. Но при этих значениях $c_{i}$ решение будет $x_{i}=0$ $(i=1, \ldots, n)$ для всех значений $t$, откуда следует, что решение представляет собою аналитическую функцию $c_{1}, \ldots, c_{n}, t$ для любого $t$ при условии, что все $\left|c_{i}\right|$ будут тогда достаточно малы. Таким образом, функции $F_{i}$ могут быть разложены в ряды по степеням $c_{1}, \ldots, c_{n}$, коэффициенты которых – аналитические функции $t$ для всех значений $t$. Кроме того, имеем, очевидно, при $t=t_{0}$
\[
\frac{\partial F_{i}}{\partial c_{j}}=\delta_{i j} \quad\left(\delta_{i j}=1 ; \quad \delta_{i j}=0, \text { если } i
eq j\right) .
\]

Следовательно, $\frac{\partial F_{i}}{\partial c_{j}}(i=1, \ldots, n)$ составляют $n$ линейно независимых решений уравнений вариации при $j=1, \ldots, n$, и определитель $\left|\partial F_{i} / \partial c_{j}\right|$ не обращается при $c_{1}=\ldots=c_{n}=0$ в нуль ни при каком значении $t$.
Существуют формальные решения всякой системы (3).
Очевидно, что если мы введем сопряженные переменные способом, указанным в предыдущем параграфе, то формальные решения соответственно видоизменятся.

Значение формальных решений будет выяснено в следующей главе. Здесь же достаточно указать, что такие решения применяются в астрономических задачах, когда нужно вычислить возмущения периодического движения.